【正文】 一般地，設盒中有 N個球，其中有 M個白球，現從中任 抽 n個 球，則這 n個 球中恰有k個白球的概率是 nNknMNkMCCCp???在實際中，產品的檢驗、疾病的抽查、農作物的選種等問題均可化為隨機抽球問題。 設事件 A中所含樣本點個數為 N(A) ， 以 N(?)記樣本空間 ?中樣本點總數 ， 則有 P(A)具有如下 性質 (P7) (1) 0? P(A) ??1； (2) P(?)＝ 1； P(? )=0 (3) AB＝ ?，則 P( A? B )＝ P(A) ＋ P(B) 古典概型中的概率 (P10): ()()()NAPAN? ?例 :有三個子女的家庭 ,設每個孩子是男是女的概率相等 ,則至少有一個男孩的概率是多少 ? 解 :設 A至少有一個男孩 ,以 H表示某個孩子是男孩 ?={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT} A={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT} ( ) 7()( ) 8NAPAN???二、古典概型的幾類基本問題 乘法公式：設完成一件事需分兩步， 第一步有 n1種方法 ,第二步有 n2種方法， 則完成這件事共有 n1n2種方法。 (p3)“ 事件 A發(fā)生必有事件 B發(fā)生 ” 記為 A?B A＝ B ? A?B且 B?A. ： (p3)“事件 A與事件 B至少有一個發(fā)生”，記作 A?B 2’n個事件 A1, A2,…, A n至少有一個發(fā)生，記作 iniA1?? (p4) :事件 A與事件 B同時發(fā)生，記作 A?B＝ AB 3’n個事件 A1, A2,…, A n同時發(fā)生，記作 A1A2…A n (p5) ： A－ B稱為 A與 B的差事件 ,表示事件 A發(fā) 生而事件 B不發(fā)生 思考：何時 AB=??何時 AB=A？ 斥的事件（也稱互不相容事件） (p4) 即事件與事件不可能同時發(fā)生。 E7:任選一人，記錄他的身高和體重 。概率與統(tǒng)計 開課系：非數學專業(yè) 教師 : 葉梅燕 yemeiyan 教材： 《 概率論與數理統(tǒng)計 》 王松桂 等編 科學出版社 2022 參考書： 1.《 概率論與數理統(tǒng)計 》 浙江大學 盛驟等 編 高等教育出版社 2. 《 概率論與數理統(tǒng)計 》 魏振軍 編 中國統(tǒng)計出版社 序 言 概率論是研究什么的？ 隨機現象：不確定性與統(tǒng)計規(guī)律性 概率論 —— 研究和揭示隨機現象的統(tǒng)計規(guī)律性的科學 目 錄 ? 第一章 隨機事件及其概率 ? 第二章 隨機變量 ? 第三章 隨機變量的數字特征 ? 第四章 樣本及抽樣分布 ? 第五章 參數估計 ? 第六章 假設檢驗 第一章 隨機事件及其概率 ? 隨機事件及其運算 ? 概率的定義及其運算 ? 條件概率 ? 事件的獨立性 一、隨機試驗 (簡稱 “ 試驗 ” ) 隨機試驗的特點 (p1) ； ，但能確定所有的可能結果。 隨機實驗的例子 隨機事件 二、樣本空間 (p2) 樣本空間：試驗的 所有可能結果所組成的集合稱為樣本空間，記為 ={e}； 樣本點 : 試驗的單個結果或樣本空間的單元素稱為樣本點 ,記為 e. 稱為基本事件 ,也記為 e. 幻燈片 6 ??隨機事件 樣本空間的任意一個子集稱為隨機事件 , 簡稱“事件” .記作 A、 B、 C等 任何事件均可表示為樣本空間的某個子集 . 稱 事件 A發(fā)生 當且僅當試驗的結果是子集 A中的元素。 AB＝ ? 6. 互逆的 事件 (p5) ? A?B＝ ?, 且 AB＝ ? BABAAAB ??? 易見的對立事件，稱為記作 。 （也可推廣到分若干步） 復習：排列與組合的基本概念 加法公式：設完成一件事可有兩種途徑，第一種途徑有 n1種方法，第二種途徑有 n2種方法，則完成這件事共有 n1+n2種方法。我們選擇抽球模型的目的在于是問題的數學意義更加突出，而不必過多的交代實際背景。 實驗者 n nH fn(H) De Man 2048 1061 Buffon 4040 2048 K. Pearson 12022 6019 K. Pearson 24000 12022 ?頻率的性質 (1) 0? fn(A) ??1； (2) fn(S)＝ 1； fn(? )=0 (3) 可加性：若 AB＝ ? ， 則 fn(A?B)＝ fn(A) ＋ fn(B). 實踐證明：當試驗次數 n增大時， fn(A) 逐漸 趨向一個穩(wěn)定值 。 (5) 可分性 ： 對任意兩事件 A、 B， 有 P(A)＝ P(AB)＋ P(AB ) . 某市有甲 ,乙 ,丙三種報紙 ,訂每種報紙的人數分別占全體市民人數的 30%,其中有 10%的人同時定甲 ,乙兩種報紙 .沒有人同時訂甲乙或乙丙報紙 .求從該市任選一人 ,他至少訂有一種報紙的概率 . %80000%103%30)()()()()()()()(??????????????A B CPBCPACPABPCPBPAPCBAP ??解 :設 A,B,C分別表示選到的人訂了甲 ,乙 ,丙報 例 1?10這 10個自然數中任取一數 ， 求 （ 1） 取到的數能被 2或 3整除的概率 ， （ 2） 取到的數即不能被 2也不能被 3整除的概率 ， （ 3） 取到的數能被 2整除而不能被 3整除的概率 。 (3) 可列可加性 ： 設 A1， A2， … , 是一列兩兩互不相容的事件，即 AiAj＝ ?， (i?j), i , j＝ 1, 2, … , 有 P( A1 ? A2 ? … )＝ P(A1) ＋ P(A2)+… . 則稱 P(A)為事件 A的 概率 。 式 ()還可推廣到三個事件的情形： P(ABC)＝ P(A)P(B|A)P(C|AB). () 一般地，有下列公式： P(A1A2…A n)＝ P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…A n－ 1). () 例 3 合中有 3個紅球， 2個白球，每次從袋中任取一只，觀察其顏色后放回，并再放 入一只與所取之球顏色相同的球，若從合中連續(xù)取球 4次 ,試求第 2次取得白球、 第 4次取得紅球的概率。 例 5 (P17)有甲乙兩個袋子 ， 甲袋中有兩個白球 ， 1個紅球 ， 乙袋中有兩個紅球 ， 一個白球 ． 這六個球手感上不可區(qū)別 ． 今從甲袋中任取一球放入乙袋 ， 攪勻后再從乙袋中任取一球 ， 問此球是紅球的概率 ？ 解：設 A1—— 從甲袋放入乙袋的是白球； A2—— 從甲袋放入乙袋的是紅球； B——從乙袋中任取一球是紅球； ? 12731433221)()|()()|()(2211 ??????? APABPAPABPBP甲 乙 定理 2 (p18) 設 A1， … , An是 S的一個劃分，且 P(Ai) 0， (i＝ 1， … ， n)， 則對任何事件 B?S， 有 )(), . . . ,1(,)|()()|()()|(1njABPAPABPAPBAP niiijjj ????式 ()就稱為 貝葉斯公式 。 現接收端接收到一個 “ 1”的信號 。 一般地，設 A1， A2， … ， An是 n個事件 ，如果對 任意 k (1?k?n), 任意的 1?i1?i2 ?… ? ik? n， 具有等式 P(A i1 A i2 … A ik)＝ P(A i1)P(A i2)…P(A ik) () 則稱 n個事件 A1， A2， … ， An相互獨立 。 隨機變量的特點 : 1 X的全部可能取值是互斥且完備的 2 X的部分可能取值描述隨機事件 EX． 引入適當的隨機變量描述下列事件： ①將 3個球隨機地放入三個格子中， 事件 A={有 1個空格 }， B={有 2個空格 }， C={全有球 }。現從中任取 3只球 (不放回 )，求抽得的白球數 X為 k的概率。 記作 X~B（ n,p) ,其分布律為： 2.(p27)定義 設將試驗獨立重復進行 n次，每次試驗中，事件 A發(fā)生的概率均為 p，則稱這 n次試驗為 n重貝努里試驗 . ),. .. ,1,0(,)1(}{ nkppkXP knkknC ???? ?例 6個交通崗 ,假設在各個交通崗是否遇到紅燈相互獨立 ,并且遇到紅燈的概率都是 1/3. (1)設 X為汽車行駛途中遇到的紅燈數 ,求 X的分布律 . (2)求汽車行駛途中至少遇到 5次紅燈的概率 . 解 :(1)由題意 ,X~B(6,1/3),于是 ,X的分布律為 : 6,...,1,03231}{ 66 ??????????????? ? kCkXP kkk}6{}5{}5{)2( ????? XPXPXP72913313231 6556 ????????????????????? C例 4. 某人射擊的命中率為 ，他獨立射擊 400次，試求其命中次數不少于 2的概率。 記為 F(x)， 即 F(x)＝ P {X?x}. 易知，對任意實數 a, b (ab), P {aX?b}＝ P{X?b}－ P{X?a}＝ F(b)－ F(a). xX二、分布函數的性質 (P29) 單調不減性 ：若 x1x2, 則 F(x1)?F(x2)。 一般地，對離散型隨機變量 X～ P{X= xk}＝ pk, k＝ 1, 2, … 其分布函數為 ?????xxkkkpxXPxF:}{)(例 1 設隨機變量 X具分布律 如右表 解 )(xFx011 2}{)( xXPxF ?＝X 0 1 2 P 試求出 X的分布函數 。 。 (2)已知該電子元件已使用了 ，求它還能使用兩年的概率為多少？ 解 ?????? ?,000)( 3xxexf x ,.3}2{)1( 623 ???? ??? edxeXp x63333}{},{}|{)2(???????????????edxedxeXXXpXXpxx例 .某公路橋每天第一輛汽車過橋時刻為 T， 設 [0， t]時段內過橋的汽車數 Xt服從 參數為 ?t的泊松分布，求 T的概率密度。X的概率密度應該是什么形態(tài)？ ?????????xexfXx,21)(~ 222)(????其中 ?為實數， ?0 ，則稱 X服從參數為 ? ,?2的 正態(tài)分布 ,記為 N(?, ?2)， 可表為 X～ N(?, ?2). 若 隨機變量 ? (1) 單峰對稱 密度曲線關于直線 x=?對稱 ； (p38) f(?)＝ maxf(x)＝ . ??21正態(tài)分布有兩個特性 ： ?(2) ?的大小直接影響概率的分布 ?越大，曲線越平坦 ， ?越小，曲線越陡峻 。 3?作兩條線，當生產過程的指標觀察值落在兩線之外時發(fā)出警報 .表明生產出現異常 . 正態(tài)分布表 (p67)14 一種電子元件的使用壽命Ｘ（小時）服從正態(tài)分布Ｎ (100,15