【文章內(nèi)容簡介】 求（1）P (X2), P {0X≤3}, P (2X)；（2）求概率密度fX (x).解：（1）P (X≤2)=FX (2)= ln2， P (0X≤3)= FX (3)－FX (0)=1，（2）20.[十八（2）]設(shè)隨機變量的概率密度為（1）（2）求X的分布函數(shù)F (x)，并作出（2）中的f (x)與F (x)的圖形。解：當－1≤x≤1時：當1x時：故分布函數(shù)為：解：（2）故分布函數(shù)為（2）中的f (x)與F (x)的圖形如下f (x)x0F (x)21x01222.[二十] 某種型號的電子的壽命X（以小時計）具有以下的概率密度： 現(xiàn)有一大批此種管子（設(shè)各電子管損壞與否相互獨立）。任取5只，問其中至少有2只壽命大于1500小時的概率是多少？解：一個電子管壽命大于1500小時的概率為令Y表示“任取5只此種電子管中壽命大于1500小時的個數(shù)”。則，23.[二十一] 設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間X（以分計）服從指數(shù)分布，其概率密度為：某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10分鐘他就離開。他一個月要到銀行5次。以Y表示一個月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，寫出Y的分布律。并求P（Y≥1）。解：該顧客“一次等待服務(wù)未成而離去”的概率為因此 24.[二十二] 設(shè)K在（0，5）上服從均勻分布，求方程有實根的概率 ∵ K的分布密度為：要方程有根，就是要K滿足(4K)2－44 (K+2)≥0。解不等式，得K≥2時，方程有實根?！? 25.[二十三] 設(shè)X～N（）（1）求P (2X≤5)，P (－4)X≤10)，P{|X|2}，P (X3)∵ 若X～N（μ，σ2），則P (αX≤β)=φφ∴ P (2X≤5) =φφ=φ(1)－φ(－) =－= P (－4X≤10) =φφ=φ()－φ(－) =－=P (|X|2)=1－P (|X|2)= 1－P (－2 P2 ) = =1－φ(－) +φ(－) =1－+= P (X3)=1－P (X≤3)=1－φ=1－=（2）決定C使得P (X C )=P (X≤C)∵ P (X C )=1－P (X≤C )= P (X≤C)得 P (X≤C )==又 P (X≤C )=φ ∴ C =326.[二十四] 某地區(qū)18歲的女青年的血壓（收縮區(qū)，以mmHg計）服從在該地區(qū)任選一18歲女青年，測量她的血壓X。求（1）P (X≤105)，P (100X ≤120). （2）確定最小的X使P (Xx) ≤ .解:27.[二十五] 由某機器生產(chǎn)的螺栓長度（cm）服從參數(shù)為μ=，σ=。177。，求一螺栓為不合格的概率是多少？設(shè)螺栓長度為X P{X不屬于(－, +) =1－P (－X+) =1－ =1－{φ(2)－φ(－2)} =1－{－} =28.[二十六] 一工廠生產(chǎn)的電子管的壽命X（以小時計）服從參數(shù)為μ=160，σ(未知)的正態(tài)分布，若要求P (120＜X≤200＝=，允許σ最大為多少？∵ P (120＜X≤200)=又對標準正態(tài)分布有φ(－x)=1－φ(x)∴ 上式變?yōu)? 解出 再查表，得30.[二十七] 設(shè)隨機變量X的分布律為： X：－2， －1， 0， 1， 3P：， ， ， ， 求Y=X 2的分布律∵ Y=X 2：(－2)2 (－1)2 (0)2 (1)2 (3)2 P： 再把X 2的取值相同的合并，并按從小到大排列，就得函數(shù)Y的分布律為：∴ Y： 0 1 4 9 P： 31.[二十八] 設(shè)隨機變量X在（0，1）上服從均勻分布（1）求Y=eX的分布密度∵ X的分布密度為： Y=g (X) =eX是單調(diào)增函數(shù)又 X=h (Y)=lnY，反函數(shù)存在且 α = min[g (0), g (1)]=min(1, e)=1 max[g (0), g (1)]=max(1, e)= e∴ Y的分布密度為：（2）求Y=－2lnX的概率密度。∵ Y= g (X)=－2lnX 是單調(diào)減函數(shù)又 反函數(shù)存在。且 α = min[g (0), g (1)]=min(+∞, 0 )=0 β=max[g (0), g (1)]=max(+∞, 0 )= +∞∴ Y的分布密度為：32.[二十九] 設(shè)X～N（0，1）（1）求Y=eX的概率密度∵ X的概率密度是 Y= g (X)=eX 是單調(diào)增函數(shù)又 X= h (Y ) = lnY 反函數(shù)存在且 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=0 β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞∴ Y的分布密度為：（2）求Y=2X2+1的概率密度。在這里，Y=2X2+1在(+∞，－∞)不是單調(diào)函數(shù)，沒有一般的結(jié)論可用。設(shè)Y的分布函數(shù)是FY（y），則 FY ( y)=P (Y≤y)=P (2X2+1≤y) =當y1時：FY ( y)=0當y≥1時：故Y的分布密度ψ( y)是：當y≤1時：ψ( y)= [FY ( y)]39。 = (0)39。 =0當y1時，ψ( y)= [FY ( y)]39。 = =（3）求Y=| X |的概率密度。∵ Y的分布函數(shù)為 FY ( y)=P (Y≤y )=P ( | X |≤y)當y0時，F(xiàn)Y ( y)=0當y≥0時，F(xiàn)Y ( y)=P (| X |≤y )=P (－y≤X≤y)=∴ Y的概率密度為：當y≤0時：ψ( y)= [FY ( y)]39。 = (0)39。 =0當y0時：ψ( y)= [FY ( y)]39。 =33.