【正文】 浙大第四版（高等教育出版社）(浙江大學(xué))第一章 概率論的基本概念1.[一] 寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間（1）記錄一個(gè)小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)（充以百分制記分）（[一] 1），n表小班人數(shù)（3）生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到10件正品，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。（[一] 2）S={10，11，12，………，n，………}（4）對某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查，合格的蓋上“正品”，不合格的蓋上“次品”，如連續(xù)查出二個(gè)次品就停止檢查，或檢查4個(gè)產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果。查出合格品記為“1”，查出次品記為“0”，連續(xù)出現(xiàn)兩個(gè)“0”就停止檢查，或查滿4次才停止檢查。 （[一] (3)）S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，}2.[二] 設(shè)A，B，C為三事件，用A，B，C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件。（1）A發(fā)生，B與C不發(fā)生。表示為： 或A－ (AB+AC)或A－ (B∪C)（2）A，B都發(fā)生，而C不發(fā)生。表示為： 或AB－ABC或AB－C（3）A，B，C中至少有一個(gè)發(fā)生 表示為：A+B+C（4）A，B，C都發(fā)生， 表示為：ABC（5）A，B，C都不發(fā)生， 表示為：或S－ (A+B+C)或（6）A，B，C中不多于一個(gè)發(fā)生，即A，B，C中至少有兩個(gè)同時(shí)不發(fā)生相當(dāng)于中至少有一個(gè)發(fā)生。故 表示為：。（7）A，B，C中不多于二個(gè)發(fā)生。相當(dāng)于：中至少有一個(gè)發(fā)生。故 表示為：（8）A，B，C中至少有二個(gè)發(fā)生。相當(dāng)于：AB，BC，AC中至少有一個(gè)發(fā)生。故 表示為：AB+BC+AC6.[三] 設(shè)A，B是兩事件且P (A)=，P (B)=. 問(1)在什么條件下P (AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么條件下P (AB)取到最小值，最小值是多少？解：由P (A) = ，P (B) = ≠φ，（否則AB = φ依互斥事件加法定理， P(A∪B)=P (A)+P (B)=+=1與P (A∪B)≤1矛盾）.從而由加法定理得P (AB)=P (A)+P (B)－P (A∪B) (*)（1）從0≤P(AB)≤P(A)知，當(dāng)AB=A，即A∩B時(shí)P(AB)取到最大值，最大值為 P(AB)=P(A)=，（2）從(*)式知，當(dāng)A∪B=S時(shí)，P(AB)取最小值，最小值為 P(AB)=+－1= 。7.[四] 設(shè)A，B，C是三事件，且，. 求A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生的概率。解：P (A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC)+ P(ABC)= 8.[五] 在一標(biāo)準(zhǔn)英語字典中具有55個(gè)由二個(gè)不相同的字母新組成的單詞，若從26個(gè)英語字母中任取兩個(gè)字母予以排列，問能排成上述單詞的概率是多少？記A表“能排成上述單詞”∵ 從26個(gè)任選兩個(gè)來排列，排法有種。每種排法等可能。字典中的二個(gè)不同字母組成的單詞：55個(gè)∴ 9. 在電話號碼薄中任取一個(gè)電話號碼，求后面四個(gè)數(shù)全不相同的概率。（設(shè)后面4個(gè)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)都是等可能性地取自0，1，2……9）記A表“后四個(gè)數(shù)全不同”∵ 后四個(gè)數(shù)的排法有104種，每種排法等可能。后四個(gè)數(shù)全不同的排法有∴ 10.[六] 在房間里有10人。分別佩代著從1號到10號的紀(jì)念章，任意選3人記錄其紀(jì)念章的號碼。（1）求最小的號碼為5的概率。記“三人紀(jì)念章的最小號碼為5”為事件A∵ 10人中任選3人為一組：選法有種，且每種選法等可能。又事件A相當(dāng)于：有一人號碼為5，其余2人號碼大于5。這種組合的種數(shù)有∴ （2）求最大的號碼為5的概率。記“三人中最大的號碼為5”為事件B，同上10人中任選3人，選法有種，且每種選法等可能，又事件B相當(dāng)于：有一人號碼為5，其余2人號碼小于5，選法有種 11.[七] 某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，紅漆3桶。在搬運(yùn)中所標(biāo)箋脫落，交貨人隨意將這些標(biāo)箋重新貼，問一個(gè)定貨4桶白漆，3桶黑漆和2桶紅漆顧客，按所定的顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少？記所求事件為A。在17桶中任取9桶的取法有種，且每種取法等可能。取得4白3黑2紅的取法有故 12.[八] 在1500個(gè)產(chǎn)品中有400個(gè)次品，1100個(gè)正品，任意取200個(gè)。