【正文】 (1) 有限 可加性 ： 設 A1， A2， …A n , 是 n個兩兩互不相容的事件，即 AiAj＝ ? ， (i?j), i , j＝ 1, 2, …, n ,則 有 P( A1 ? A2 ? … ? An)＝ P(A1) ＋ P(A2)+… P(A n)。 (3)事件差 A、 B是兩個事件，則 P(AB)=P(A)P(AB) (2) 單調(diào)不減性 ：若事件 A?B， 則 P(A)≥ P(B) (4) 加法公式 ：對任意兩事件 A、 B， 有 P(A?B)＝ P(A)＋ P(B)－ P(AB) 該公式 可推廣到 任意 n個 事件 A1， A2， … ， An的情形； (3) 互補性 ： P(A)＝ 1－ P(A)。 (5) 可分性 ： 對任意兩事件 A、 B， 有 P(A)＝ P(AB)＋ P(AB ) . 某市有甲 ,乙 ,丙三種報紙 ,訂每種報紙的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的 30%,其中有 10%的人同時定甲 ,乙兩種報紙 .沒有人同時訂甲乙或乙丙報紙 .求從該市任選一人 ,他至少訂有一種報紙的概率 . %80000%103%30)()()()()()()()(??????????????A B CPBCPACPABPCPBPAPCBAP ??解 :設 A,B,C分別表示選到的人訂了甲 ,乙 ,丙報 例 1?10這 10個自然數(shù)中任取一數(shù) ， 求 （ 1） 取到的數(shù)能被 2或 3整除的概率 ， （ 2） 取到的數(shù)即不能被 2也不能被 3整除的概率 ， （ 3） 取到的數(shù)能被 2整除而不能被 3整除的概率 。 解 :設 A— 取到 的數(shù)能被 2整除 。 B取到 的數(shù)能被 3整除 21)( ?AP 103)( ?BP故 )()()()()1( ABPBPAPBAP ????101)( ?ABP107?)(1)()2( BAPBAP ?? ??103?)()()()3( ABPAPBAP ???52? 袋中有十只球，其中九只白球，一只紅球，十人依次從袋中各取一球 (不放回 )，問 第一個人取得紅球的概率是多少？ 第 二 個人取得紅球的概率是多少？ 條件概率 若已知第一個人取到的是白球，則第二個人取到紅球的概率是多少？ 已知事件 A發(fā)生的條件下， 事件 B發(fā)生的概率稱為 A條件下 B的條件概率，記作 P(B|A) 若已知第一個人取到的是紅球，則第二個人取到紅球的概率又是多少？ 一、條件概率 例 1 設袋中 有 3個白球， 2個紅球，現(xiàn)從袋中任意 抽取兩次，每次取一 個 ，取后不放回， （ 1）已知第一次取到紅球，求第二次也取到紅球的概率 。 （ 2）求第二次取到紅球的概率 （ 3）求兩次均取到紅球的概率 設 A—— 第一次取到紅球 ,B—— 第二次取到紅球 41)|()1( ?ABP 522312)()2(25????? PBP10112)()3(25??? PABPS= A B A—— 第一次取到紅球 , B—— 第二次取到紅球 顯然，若事件 A、 B是古典概型的樣本空間 S中的兩個事件，其中 A含有 nA個樣本點 ,AB含有 nAB個樣本點，則 )()()()|(APABPABP ?AABnnABP ?)|(稱為 事件 A發(fā)生的條件下事件 B發(fā)生的 條件概率 (p14) 一般地，設 A、 B是 S中的兩個事件 ， 則 )()(APABPnnnnAAB??“ 條件概率”是“概率”嗎？ 概率定義 若對隨機試驗 E所對應的樣本空間 S中的每一事件 A， 均賦予一實數(shù) P(A)， 集合函數(shù) P(A)滿足條件： (1)P(A) ?≥0 ； (2) P(S)＝ 1。 (3) 可列可加性 ： 設 A1， A2， … , 是一列兩兩互不相容的事件，即 AiAj＝ ?， (i?j), i , j＝ 1, 2, … , 有 P( A1 ? A2 ? … )＝ P(A1) ＋ P(A2)+… . 則稱 P(A)為事件 A的 概率 。 例 2.(p14)一盒中混有 100只新 ,舊乒乓球，各有紅、白兩色，分 類如下表。從盒中隨機取出一球，若取得的是一只紅球，試求該紅球是新球的概率。 紅 白 新 40 30 舊 20 10 設 A從盒中隨機取到一只紅球 . B從盒中隨機取到一只新球 . 60?An 40?ABn32)|( ??AABnnABP二、 乘法公式 (p15) 設 A、 B? ? ， P（ A） 0,則 P(AB)＝ P(A)P(B|A). () 式 ()就稱為事件 A、 B的概率 乘法公式 。 式 ()還可推廣到三個事件的情形： P(ABC)＝ P(A)P(B|A)P(C|AB). () 一般地，有下列公式： P(A1A2…A n)＝ P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…A n－ 1). () 例 3 合中有 3個紅球， 2個白球，每次從袋中任取一只，觀察其顏色后放回，并再放 入一只與所取之球顏色相同的球，若從合中連續(xù)取球 4次 ,試求第 2次取得白球、 第 4次取得紅球的概率。 解：設 Ai為第 i次取球時取到白球，則 )|()|()|()()( 32142131214321 AAAAPAAAPAAPAPAAAAP ?52)(1 ?AP63)|(12 ?AAP73)|(213 ?AAAP84)|(3214 ?AAAAP三、全概率公式與貝葉斯公式 例 4.(p16)市場上有甲 、 乙 、 丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品 ， 已知三家工廠的市場占有率分別為 1/ 1/ 1/2，且三家工廠的次品率分別為 2％ 、 1％ 、 3％ ， 試求市場上該品牌產(chǎn)品的次品率 。 