【正文】 概率與統(tǒng)計(jì) 開課系：非數(shù)學(xué)專業(yè) 教師 : 葉梅燕 yemeiyan @ 教材： 《 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 》 王松桂 等編 科學(xué)出版社 2022 參考書： 1.《 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 》 浙江大學(xué) 盛驟等 編 高等教育出版社 2. 《 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 》 魏振軍 編 中國統(tǒng)計(jì)出版社 序 言 概率論是研究什么的？ 隨機(jī)現(xiàn)象：不確定性與統(tǒng)計(jì)規(guī)律性 概率論 —— 研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的科學(xué) 目 錄 ? 第一章 隨機(jī)事件及其概率 ? 第二章 隨機(jī)變量 ? 第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 ? 第四章 樣本及抽樣分布 ? 第五章 參數(shù)估計(jì) ? 第六章 假設(shè)檢驗(yàn) 第一章 隨機(jī)事件及其概率 ? 隨機(jī)事件及其運(yùn)算 ? 概率的定義及其運(yùn)算 ? 條件概率 ? 事件的獨(dú)立性 一、隨機(jī)試驗(yàn) (簡稱 “ 試驗(yàn) ” ) 隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn) (p1) ； ，但能確定所有的可能結(jié)果。 隨機(jī)試驗(yàn)常用 E表示 E1: 拋一枚硬幣，分別用“ H” 和“ T” 表示出正面和反面 。 E2: 將一枚硬幣連拋三次，考慮正反面出現(xiàn)的情況； E3:某城市某年某月內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)； E4:擲一顆骰子，可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)； E5: 記錄某網(wǎng)站一分鐘內(nèi)受到的點(diǎn)擊次數(shù)； E6:在一批燈泡中任取一只，測其壽命 。 E7:任選一人，記錄他的身高和體重 。 隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的例子 隨機(jī)事件 二、樣本空間 (p2) 樣本空間：試驗(yàn)的 所有可能結(jié)果所組成的集合稱為樣本空間，記為 ={e}； 樣本點(diǎn) : 試驗(yàn)的單個結(jié)果或樣本空間的單元素稱為樣本點(diǎn) ,記為 e. 稱為基本事件 ,也記為 e. 幻燈片 6 ??隨機(jī)事件 樣本空間的任意一個子集稱為隨機(jī)事件 , 簡稱“事件” .記作 A、 B、 C等 任何事件均可表示為樣本空間的某個子集 . 稱 事件 A發(fā)生 當(dāng)且僅當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果是子集 A中的元素。 : 必然事件 S 、不可能事件 ?.(p3) 例如 對于試驗(yàn) E2 ，以下 A 、 B、 C即為三個 隨機(jī)事件 : A＝“ 至少出一個正面” ＝ {HHH, HHT, HTH, THH， HTT， THT， TTH}； B = “兩次出現(xiàn)同一面” ={HHH,TTT} C=“恰好出現(xiàn)一次正面” ={HTT， THT， TTH} 再如， 試驗(yàn) E6中 D＝“ 燈泡壽命超過 1000小時” ＝ {x:1000xT(小時） }。 ?三、事件之間的關(guān)系 既然事件是一個集合，因此有關(guān)事件間的關(guān)系、運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則也就按集合間的關(guān)系、運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則來處理。 (p3)“ 事件 A發(fā)生必有事件 B發(fā)生 ” 記為 A?B A＝ B ? A?B且 B?A. ： (p3)“事件 A與事件 B至少有一個發(fā)生”，記作 A?B 2’n個事件 A1, A2,…, A n至少有一個發(fā)生，記作 iniA1?? (p4) :事件 A與事件 B同時發(fā)生，記作 A?B＝ AB 3’n個事件 A1, A2,…, A n同時發(fā)生，記作 A1A2…A n (p5) ： A－ B稱為 A與 B的差事件 ,表示事件 A發(fā) 生而事件 B不發(fā)生 思考：何時 AB=??