【正文】 ① ② 1 2 N …… !nNCn?? ( ) ! /nnNP A C n N? ? ?( ) 1 ! / 0. 99 7nnNP A C n N? ? ? ? ? 即當(dāng) n＝ 2時(shí)，共有 N2個(gè)樣本點(diǎn)；一般地， n個(gè)球放入 N個(gè)盒子中，總樣本點(diǎn)數(shù)為 Nn，使 A發(fā)生的樣本點(diǎn)數(shù) 可解析為一個(gè) 64人的班上，至少有兩人在同一天過(guò)生日的概率為%． 若取 n＝ 64， N＝ 365 26 例 5：一單位有 5個(gè)員工，一星期共七天， 老板讓每位員工獨(dú)立地挑一天休息， 求不出現(xiàn)至少有 2人在同一天休息的 概率。 解：將 5為員工看成 5個(gè)不同的球， 7天看成 7個(gè)不同的盒子， 記 A={ 無(wú) 2人在同一天休息 }， 則由上例知： ? ?5755! 3 .7 %7CPA ???27 例 6: (抽簽問(wèn)題 )一袋中有 a個(gè)紅球， b個(gè)白球，記 a＋ b＝ n． 設(shè)每次摸到各球的概率相等，每次從袋中摸一球， 不放回地摸 n次。 設(shè) { 第 k次摸到紅球 }， k＝ 1,2,?,n ．求 解 1： kA ? ()kPA① ② … n ① —— a , , , ,12 kn???? ???① ② … n ( 1 ) !()( ) !ka a b aPAa b a b??????可以是①號(hào)球，亦可以是②號(hào)球 …… 是 號(hào)球 n 號(hào)球?yàn)榧t球，將 n個(gè)人也編號(hào)為 1,2,?,n ． 與 k無(wú)關(guān) 可設(shè)想將 n個(gè)球進(jìn)行編號(hào)： 其中 視 的任一排列為一個(gè)樣本點(diǎn)，每點(diǎn)出現(xiàn)的概率 相等。 28 解 3： 將第 k次摸到的球號(hào)作為一樣本點(diǎn)： , , , ,12 kn???? ???11( ) /aak n naP A C Cab??? ? ? ?( ) 1 2kPA??()k aaPA n a b? ? ? ?此值不僅與 k無(wú)關(guān)，且與 a，b都無(wú)關(guān)，若 a＝ 0呢？對(duì)嗎？ 為什么？ 原來(lái)這不是等可能概型 11anC ??anCkA總樣本點(diǎn)數(shù)為 ，每點(diǎn)出現(xiàn)的概率相等，而其中有 個(gè) 樣本點(diǎn)使 發(fā)生， ① ，②， … ， nS＝ { }， kA ?① ，②， … ， a { } kA ?{紅色 } 解 2： 視哪幾次摸到紅球?yàn)橐粯颖军c(diǎn) 解 4： 記第 k次摸到的球的顏色為一樣本點(diǎn)： S＝ {紅色 ,白色 }， 29 解：假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒(méi)有規(guī)定，而各來(lái)訪者在一周 的任一天中去接待站是等可能的，那么， 12次接待來(lái) 訪者都是在周二、周四的概率為 212/712 = 000 3. 例 7：某接待站在某一周曾接待 12次來(lái)訪，已知所有這 12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的，問(wèn)是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的 ? 人們?cè)陂L(zhǎng)期的實(shí)踐中總結(jié)得到“概率很小的事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上幾乎是不發(fā)生的” (稱之為 實(shí)際推斷原理 )。 現(xiàn)在概率很小的事件在一次試驗(yàn)中竟然發(fā)生了，因此有理由懷疑假設(shè)的正確性，從而推斷接待站不是每天都接待來(lái)訪者，即認(rèn)為其接待時(shí)間是有規(guī)定的。 167。 5 條件概率 例：有一批產(chǎn)品，其合格率為 90%，合格品中有 95%為 優(yōu)質(zhì)品，從中任取一件， 記 A={取到一件合格品 }， B={取到一件優(yōu)質(zhì)品 }。 則 P(A)=90% 而 P(B)=% 記： P(B|A)=95% 1. P(A)= 是將整批產(chǎn)品記作 1時(shí) A的測(cè)度 2. P(B|A)= 是將合格品記作 1時(shí) B的測(cè)度 3. 