【正文】 解： x\y 1 0 pi. 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 故關(guān)于 X和 Y的分布律分別為： X 1 0 Y 1 0 P 2/5 3/5 P 2/5 3/5 2/5 3/5 2/5 3/5 三、邊緣密度函數(shù) 為 (X, Y)關(guān)于 Y的邊緣密度函數(shù)。 例 (X,Y)的分布函數(shù)為 ?????????????? ????其它00101),( xyyeeyxxeeyxF yyyx求 FX(x)與 FY(y)。 事實(shí)上，對(duì) n維隨機(jī)變量 (X1, X2, … , X n)， F(x1, x2, … , x n)＝ P(X1? x1, X2 ?x2, … , X n ?xn) 稱為的 n維隨機(jī)變量 (X1, X2, … , X n)的 分布函數(shù)， 或 隨機(jī)變量 X1, X2, … , X n的聯(lián)合 分布函數(shù) 。 此外， f (x, y)還有下述性質(zhì) (3)若 f (x, y)在 (x, y)?R2處連續(xù)，則有 ????Gdx dyyxfGYXP .),(}),{((4)對(duì)于任意平面區(qū)域 G? R2, 設(shè) ??? ?????ot he r syxyxfYX010,101),(~),(求 :P{XY} 211}{010???? ??xdydxYXP求： (1)常數(shù) A； (2) F(1,1)； (3) (X, Y)落在三角形區(qū)域 D： x?0, y?0, 2X+3y?6 內(nèi)的概率。 X Y 1 0 1 0 1011031031032522}1,1{PPYXP ???2532}0,1{PYXP????2523}1,0{PYXP????2523}0,0{PPYXP ???四 .二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù) 定義 p44 對(duì)于二維隨機(jī)變量 (X, Y)， 若存在一個(gè)非負(fù)可積函數(shù) f (x, y)， 使對(duì) ?(x, y)?R2， 其分布函數(shù) ? ??? ???x y,d u d v)v,u(f)y,x(F則稱 (X, Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量， f(x,y)為 (X, Y)的密度函數(shù) (概率密度 )，或 X與 Y的 聯(lián)合密度函數(shù) ，可記為 (X, Y)～ f (x, y)， (x, y)?R2 聯(lián)合密度 f(x, y)的性質(zhì) (p44) (1)非負(fù)性 ： f (x, y)?0, (x, y)?R2。y,x(F)y,x(Flim)y,0x(F 0xx00??? ??).y,x(F)y,x(Flim)0y,x(F 0yy0 0??? ??(3)右連續(xù) 對(duì)任意 x?R, y?R, (4)矩形不等式 對(duì)于任意 (x1, y1), (x2, y2)?R2, (x1 x2， y1y2 ), F(x2, y2)－ F(x1, y2)－ F (x2, y1)＋ F (x1, y1)?0. 反之，任一滿足上述四個(gè)性質(zhì)的二元函數(shù) F(x, y)都 可以作為某個(gè)二維隨機(jī)變量 (X, Y)的分布函數(shù)。 四 .已知隨機(jī)變量 X的概率密度為 ????? ?????o t h e r sxxxf012)1(92)(求： Y=1X2的概率密度 二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布 一、 多維隨機(jī)變量 (p41)將 n個(gè)隨機(jī)變量 X1， X2， ...,Xn構(gòu)成一個(gè) n維向量 (X1,X2,...,Xn)稱為 n維隨機(jī)變量。 ? ?? ? ? ?dxxfyFxxgyxxfyxXYX???????????????22)(01121其它?ydxFyyY ?? ?? 21????? ????其它01021)(39。 (P226附表 1)如，若 Z~N（ 0， 1） ,?（ )=, P{Z}=?()?