何時 AB=A？ 斥的事件（也稱互不相容事件） (p4) 即事件與事件不可能同時發(fā)生。 AB＝ ? 6. 互逆的 事件 (p5) ? A?B＝ ?, 且 AB＝ ? BABAAAB ??? 易見的對立事件，稱為記作 。五、事件的運(yùn)算 (p5) 交換律： A?B＝ B?A， AB＝ BA 結(jié)合律 ： (A?B)?C＝ A?(B?C)， (AB)C＝ A(BC) 分配律 ： (A?B)C＝ (AC)?(BC)， (AB)?C＝ (A?C)(B?C) 對偶 (De Man)律 ： .,???????kkkkkkkk AAAABAABBABA????可推廣例：甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以 A、B、 C分別表示甲、乙、丙命中目標(biāo)，試用 A、 B、 C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件： ::::::::::::654321“三人均未命中目標(biāo)”“三人均命中目標(biāo)””“最多有一人命中目標(biāo)“恰有兩人命中目標(biāo)”“恰有一人命中目標(biāo)””“至少有一人命中目標(biāo)AAAAAACBA ??CBACBACBA ??CBABCACAB ??BACACB ??ABCCBA ?? 概率的定義及其運(yùn)算 從直觀上來看，事件 A的概率是描繪事件 A發(fā)生的可能性大小的量 P（ A） 應(yīng)具有何種性質(zhì)？ * 拋一枚硬幣，幣值面向上的概率為多少？ * 擲一顆骰子，出現(xiàn) 6點(diǎn)的概率為多少？ 出現(xiàn)單數(shù)點(diǎn)的概率為多少？ * 向目標(biāo)射擊，命中目標(biāo)的概率有多大？ (p10)若某實(shí)驗(yàn) E滿足： ：樣本空間 S＝ {e1, e 2 , … , e n }。 ：（公認(rèn)） P(e1)=P(e2)=…=P(e n). 則稱 E為古典概型也叫 等可能 概型。 設(shè)事件 A中所含樣本點(diǎn)個數(shù)為 N(A) ， 以 N(?)記樣本空間 ?中樣本點(diǎn)總數(shù) ， 則有 P(A)具有如下 性質(zhì) (P7) (1) 0? P(A) ??1； (2) P(?)＝ 1； P(? )=0 (3) AB＝ ?，則 P( A? B )＝ P(A) ＋ P(B) 古典概型中的概率 (P10): ()()()NAPAN? ?例 :有三個子女的家庭 ,設(shè)每個孩子是男是女的概率相等 ,則至少有一個男孩的概率是多少 ? 解 :設(shè) A至少有一個男孩 ,以 H表示某個孩子是男孩 ?={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT} A={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT} ( ) 7()( ) 8NAPAN???二、古典概型的幾類基本問題 乘法公式：設(shè)完成一件事需分兩步， 第一步有 n1種方法 ,第二步有 n2種方法， 則完成這件事共有 n1n2種方法。 （也可推廣到分若干步） 復(fù)習(xí)：排列與組合的基本概念 加法公式：設(shè)完成一件事可有兩種途徑，第一種途徑有 n1種方法，第二種途徑有 n2種方法，則完成這件事共有 n1+n2種方法。 （也可推廣到若干途徑） 這兩公式的思想貫穿著整個概率問題的求解 。 有重復(fù)排列：從含有 n個元素的集合中隨機(jī) 抽取 k 次，每次取一個，記錄其結(jié)果 后放回，將記錄結(jié)果排成一列， n n n n 共有 nk種排列方式 . 無重復(fù)排列：從含有 n個元素的集合中隨機(jī)抽取 k 次， 每次取一個，取后不放回，將所取元素排成一列， 共有 Pnk=n(n1)… (nk+1)種排列方式 . n n1 n2 nk+1 組合：從含有 n個元素的集合中隨機(jī)抽取 k 個， 共有 種取法 . )!(!!! knknkPknCknkn????????????抽球問題 例 1:設(shè)合中 有 3個白球， 2個紅球，現(xiàn)從合中任 抽 2個 球，求取到一紅一白的概率。 