概率論與數(shù)理統(tǒng)計(2)-wenkub.com
2025-04-26 12:04 本頁面
【正文】 。 正態(tài)總體的 區(qū)間估計 設 X1 ， X2,… ， Xn為來自總體 X?F(x。?)的一個樣本 ， ? ? ?是未知參數(shù) . 若對于給定的 ?（ 0 ? 1）， 存在兩個統(tǒng)計量 1 1 1 2 2 1 1 2? ? ? ? ? ?( , , ) , ( , , ) ( )nnX X X X? ? ? ? ? ?? ? ? 使得對任意的 ? ? ? 滿足 1 1 2 1? ?( , ) ( , ) 1nnP X X X X? ? ? ???? ? ? ?????一 置信區(qū)間的定義 則稱隨機區(qū)間 為參數(shù) ? 的 置信水平(confidence level)為 1? 的 置信區(qū)間(confidence interval). 12? ?[ , ]??置信水平 又稱為 置信度 ，置信區(qū)間的左端點 又稱為 置信下界 ，置信區(qū)間的右端點 又稱為 置信上界 . 1?? 2??1 1 1 2 2 111 1 2 11 1 2 1? ? ? ?( , , ) ( , , )( , , ) ,? ?( , , ) , ( , , )? ?( , , ) , ( , , )nnnnnnnX X X Xx x xx x x xx x x x? ? ? ?? ? ?? ? ????和 都 是隨 機 變 量 的 函 數(shù) ， 因 而 也 是 隨 機 變 量 . 但 是 給 定樣 本 觀 測 值 = 就 得 到 一 個 具 體 的 閉 區(qū) 間[ ] , 我 們 以 1 的 概 率 保 證說未 知 參 數(shù) [明 ：].5 % 1 9 5 % .1 0 0 1 0 0955????? ? ?若 取 ， 即 置 信 水 平 為這 時 重 復 抽 樣 次 ， 則 在 得 到 的 個 區(qū) 間中 包 含 真 值 的 有 個 左 右 ， 不 包 含 真 值 的有 個 左 右 .12? ?[ , ]??1. 要求 以很大的可能被包含在區(qū)間 ?內(nèi)，就是說，概率 要盡可能大 . 12? ?()P ? ? ???2. 估計的精度要盡可能的高 . 如要求區(qū)間 長度 盡可能短，或能體現(xiàn)該要求 的其它準則 . 21? ????即要求估計盡量可靠 . 可靠度與精度是一對矛盾， 一般是在保證可靠度的條件下 盡可能提高精度 . (1)從未知參數(shù) ? 的某個點估計 出發(fā) ， 構(gòu)造 與 ? 的一個函數(shù) W( ,? ) , 使得 W的分布已知 ， 且不依賴于未知參數(shù) ? 該函數(shù)通常稱為 樞軸量 . ???,???1? ?( ( , , ) )nXX???二 構(gòu)造置信區(qū)間的方法 1. 樞軸量法 (3) 利用不等式運算，將不等式 ?(( 1, ) )P a W b?? ?? ?? ?(2) 適當 選取兩個常數(shù) a, b，使對給定的 ?， 有 ?( , )a W b????等價變形為 1 1 2 1? ?( , , ) ( , , )nnX X X X? ? ???即 ?( ( , ) )P a W b????1 1 2 1? ?{ ( , , ) ( , , ) } 1nnP X X X X? ? ? ?? ? ? ? ? 此時參數(shù) ? 的置信水平為 1? 的置信區(qū)間為 12? ?[ , ].??2. 如何確定 a , b 我們總是希望置信區(qū)間盡可能短 . 任意兩個數(shù) a和 b，只要它們的縱標包含f(u)下 95%的面積，就確定一個 95%的置信區(qū)間 . 0uuu()fua b950.950.950.c da b在 概率密度為單峰且對稱的情形，當 a =b時求得的置信區(qū)間的長度為最短 . ?( , )W ??0uuu)(ufa b950.950.950.a =b a ba b 即使 的概率密度不對稱的情形，如 分布 ， F分布 ，習慣上仍取對稱的百分位點來計算未知參數(shù)的置信區(qū)間 . 2?2 2 ()n??212()n?? ?)(xfx)(~ 2 nX ??( , )W ??三 正態(tài)總體均值與方差的區(qū)
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