() = 注 ： (1) ?(x)＝ 1－ ?(－ x)； (2) 若 X～ N(?, ?2)， 則 ).(}{)( ? ?????? xxXPxF正態(tài)分布表 設(shè)隨機(jī)變量 X~N(1,22),P{X}=? P(39)例 X?N(?,?2), 求 P{?3?X?+3?} 本題結(jié)果稱為 3? 原則 .在工程應(yīng)用中，通常認(rèn)為P{|X|≤3} ≈1 ，忽略 {|X|3}的值 . 如在質(zhì)量控制中，常用標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)值 177。 3. 正態(tài)分布 A B A， B間真實(shí)距離為 ?，測(cè)量值為 X。 其分布函數(shù)為 )x(fx0?????? ?0,00,1)(xxexFx?＝例 .電子元件的壽命 X(年） 服從參數(shù)為 3的指數(shù)分布 (1)求該電子元件壽命超過(guò) 2年的概率。 于是 ???????badxxfbXaPbXaPbXaP)(}{}{}{＝＝＝P(35) 例 X的概率密度為 1)求 X的分布函數(shù) F(x), 2)求 P{X?(,)} ???????????其他021210)( xxxxxf二、幾個(gè)常用的連續(xù)型分布 1. 均勻分布 (p36) 若 X～ f(x)＝ ????? ???，其它0bxa,ab1。故該三個(gè)性質(zhì)是 分布函數(shù)的充分必要性質(zhì) 。 解 :m=1時(shí) , , .. .2,1,)1(}{ 1 ???? ? kppkXP km1時(shí) ,X的全部取值為 :m,m+1,m+2,… mpmXP ?? }{P{X=m+1}=P{第 m+1次試驗(yàn)時(shí)成功并且 在前 m次試驗(yàn)中成功了 m1次 } ,. ..2,1,)1(}{ 111 ??????? ???? mmmkpppCkXP mkmmkpppC mmm )1(11 ?? ??想一想：離散型隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征可以 用分布律描述，非離散型的該如何描述？ 如：熊貓彩電的壽命 X是一個(gè)隨機(jī)變量，對(duì) 消費(fèi)者來(lái)說(shuō)，你是否在意 {X5年 }還是 {X5年零 1分鐘 } 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 一、分布函數(shù)的概念 . 定義 (P29) 設(shè) X是 隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù) x， 事件 {X?x}的概率 P{X?x}稱為隨機(jī)變量 X的 分布函數(shù) 。幾個(gè)常用的離散型分布 （一）貝努里 (Bernoulli)概型與二項(xiàng)分布 1. (01)分布 (p26) 若以 X表示進(jìn)行一次試驗(yàn)事件 A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從 (0－ 1)分布 (兩點(diǎn)分布 ) X～ P{X＝ k}＝ pk(1－ p)1－ k, (0p1) k＝ 0， 1 或 Xkp1 0p p?1(P27)若以 X表示 n重 貝努里試驗(yàn)事件 A發(fā)生的次數(shù)，則稱 X服從參數(shù)為 n,p的二項(xiàng)分布。 (2) ??1.1kkp ＝.}{ 35332CCCkXPkk ?＝＝例 1 設(shè)袋中有 5只球，其中有 2只白 3只黑。 隨機(jī)變量 常用 X、 Y、 Z 或 ?、 ?、 ?等表示。 二、多個(gè)事件的獨(dú)立 定義 (p20) 若三個(gè)事件 A、 B、 C滿足： (1) P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), 則稱事件 A、 B、 C兩兩相互獨(dú)立 ； 若在此基礎(chǔ)上還滿足： (2) P(ABC)＝ P(A)P(B)P(C), () 則稱事件 A、 B、 C相互獨(dú)立 。 在發(fā) 1的時(shí)候 ， 接收端分別以概率 、 0和 “ 不清 ” 。