解 :設(shè) A取到一紅一白 25()NC?? 1213)( CCAN ?53)(251213 ???CCCAP答 :取到一紅一白的概率為 3/5 一般地，設(shè)盒中有 N個球，其中有 M個白球，現(xiàn)從中任 抽 n個 球，則這 n個 球中恰有k個白球的概率是 nNknMNkMCCCp???在實(shí)際中，產(chǎn)品的檢驗(yàn)、疾病的抽查、農(nóng)作物的選種等問題均可化為隨機(jī)抽球問題。我們選擇抽球模型的目的在于是問題的數(shù)學(xué)意義更加突出，而不必過多的交代實(shí)際背景。 分球入盒問題 例 2：將 3個球隨機(jī)的放入 3個盒子中去，問： （ 1）每盒恰有一球的概率是多少？ （ 2）空一盒的概率是多少？ 解 :設(shè) A:每盒恰有一球 ,B:空一盒 33)( ?SN !3)( ?AN92)( ?AP}{}{1)( 全有球空兩合 PPBP ???32923313 ????一般地，把 n個 球隨機(jī)地分配到 m個盒子中去(n?m)， 則每盒至多 有一 球的概率是： nnmmPp ?P9 某班級有 n 個人 (n?365)， 問至少有兩個人的生日在同一天 的概率有多大？ 例 3： 30名學(xué)生中有 3名運(yùn)動員，將這 30名學(xué)生平均分成 3組，求： （ 1）每組有一名運(yùn)動員的概率； （ 2） 3名運(yùn)動員集中在一個組的概率。 解 :設(shè) A:每組有一名運(yùn)動員 。B: 3名運(yùn)動員集中在一組 !10!10!10!30)( ?? 101010201030 CCCSN20350)(!9!9!9!27!3)( ??SNAP)(3)( 10101020727SNCCCBP ??!!. . ..!1 mnnn一般地，把 n個 球隨機(jī)地分成 m組 (nm),要求第 i 組恰 有 ni個球 (i=1,…m) ，共有分法： 4 隨機(jī)取數(shù)問題 例 4 從 1到 200這 200個自然數(shù)中任取一個 , (1)求取到的數(shù)能被 6整除的概率 (2)求取到的數(shù)能被 8整除的概率 (3)求取到的數(shù)既能被 6整除也能被 8整除的概率 解 :N(S)=200, N(3)=[200/24]=8 N(1)=[200/6]=33, N(2)=[200/8]=25 (1),(2),(3)的概率分別為:33/200,1/8,1/25 某人向目標(biāo)射擊， 以 A表示事件“命中目標(biāo)”， P（ A） =？ 定義 :(p8) 事件 A在 n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn) nA次，則 比值 nA/n稱為事件 A在 n次重復(fù)試驗(yàn)中 出現(xiàn)的 頻率 ，記為 fn(A). 即 fn(A)＝ nA/n. 頻率與概率 歷史上曾有人做過試驗(yàn) ,試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時，出現(xiàn)正反面的機(jī)會均等。 實(shí)驗(yàn)者 n nH fn(H) De Man 2048 1061 Buffon 4040 2048 K. Pearson 12022 6019 K. Pearson 24000 12022 ?頻率的性質(zhì) (1) 0? fn(A) ??1； (2) fn(S)＝ 1； fn(? )=0 (3) 可加性：若 AB＝ ? ， 則 fn(A?B)＝ fn(A) ＋ fn(B). 實(shí)踐證明：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù) n增大時， fn(A) 逐漸 趨向一個穩(wěn)定值 。 可將此穩(wěn)定值記作 P(A)， 作為事件 A的概率 . 概率的公理化定義 注意到不論是對概率的直觀理解，還是頻率定義方式，作為事件的概率，都應(yīng)具有前述三條基本性質(zhì)，在數(shù)學(xué)上，我們就可以從這些性質(zhì)出發(fā)，給出概率的公理化定義 (p8) 若對隨機(jī)試驗(yàn) E所對應(yīng)的樣本空間 ?中的每一事件 A， 均賦予一實(shí)數(shù) P(A)， 集合函數(shù) P(A)滿足條件： (1) P(A) ?≥0 ； (2) P(?)＝ 1； (3) 可列可加性 ： 設(shè) A1， A2， …, 是一列兩兩互不相容的事件，即 AiAj＝ ?， (i?j), i , j＝ 1, 2, …, 有 P( A1 ? A2 ? … )＝ P(A1) ＋ P(A2)+…. () 則稱 P(A)為事件 A的 概率 。 ? P(1013)