概率論與數(shù)理統(tǒng)計(1)-wenkub.com
2025-04-26 12:04 本頁面
【正文】 ／‘；；／＊－＋。 ??)( XE222 )()]([)( ???? XDXEXE??????????????????????niiniinii)XX(nXXnAA?XnXA?12122212211111??得 : 解 :已知 例 1612. 87 例 X在 (a, b)上均勻分布 . a, b則未知 , X1, X2,…,X n是一個 樣本 . 求 a, b 的 極大似然估計量 。 84 7 3 ．設(shè)總體 X 服從 [a , b] 上的均勻分布，其分布密度為 ?????????其它,0,1)(bxaabxf ，其中 0?? 。 使 似然 函數(shù) L(x1,x2,…, xn 。,(m a x)?。,()(121niin xpxxxLL ?L(? )是 ? 的函數(shù) , 稱為樣本的 似然 函數(shù) . 78 2： 設(shè) 總體 X為 連續(xù)型 隨機變量 ,其密度函數(shù)為 f(x 。 列出 m個聯(lián)立方程 ?k(?1,…, ?m) = Ak 。?1 , ?2 ,…, ?m), 其中 ?1 , ?2 ,…, ?m 是待估參數(shù) . X1,X2,…,X n是來自 X的一個 樣本 . 一、 矩估計法 又設(shè) 總體 X的前 m階矩存在 .一般來說 ,它們是 ?1 , ?2 ,…, ?m的函數(shù) .基于 樣本 (原點 )矩 依概率收斂 于相應(yīng)的總體 (原點 )矩 。()。但 dxi不隨 ? 而變 ,故只考慮稱為 樣本 似然 函數(shù) 的 同樣得到的 與樣本值 x1,x2,…, xn有關(guān) ,也記為 (x1,x2,…, xn) ,稱 為參數(shù) ? 的 極大似然估計值 . 統(tǒng)計量 (X1,X2,…,X n)稱 為參數(shù) ? 的 極大似然估計量 . ).。 xxnpnii ?? ?? 11?解：從上例知極大似然估計值 為 代入后得， )10( ?? pp1 0 010??p例 169. 72 (2)設(shè) 總體 X為 連續(xù)型 隨機變量 ,其密度函數(shù)為 f(x 。 ? )達到最大的參數(shù) 值 ,作為參數(shù) ? 估計值 . 即取 使 ?? ????????69 例 設(shè) X1, X2,…,X n是來自 參數(shù)為 1,p的 二項分布 的 一個 樣本 .求參數(shù) p的 極大似然估計量 . 解 :似然函數(shù)為 ,)1()1()( 1111?????? ??????niiniiiixnxnixx pppppL),1l n ()(ln)()(ln11pxnpxpLniinii ???? ????121( ) ( , , , 。()。用 來估 計 ,然后代入上式的 中，得到 的估計量 ，其中 。 2)(abXE ??12)()()]([)( 222 abXDXEXE ????解 :已知 ????????)(1222121AAabAba???????????????????????niiniiXXnXAAAbXXnXAAAa122121122121)(3)(3?)(3)(3?有 : 得 : 例 166. 64 例 、 設(shè)總體服從參數(shù) ? 的指數(shù)分布， 求 ? 的矩估計量 . 則 解 : 由題意得： )0,0()( ??? ? ?? ? xexf x1 01() xE X x e d x?????? ?? ? ??11???111 niiXXn??????X1? ??即 設(shè) X1, X2,…,X n 是來自總體的樣本 , 的估計量為 故 1?例 167. 65 一般地講 ，設(shè)總體 X的分布函數(shù) 的 類型已知，但其中包含 m個未知參數(shù) ， 則總體 X的 k階矩也是 的函數(shù)，記 可以解出 : 假定從方程組 m??? , 21 ?m??? , 21 ?),。?1 , ?2 ,…, ?m),或 X為離散型隨機變量 ,其分布律 為 P{X=x}=p(x 。 第七章 參數(shù)估計 ** 定義 : 我們稱 為 ?i 的估計量 , 為 ?i的估計值 , 在不致混肴的情況下 統(tǒng)稱為 估計 ,并都記為 , . ),。 對于 n=45的 分布的（上） ?分位點可查附表 3。 為 分布的下 ?分位點 . )(2 n??)(2 n?對于 n=45的 分布的（下） ?分位點可查附表 4. 對于 n45的 分布的（下） ?分位點由下式近似 得到 )(2 n?2α2α )1n2(u21( n )χ ???)(2 n?u?為 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 的 下 ?分位點 . 4。請注意： 設(shè) X為一個隨機變量 ,其分布密度為 對稱的 ,對任意 0 ? 1, 若 滿足條件 ?z?z22??? zzz ???51 ??1u正態(tài)分布 N(0,1)的下、 (上 ) ? 分位點記為 : t (n)分布 的下、 (上 ) ? 分位點記為 : ?2(n)分布 的下、 (上 ) ? 分位點記為 : F (n1,n2)分布 的下、 (上 ) ? 分位點記為 : ?u)(nt? )(1 nt ??)(2 n?? )(21 n?? ?)( 21 nnF ,? )( 211 nnF ,??52 由對稱性得 2。 因此 ， 。 ),( 21 nxxx ?)()2()1( nxxx ??? ?),( 21 nXXX ? ),( 21 nxxx ?)(kX )(kx),( )()2()1( nXXX ?ix順序統(tǒng)計量與樣本分布函數(shù) 36 （ 1） 樣本中位數(shù) （ Sample Median）： （ 2） 樣本極差 （ Sample Range）： ???????????????????????????????????? ?為偶數(shù)為奇數(shù)， nXX21n XMd12n2n21n,)1()( XXR n ?? 較常用的順序統(tǒng)計量有： 37 記 顯然 ， ， 它作為 的函數(shù)具有一個 分布函數(shù)所要求的性質(zhì) ， 故稱為總體 的 樣本分布函 數(shù) 或 經(jīng)驗分布函數(shù) 。)(11122 ??????nkk XXnSS33 樣本 k階 (原點 )矩 : ,. .. .。 31 定義 設(shè) X1,X2,…,X n是來自總體 X的一個 樣本 , 若 g是連續(xù)函數(shù)且 g中不含任何未知參數(shù) ,則稱 X1,X2,…,X n的函數(shù) g(X1,X2,…,X n )是一個 統(tǒng)計量 . 又設(shè) x1,x2,…, xn是相應(yīng)于 X1,X2,…,X n的 樣本值 , 則稱 g(x1,x2,…, xn )為 g(X1,X2,…,X n ) 的 觀察值 . 統(tǒng)計量 是樣本的函數(shù) ,它是一個隨機變量 . 統(tǒng)計量 的分布稱為抽樣分布 . 32 定義 設(shè) X1,X2,…,X n是來自總體 X的一個 樣本 , x1,x2,…, xn是相應(yīng)于 X1,X2,…,X n的樣本 觀察值 . 167。若 X1,X2,…, Xn是 相 互獨立且具有同一分布的 n個隨機變量 ,則稱X1,X2,…,X n為從分布函數(shù) F(或總體 F 、
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