( ) , ( ) , , 1 , 2 , ..., .niiijiAii A A i j i j n???? ? ?A1 A2 … … … … … An B ? 定理 (p17) 設(shè) A1， …, A n是 ?的一個(gè)劃分，且 P(Ai)0， (i＝ 1， … ， n)， 則對(duì)任何事件 B? ?有 )()|()()(1??niii ABPAPBP ＝式 ()就稱為 全概率公式 。 紅 白 新 40 30 舊 20 10 設(shè) A從盒中隨機(jī)取到一只紅球 . B從盒中隨機(jī)取到一只新球 . 60?An 40?ABn32)|( ??AABnnABP二、 乘法公式 (p15) 設(shè) A、 B? ? ， P（ A） 0,則 P(AB)＝ P(A)P(B|A). () 式 ()就稱為事件 A、 B的概率 乘法公式 。 （ 2）求第二次取到紅球的概率 （ 3）求兩次均取到紅球的概率 設(shè) A—— 第一次取到紅球 ,B—— 第二次取到紅球 41)|()1( ?ABP 522312)()2(25????? PBP10112)()3(25??? PABPS= A B A—— 第一次取到紅球 , B—— 第二次取到紅球 顯然，若事件 A、 B是古典概型的樣本空間 S中的兩個(gè)事件，其中 A含有 nA個(gè)樣本點(diǎn) ,AB含有 nAB個(gè)樣本點(diǎn)，則 )()()()|(APABPABP ?AABnnABP ?)|(稱為 事件 A發(fā)生的條件下事件 B發(fā)生的 條件概率 (p14) 一般地，設(shè) A、 B是 S中的兩個(gè)事件 ， 則 )()(APABPnnnnAAB??“ 條件概率”是“概率”嗎？ 概率定義 若對(duì)隨機(jī)試驗(yàn) E所對(duì)應(yīng)的樣本空間 S中的每一事件 A， 均賦予一實(shí)數(shù) P(A)， 集合函數(shù) P(A)滿足條件： (1)P(A) ?≥0 ； (2) P(S)＝ 1。 (3)事件差 A、 B是兩個(gè)事件，則 P(AB)=P(A)P(AB) (2) 單調(diào)不減性 ：若事件 A?B， 則 P(A)≥ P(B) (4) 加法公式 ：對(duì)任意兩事件 A、 B， 有 P(A?B)＝ P(A)＋ P(B)－ P(AB) 該公式 可推廣到 任意 n個(gè) 事件 A1， A2， … ， An的情形； (3) 互補(bǔ)性 ： P(A)＝ 1－ P(A)。B: 3名運(yùn)動(dòng)員集中在一組 !10!10!10!30)( ?? 101010201030 CCCSN20350)(!9!9!9!27!3)( ??SNAP)(3)( 10101020727SNCCCBP ??!!. . ..!1 mnnn一般地，把 n個(gè) 球隨機(jī)地分成 m組 (nm),要求第 i 組恰 有 ni個(gè)球 (i=1,…m) ，共有分法： 4 隨機(jī)取數(shù)問題 例 4 從 1到 200這 200個(gè)自然數(shù)中任取一個(gè) , (1)求取到的數(shù)能被 6整除的概率 (2)求取到的數(shù)能被 8整除的概率 (3)求取到的數(shù)既能被 6整除也能被 8整除的概率 解 :N(S)=200, N(3)=[200/24]=8 N(1)=[200/6]=33, N(2)=[200/8]=25 (1),(2),(3)的概率分別為:33/200,1/8,1/25 某人向目標(biāo)射擊， 以 A表示事件“命中目標(biāo)”， P（ A） =？ 定義 :(p8) 事件 A在 n次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn) nA次，則 比值 nA/n稱為事件 A在 n次重復(fù)試驗(yàn)中 出現(xiàn)的 頻率 ，記為 fn(A). 即 fn(A)＝ nA/n. 頻率與概率 歷史上曾有人做過(guò)試驗(yàn) ,試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時(shí)，出現(xiàn)正反面的機(jī)會(huì)均等。 解 :設(shè) A取到一紅一白 25()NC?? 1213)( CCAN ?53)(251213 ???CCCAP答 :取到一紅一白的概率為 3/5