[三十] （1）設(shè)隨機變量X的概率密度為f (x)，求Y = X 3的概率密度?！? Y=g (X )= X 3 是X單調(diào)增函數(shù)，又 X=h (Y ) =，反函數(shù)存在，且 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=－∞ β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞∴ Y的分布密度為： ψ( y)= f [h ( h )]| h39。 ( y)| = （2）設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求Y=X 2的概率密度。xOy=x2y法一：∵ X的分布密度為： Y=x2是非單調(diào)函數(shù)當 x0時 y=x2 39。 反函數(shù)是當 x0時 y=x2 amp。 ∴ Y～ fY (y) = － =法二： ∴ Y～ fY (y) =34.[三十一] 設(shè)X的概率密度為求Y=sin X的概率密度?！?FY ( y)=P (Y≤y) = P (sinX≤y)當y0時：FY ( y)=0當0≤y≤1時：FY ( y) = P (sinX≤y) = P (0≤X≤arc sin y或π－arc sin y≤X≤π) =當1y時：FY ( y)=1∴ Y的概率密度ψ( y )為：y≤0時，ψ( y )=[ FY ( y)]39。 = (0 )39。 = 00y1時，ψ( y )=[ FY ( y)]39。 = =1≤y時，ψ( y )=[ FY ( y)]39。 = = 036.[三十三] 某物體的溫度T (oF )是一個隨機變量，且有T～N（，2），試求θ(℃)的概率密度。[已知]法一：∵ T的概率密度為 又 是單調(diào)增函數(shù)。 反函數(shù)存在。 且 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(－∞, +∞)=－∞ β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(－∞, +∞)= +∞ ∴ θ的概率密度ψ(θ)為 法二：根據(jù)定理：若X～N（α1， σ1），則Y=aX+b～N (aα1+b, a2 σ2 )由于T～N（, 2）故 故θ的概率密度為：第三章 多維隨機變量及其分布1.[一] 在一箱子里裝有12只開關(guān)，其中2只是次品，在其中隨機地取兩次，每次取一只?？紤]兩種試驗：（1）放回抽樣，（2）不放回抽樣。我們定義隨機變量X，Y如下：試分別就（1）（2）兩種情況，寫出X和Y的聯(lián)合分布律。解：（1）放回抽樣情況由于每次取物是獨立的。由獨立性定義知。P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j)P (X=0, Y=0 )=P (X=0, Y=1 )=P (X=1, Y=0 )=P (X=1, Y=1 )=或?qū)懗蒟Y0101（2）不放回抽樣的情況P {X=0, Y=0 }=P {X=0, Y=1 }=P {X=1, Y=0 }=P {X=1, Y=1 }=或?qū)懗蒟Y01013.[二] 盒子里裝有3只黑球，2只紅球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數(shù)，以Y表示取到白球的只數(shù)，求X，Y的聯(lián)合分布律。XY01230001020解：（X，Y）的可能取值為(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j≥2，聯(lián)合分布律為P {X=0, Y=2 }=P {X=1, Y=1 }=P {X=1, Y=2 }=P {X=2, Y=0 }=P {X=2, Y=1 }=P {X=2, Y=2 }=P {X=3, Y=0 }=P {X=3, Y=1 }=P {X=3, Y=2 }=05.[三] 設(shè)隨機變量（X，Y）概率密度為（1）確定常數(shù)k。 （2）求P {X1, Y3}（3）求P (X} （4）求P (X+Y≤4}分析：利用P {(X, Y)∈G}=再化為累次積分，其中解：（1）∵，∴（2）（3）y（4）6．（1）求第1題中的隨機變量（X、Y ）的邊緣分布律。 （2）求第2題中的隨機變量（X、Y ）的邊緣分布律。2解：（1）① 放回抽樣（第1題）XY0x+y=4110xo1邊緣分布律為 X 0 1 Y 0 1 Pi Pj ② 不放回抽樣（第1題）XY0101邊緣分布為 X 0 1 Y 0 1 Pi Pj （2）（X，Y ）的聯(lián)合分布律如下XY0123000300解： X的邊緣分布律 Y的邊緣分布律X 0 1 2 3 Y 1 3Pi Pj 7.[五] 設(shè)二維隨機變量（X，Y ）的概率密度為解：8.[六] 設(shè)二維隨機變量（X，Y）的概率密度為x=yy求邊緣概率密度。xo解: 9.[七] 設(shè)二維隨機變量（X，Y）的概率密度為（1）試確定常數(shù)c。（2）求邊緣概率密度。解: l=yo y=x2x15. 第1題中的隨機變量X和Y是否相互獨立。解：放回抽樣的情況P {X=0, Y=0 } = P {X=0}P {Y=0} =P {X=0, Y=1 } = P {X=0}P {Y=1}=P {X=1, Y=0 } = P {X=1}P {Y=0}=P {X=1, Y=1 } = P {X=1}P {Y=1}=在放回抽樣的情況下，X和Y是獨立的不放回抽樣的情況：P {X=0, Y=0 } =P {X=0}=P {X=0}= P {X=0, Y=0 } + P {Y=0, X=1 }=P {X=0}P {Y=0} =P {X=0, Y=0 }≠P {X=0}P {Y=0}∴ X和Y不獨立16.[十四] 設(shè)X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，X在（0，1）上服從均勻分布。Y的概率密度為（1）求X和Y的聯(lián)合密度。（2）設(shè)含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0,試求有實根的概率。解：（1）X的概率密度為y=x2Y的概率密度為1xDyo且知X, Y相互獨立，于是（X，Y）的聯(lián)合密度為（2）由于a有實跟根，從而判別式 即： 記 19.[十八] 設(shè)某種商品一周的需要量是一個隨機變量，其概率密度為