買到一件丙廠的產(chǎn)品買到一件乙廠的產(chǎn)品買到一件甲廠的產(chǎn)品：買到一件次品設：:::321AAAB)()|()()|()()|( 332211 APABPAPABPAPABP ??? ???????)()()()( 321 BAPBAPBAPBP ???定義 (p17)事件組 A1， A2， … ， An (n可為 ?)，稱為樣本空間 ?的一個劃分 ，若滿足： 1( ) 。( ) , ( ) , , 1 , 2 , ..., .niiijiAii A A i j i j n???? ? ?A1 A2 … … … … … An B ? 定理 (p17) 設 A1， …, A n是 ?的一個劃分，且 P(Ai)0， (i＝ 1， … ， n)， 則對任何事件 B? ?有 )()|()()(1??niii ABPAPBP ＝式 ()就稱為 全概率公式 。 例 5 (P17)有甲乙兩個袋子 ， 甲袋中有兩個白球 ， 1個紅球 ， 乙袋中有兩個紅球 ， 一個白球 ． 這六個球手感上不可區(qū)別 ． 今從甲袋中任取一球放入乙袋 ， 攪勻后再從乙袋中任取一球 ， 問此球是紅球的概率 ？ 解：設 A1—— 從甲袋放入乙袋的是白球； A2—— 從甲袋放入乙袋的是紅球； B——從乙袋中任取一球是紅球； ? 12731433221)()|()()|()(2211 ??????? APABPAPABPBP甲 乙 定理 2 (p18) 設 A1， … , An是 S的一個劃分，且 P(Ai) 0， (i＝ 1， … ， n)， 則對任何事件 B?S， 有 )(), . . . ,1(,)|()()|()()|(1njABPAPABPAPBAP niiijjj ????式 ()就稱為 貝葉斯公式 。 思考：上例中，若已知取到一個紅球，則從甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？ 答 : 74127)()|()()()|( 1111 ???APABPBPBAPBAP(P22,22.) 商店論箱出售玻璃杯，每箱 20只，其中每箱含 0， 1， 2只次品的概率分別為 , , ，某顧客選中一箱，從中任選 4只檢查，結(jié)果都是好的，便買下了這一箱 .問這一箱含有一個次品的概率是多少？ 解 :設 A:從一箱中任取 4只檢查 ,結(jié)果都是好的 . B0, B1, B2分別表示事件每箱含 0， 1， 2只次品 已知 :P(B0)=, P(B1)=, P(B2)= 1)|( 0 ?BAP54)|(4204191 ?? CCBAP1912)|(4204182 ?? CCBAP由 Bayes公式 : ??? 20111)|()()|()()|(iii BAPBPBAPBPABP 0 8 4 1955????????例 6 (p18)數(shù)字通訊過程中 ， 信源發(fā)射 0、 1兩種狀態(tài)信號 ，其中發(fā) 0的概率為 ， 發(fā) 1的概率為 。 由于信道中存在干擾 ， 在發(fā) 0的時候 ， 接收端分別以概率 、 0、 1和 “ 不清 ” 。 在發(fā) 1的時候 ， 接收端分別以概率 、 0和 “ 不清 ” 。 現(xiàn)接收端接收到一個 “ 1”的信號 。 問發(fā)端發(fā)的是 0的概率是多少 ? ) B A ( P ＝ ) A ( P ) A B ( P ) A ( P ) A B ( P ) A ( P ) A B ( P ? ＝ ＝ 解：設 A發(fā)射端發(fā)射 0， B 接收端接收到一個 “ 1”的信號 ． ????0 () 0 1 不清 () () () 1 () 1 0 不清 () () () 條件概率 條件概率 小 結(jié) 縮減樣本空間 定義式 乘法公式 全概率公式 貝葉斯公式 事件的獨立性 一、兩事件獨立 (P19) 定義 1 設 A、 B是兩事件， P(A) ≠0,若 P(B)＝ P(B|A) () 則稱事件 A與 B相互 獨立 。 式 ()等價于： P(AB)＝ P(A)P(B) () 從一付 52張的撲克牌中任意抽取一張，以 A表示抽出一張 A，以 B表示抽出一張黑桃，問 A與 B是否獨立？ 定理、 以下四件事等價： (1)事件 A、 B相互獨立； (2)事件 A、 B相互獨立； (3)事件 A、 B相互獨立； (4)事件 A、 B相互獨立。 二、多個事件的獨立 定義 (p20) 若三個事件 A、 B、 C滿足： (1) P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), 則稱事件 A、 B、 C兩兩相互獨立 ； 若在此基礎上還滿足： (2) P(ABC)＝ P(A)P(B)P(C), () 則稱事件 A、 B、 C相互獨立 。 一般地，設 A1， A2， … ， An是 n個事件 ，如果對 任意 k (1?k?n), 任意的 1?i1?i2 ?… ? ik? n， 具有等式 P(A i1 A i2 … A ik)＝ P(A i1)P(A i2)…P(A ik) () 則稱 n個事件 A1， A2， … ， An相互獨立 。 思考： A、 B、 C、 D相互獨立，則 獨立嗎？與 CDBA ? 骰子擲 4次至少得一個六點與兩顆骰子擲24次至少得一個雙六，這兩件事， 哪一個有更多的機會遇到？ 答 :, 三、事件獨立性的應用 加法公式的簡化 ：若 事件 A1， A2， … ， An相互獨立 , 則 () 在可靠性理論上的應用 P23, 24．如圖， 5表示繼電器觸點 ,假設每個觸點閉合的概率為 p,且各繼電器接點閉合與否相