【正文】 1,1,4,5,8。由于該試驗由 n次基本試驗構(gòu)成 ,故亦稱之為 n重貝努里試驗 . 貝努里公式： 在 n重貝努里試驗中 ,如果 “ 成功 ” 在每次試驗中出現(xiàn)的概率為 p,令 Bk=“在 n 次試驗中 “ 成功 ” 出現(xiàn) k 次 ” ,則 ),2,1,0()1()( nkppCBP knkknk ???? ? Bernoulli概型 例 同時擲四顆均勻的骰子 ,試計算 : (1) 恰有一顆是 6點(diǎn)的概率 。 當(dāng) （ n+1） p不為整數(shù)時，概率最大的擊中目標(biāo) 次數(shù)為 (n+1)p的整數(shù)部分 . 若某個試驗由 n次基本試驗構(gòu)成 ,且具有以下特點(diǎn) : (1) 每次基本試驗有且只有兩個可能結(jié)果：成功、失敗 。 推論 1: ,若 P(A)0, 則 A與 B獨(dú)立等價于 P(B|A)=P(B). 若 P(B)0, 則 A與 B獨(dú)立等價于 P(A|B)=P(A). 證明： =P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) =P(B|A)=P(B) 注意 :從直觀上講 ,A與 B獨(dú)立就是其中任何一個事件出現(xiàn)的概率不受另一個事件出現(xiàn)與否的影響 . 證明 不妨設(shè) ,則 )B(P)A(P))B(P1)(A(P)B(P)A(P)A(P)AB(P)A(P)BA(P)BA(P?????????其他類似可證 . 推論 2:在 A與 B, 與 B,A與 ，與 這四對事件中 , 若有一對獨(dú)立 ,則另外三對也相互獨(dú)立。 由于信道中存在干擾 ， 在發(fā) 0的時候 ， 接收端分別以概率 、 為 0、 1和 “ 不清 ” 。 (2)幾何概型概率的定義 )()(P( A)?? mDm設(shè)試驗的每個樣本點(diǎn)是等可能落入?yún)^(qū)域 Ω上的隨機(jī)點(diǎn) M，且 D含在 Ω 內(nèi) ,則 M點(diǎn)落入子域 D(事件 A)上的概率為 : 幾何概型 (等可能概型的推廣 ) ??例 某人的表停了，他打開收音機(jī)聽電臺報時， 已知電臺是整點(diǎn)報時的，問他等待報時的時間短于 十分鐘的概率 . 9點(diǎn) 10點(diǎn) 10分鐘 616010)( ??AP? ??m 及 ? ?Dm 在 ? 是區(qū)間時，表示相應(yīng)的長度；在 ? 是平面或空間區(qū)域時，表示相應(yīng)的面積或體積 ． 注： 幾何概率的性質(zhì)： ? 0)( ??P? 可列可加性 : 設(shè) nAAA ?, 21 ??????????????11)(iiii APAP ?非負(fù)性 規(guī)范性 ? ? 1??P? ? ? ? 10 ??? P?兩兩互不相容． 例 兩船欲?？客粋€碼頭 , 設(shè)兩船到達(dá)碼頭的時間各不相干，而且到達(dá)碼頭的時間在一晝夜內(nèi)是等可能的 .如果兩船到達(dá)碼頭后需在碼頭停留的時間分別是 1 小時與 2 小時 ,試求在一晝夜內(nèi)，任一船到達(dá)時，需要等待空出碼頭的概率 . 解 : 設(shè)船 1 到達(dá)碼頭的瞬時為 x ， 0 ? x 24 船 2 到達(dá)碼頭的瞬時為 y ， 0 ? y 24 設(shè)事件 A 表示任一船到達(dá)碼頭時需要等待 空出碼頭． x y 24 24 y = x 224??S? ?22 222321 ??AS1 2 0 )( ????SSAP A}240,240),{( ?????? yxyx}20,10,),(),{(?????????yxxyyxyxA注： 用幾何概型可以回答例 “ 概率為 1的事件為什么不一定發(fā)生 ?”這一問題 . 如圖，設(shè)試驗 E 為 “ 隨機(jī)地向邊 0 1 x Y 1 長為 1 的正方形內(nèi)黃、藍(lán)兩個三 角形投點(diǎn) ” 事件 A 為 “ 點(diǎn)投在黃、 藍(lán)兩個三角形內(nèi) ” , 求 11111)( 2121 ????????正方形藍(lán)三角形黃三角形SSSAP由于點(diǎn)可能投在正方形的對角線上 , 所以 事件 A未必一定發(fā)生 . )(AP 主觀概率 概率的相對頻率的解釋是一種很有用的解釋，但有時它難以應(yīng)用于必須估計其概率的特定的實際問題 .可能沒有合理的自然的 “ 試驗 ” 能重復(fù)很多次，致使我們可以計算某種結(jié)果出現(xiàn)的相對次數(shù) . 例如，有什么試驗?zāi)茏屇銇砉烙嬒乱粋€十年中唐山可能發(fā)生災(zāi)難性地震的概率呢？這里，不確定性在我們的頭腦里，并非在現(xiàn)實之中 . 統(tǒng)計界的貝葉斯學(xué)派認(rèn)為： 一個事件的概率是人 們根據(jù)經(jīng)驗對該事件發(fā)生的可能性所給出的 .這樣給出 的概率稱為 主觀概率 . 1. 如果一名嫌疑人的血液和犯罪現(xiàn)場留下的血液按照 DNA分析只有十萬分之一的可能不一樣 .你如何判斷和解釋 ? 課堂練習(xí) 2. 如果由你從 0到 9中隨機(jī)抽取一個數(shù)算是一個試驗 .重復(fù)這樣的試驗 10次 , 那么得到 0147802393和得到9999999999的概率是否一樣 ?