由 P(B|A)的意義，其實(shí)可將 P(A)記為 P(A|S)，而這里的S常常省略而已， P(A)也可視為條件概率 分析： B A S ()()P A BxPA?若記 P(B|A)=x，則應(yīng)有 P(A):P(AB)=1:x 解得： 31 一、條件概率 定義： 由上面討論知， P(B|A)應(yīng)具有概率的所有性質(zhì)。 例如： ( | ) 1 ( | )P B A P B A??( | ) ( | ) ( | ) ( | )P B C A P B A P C A P BC A? ? ?BC? ( | ) ( | )P B A P C A??( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P AB P A P B A P B P A B? ? ? ?( ) ( ) ( | ) ( | )P ABC P A P B A P C AB?1 2 1 2 1 3 1 2 1 1( ) ( ) ( | ) ( | ) ( | )n n nP A A A P A P A A P A A A P A A A ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?()( | )()P A BP B APA?( ) 0PA ?二、乘法公式 當(dāng)下面的條件概率都有意義時(shí)： 32 例：某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能直接出廠的概率為 70%，余下 的 30%的產(chǎn)品要調(diào)試后再定，已知調(diào)試后有 80% 的產(chǎn)品可以出廠， 20%的產(chǎn)品要報(bào)廢。求該廠產(chǎn) 品的報(bào)廢率。 ( | ) 0P A B ?( ) ( )P A P AB AB??( ) ( | ) ( ) ( | )P B P A B P B P A B? ? ? ? 0 6%? ? ? ? ?AB∵ AB與 不相容 利用乘法公式 ( ) ( )P A B P A B?? 解：設(shè) A={生產(chǎn)的產(chǎn)品要報(bào)廢 } B={生產(chǎn)的產(chǎn)品要調(diào)試 } 已知 P(B)=， P(A|B)=， ,( ) ( ) ( ) ( ) 0 . 3 0 . 2 6 %A B A A BP A P A B P B P A B??? ? ? ? ?另 解 ：33 例：某行業(yè)進(jìn)行專業(yè)勞動(dòng)技能考核，一個(gè)月安排一次，每人 最多參加 3次；某人第一次參加能通過(guò)的概率為 60%；如 果第一次未通過(guò)就去參加第二次，這時(shí)能通過(guò)的概率為 80%；如果第二次再未通過(guò)，則去參加第三次，此時(shí)能通 過(guò)的概率為 90%。求這人能通過(guò)考核的概率。 1 1 2 1 2 3A A A A A A A? ? ?1 1 2 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )P A P A P A A P A A A? ? ?1 1 2 1 1 2 1 3 1 2( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( | )P A P A P A A P A P A A P A A A? ? ? ? ? 0 92? ? ? ? ? ?＋1 2 3 1 2 1 3 1 2( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( | ) ( | )P A P A P A A A P A P A A P A A A? ? ? ? ? ?1 0. 4 0. 2 0. 1 0. 99 2? ? ? ? ?2121( | )1 ( | )1 P A AP A A?? ? ?解： 設(shè) Ai={ 這人第 i次通過(guò)考核 }， i=1,2,3 A={ 這人通過(guò)考核 }， 亦可： 34 例：從 52張牌中任取 2張，采用 (1)放回抽樣，（ 2）不放 回抽樣，求恰是“一紅一黑”的概率。 