無論你怎么回答 ,請給出這兩個事件的概率 . Application 1 Question What is the probability of rolling a) an even number with one dice? b) a number greater than 3 with one dice? Solution The sample space for rolling one dice is S = {1,2,3,4,5,6}. Lets say event A is rolling an even number and B is rolling a number greater than 3. then, A= {2,4,6} and B= {4,5,6} a) P(A) = = = b) P(B)= n(B)/n(S) = 4/6 = 2/3 )()(SnAn63 21Application 2 ? Question There are three white balls and 5 red balls in the plastic bag. What is the probability of choosing a) a white ball? (event A) b) two red balls? (event B) c) a white ball and three red balls? (event C) ? Solution (a) There are 8C1 ways to choose any one ball from the plastic bag. Since there are 3 white balls, there are 3C1 ways of choosing a white ball. Thus, P(A) = 3C1/ 8C1 = 3/8 (b) P(B) = 5C2 /8C2 = 5/14 (c) There are 8C4 ways of choosing 4 balls from 8. Also, there are 3C1 * 5C3 ways of choosing one white ball and three red balls. Thus, P(C) = (3C1 * 5C3 ) / 8C4 = 3/7 Check your understanding!! What is the probability of choosing a vowel from the alphabet? (★ ) There are two dice and they are rolled simultaneously. What is the probability of rolling (a) the same numbers, (b) the numbers whose sum is 7 (c) the numbers whose sum is less than or equal to 5. (★ ★ ) A dice is rolled twice. What is the probability of having the second number that is greater than the first one? (★ ★★ ) There are 20 numbers on the board and a student is to pick 2 of them. There are 4 winning numbers that will give the student extra 3 marks on the test. What is the probability of choosing 2 winning numbers? (★ ★★★ ) The set A has elements of a1, a2, a3, a4, …..,a 10. If I were to choose a subset, what is the probability of choosing the subset that includes a1, a2, a3 ? (all three of them as a group) (★★★★★ ) LETS FIND OUT THE ANSWERS!! Answer Key Among 26 alphabets, 5 of them are vowels. Therefore, P(A) = n(A)/n(S) = 5/26 There are 36 outes in total as each dice has 6 numbers. (6C1 * 6C1). Part A: one can have (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6). Since n(A)=6, the P(A) = 6/36 = 1/6 Part B: There are 6 possible ways of getting a sum of 7. Thus, P(B) = 6/36 = 1/6 Part C: n(c) = 10 ( all the purple coloured squares) Thus, P(C) = 10/36 = 5/18 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 Based on the chart, there are 5+4+3+2+1 outes for the event A. Since it involves rolling a dice twice, n(S) = 36. P(A) = 15/36 = 5/12 There are 2C20 ways of picking any two numbers from the board (n(S)). Furthermore, the number of ways to pick two winning numbers is 4C20 (n(A)). P(A) = 4C2 / 2C20 = 3/95 The total number of subset for A is 210. To calculate the number of subset that includes a1, a2, a3, we calculate the number of subsets of { a4, a5, a6… .a10 }, and it is 27. This is because we can add a1, a2, and a3 to each subset of { a4, a5, a6… .a10 }. Therefore P(A) = 27/ 210 = 1/23 = 1/8 First number Second number 1 2,3,4,5,6 2 3,4,5,6 3, 4,5,6 4 5,6 5 6 6 課件制作：應(yīng)用數(shù)學(xué)系 概率統(tǒng)計課程組