1 2 1 2( ) ( )P B P A A A A??1 2 1 1 2 1( ) ( | ) ( ) ( | )P A P A A P A P A A? ? ? ?1 1 121 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2P B C? ? ? ? ? ?1 1 22 6 2 6 5 22 6 2 6 2 6 2 6 2 6( ) /5 2 5 1 5 2 5 1 5 1P B C C C? ? ? ? ? ?利用乘法公式 與 不相容 12AA 12AA1 2 1 2( ) ( )P A A P A A??（ 1）若為放回抽樣： （ 2）若為不放回抽樣： 解： 設(shè) Ai={第 i次取到紅牌 }， i=1,2 B={取 2張恰是一紅一黑 } 35 三、全概率公式與 Bayes公式 定義：設(shè) S為試驗(yàn) E的樣本空間， B1,B2,?,B n 為 E的一組事件。若： 則稱 B1,B2,?,B n為 S的 一個(gè)劃分 ,或稱為 一組完備事件組 。 12( ) ni B B B S? ? ??? ? ?( ) , , , 1 , 2 , ,ijii B B i j i j n? ? ? ? ? ? ?B1 B2 Bn S 即： B1,B2,?,B n至少有一發(fā)生是 必然的，兩兩同時(shí)發(fā)生又是不可能的。 36 定理：設(shè)試驗(yàn) E的樣本空間為 S， A為 E的事件。 B1,B2,?,B n為 S的一個(gè)劃分， P(Bi)0， i=1,2,?,n ； 則稱： 12 nA AS AB AB AB? ? ? ? ??? ?1( ) ( | )( | )( ) ( | )iii njjjP B P A BP B AP B P A B???()( | )()iiP B AP B APA?? ?ijAB ABij?與不相容1( ) ( ) ( | )njjjP A P B P A B????為 全概率公式 1( ) ( )njjP A P A B??? ?1( ) ( | )njjjP B P A B????B1 B2 Bn S A 證明： 定理：接上定理?xiàng)l件， 稱此式為 Bayes公式。 37 * 全概率公式可由以下框圖表示： 設(shè) P(Bj)=pj, P(A|Bj)=qj, j=1,2,?,n 易知： 11njjp???S P1 P2 Pn . . . B2 B1 Bn . . . q2 q1 qn A ? ? ? ? ? ?1|n jjjP A P B P A B?? ?38 例：一單位有甲、乙兩人，已知甲近期出差的概率為 80%， 若甲出差，則乙出差的概率為 20%；若甲不出差， 則乙出差的概率為 90%。 (1)求近期乙出差的概率； (2)若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。 ( ) 0 , ( | ) 0 , ( | ) 0P A P B A P B A? ? ?已知? ?1 ( ) ( )P B P A B A B?( ) ( | ) ( ) ( | )P A P B A P A P B A??0 .8 0 .2 0 .2 0 .9 3 4 %? ? ? ? ?? ? ( ) ( ) 1 6 82 ( | ) ( ) ( ) ( ) 3 4 1 7P A B P A BP A B P B P A B P A B? ? ? ??A B A B與 不相容( ) ( )P A B P A B??解：設(shè) A={甲出差 }， B={乙出差 } 39 例：根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗(yàn)具有 5% 的假陽(yáng)性及 5%的假陰性：若設(shè) A={試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性 }， C={被診斷患有癌癥 } 則有： 已知某一群體 P(C)=，問(wèn)這種方法能否用于普查？ ( | ) 5 % , ( | ) 5 % ,P A C P A C??()( | )()P A CP C APA?( ) ( | ) 0 . 0 8 7( ) ( | ) ( ) ( | )P C P A CP C P A C P C P A C????若 P(C)較大，不妨設(shè) P(C)= 推出 P(C|A)= 說(shuō)明這種試驗(yàn)方法可在醫(yī)院用 解：考察 P(C|A)的值 若用于普查， 100個(gè)陽(yáng)性病人中被診斷患有癌癥的 大約有 ，所以不宜用于普查。 40 167。 6 獨(dú)立性 例：有 10件產(chǎn)品，其中 8件為正品， 2件為次品。從中取 2