（1）求恰有90個(gè)次品的概率。記“恰有90個(gè)次品”為事件A∵ 在1500個(gè)產(chǎn)品中任取200個(gè)，取法有種，每種取法等可能。200個(gè)產(chǎn)品恰有90個(gè)次品，取法有種∴ （2）至少有2個(gè)次品的概率。記：A表“至少有2個(gè)次品”B0表“不含有次品”，B1表“只含有一個(gè)次品”，同上，200個(gè)產(chǎn)品不含次品，取法有種，200個(gè)產(chǎn)品含一個(gè)次品，取法有種∵ 且B0，B1互不相容。∴ 13.[九] 從5雙不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一雙的概率是多少？記A表“4只全中至少有兩支配成一對”則表“4只人不配對”∵ 從10只中任取4只，取法有種，每種取法等可能。要4只都不配對，可在5雙中任取4雙，再在4雙中的每一雙里任取一只。取法有15.[十一] 將三個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去，問杯子中球的最大個(gè)數(shù)分別是1，2，3，的概率各為多少？記Ai表“杯中球的最大個(gè)數(shù)為i個(gè)” i=1,2,3,三只球放入四只杯中，放法有43種，每種放法等可能對A1：必須三球放入三杯中，每杯只放一球。放法432種。 (選排列：好比3個(gè)球在4個(gè)位置做排列)對A2：必須三球放入兩杯，一杯裝一球，一杯裝兩球。放法有種。(從3個(gè)球中選2個(gè)球，選法有，再將此兩個(gè)球放入一個(gè)杯中，選法有4種，最后將剩余的1球放入其余的一個(gè)杯中，選法有3種。對A3：必須三球都放入一杯中。放法有4種。(只需從4個(gè)杯中選1個(gè)杯子，放入此3個(gè)球，選法有4種)16.[十二] 50個(gè)鉚釘隨機(jī)地取來用在10個(gè)部件，其中有三個(gè)鉚釘強(qiáng)度太弱，每個(gè)部件用3只鉚釘，若將三只強(qiáng)度太弱的鉚釘都裝在一個(gè)部件上，則這個(gè)部件強(qiáng)度就太弱，問發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱的概率是多少？記A表“10個(gè)部件中有一個(gè)部件強(qiáng)度太弱”。法一：用古典概率作：把隨機(jī)試驗(yàn)E看作是用三個(gè)釘一組，三個(gè)釘一組去鉚完10個(gè)部件（在三個(gè)釘?shù)囊唤M中不分先后次序。但10組釘鉚完10個(gè)部件要分先后次序）對E：鉚法有種，每種裝法等可能對A：三個(gè)次釘必須鉚在一個(gè)部件上。這種鉚法有〔〕10種法二：用古典概率作把試驗(yàn)E看作是在50個(gè)釘中任選30個(gè)釘排成一列，順次釘下去，直到把部件鉚完。（鉚釘要計(jì)先后次序）對E：鉚法有種，每種鉚法等可能對A：三支次釘必須鉚在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，…或“28，29，30”位置上。這種鉚法有種17.[十三] 已知。解一： 注意. 故有P (AB)=P (A)－P (A)=－=。再由加法定理，P (A∪)= P (A)+ P ()－P (A)=+－=于是18.[十四] 。解：由由乘法公式，得由加法公式，得19.[十五] 擲兩顆骰子，已知兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為7，求其中有一顆為1點(diǎn)的概率（用兩種方法）。解：（方法一）（在縮小的樣本空間SB中求P(A|B)，即將事件B作為樣本空間，求事件A發(fā)生的概率）。擲兩顆骰子的試驗(yàn)結(jié)果為一有序數(shù)組（x, y）（x, y=1,2,3,4,5,6）并且滿足x,+y=7，則樣本空間為S={(x, y)| (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)}每種結(jié)果（x, y）等可能。A={擲二骰子，點(diǎn)數(shù)和為7時(shí)，其中有一顆為1點(diǎn)。故}方法二：（用公式S={(x, y)| x =1,2,3,4,5,6。 y = 1,2,3,4,5,6}}每種結(jié)果均可能A=“擲兩顆骰子，x, y中有一個(gè)為“1”點(diǎn)”，B=“擲兩顆骰子，x,+y=7”。則，故20.[十六] 據(jù)以往資料表明，某一3口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：P(A)=P{孩子得病}=，P (B|A)=P{母親得病|孩子得病}=，P (C|AB)=P{父親得病|母親及孩子得病}=。求母親及孩子得病但父親未得病的概率。解：所求概率為P (AB)（注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是隨機(jī)事件，這里不是求P (|AB)P (AB)= P(A)=P(B|A)==, P (|AB)=1－P (C |AB)=1－=.從而P (AB)= P (AB) P(|AB)==.21.[十七] 已知10只晶體管中有2只次品，在其中取二次，每次隨機(jī)地取一只，作不放回抽樣，求下列事件的概率。（1）二只都是正品（記為事件A）法一：用組合做 在10只中任取兩只來組合，每一個(gè)組合看作一個(gè)基本結(jié)果，每種取法等可能。法二：用排列做 在10只中任取兩個(gè)來排列，每一個(gè)排列看作一個(gè)基本結(jié)果，每個(gè)排列等可能。法三：用事件的運(yùn)算和概率計(jì)算法則來作。記A1，A2分別表第一、二次取得正品。（2）二只都是次品（記為事件B）法一： 法二： 法三： （3）一只是正品，一只是次品（記為事件C）法一： 法二： 法三： （4）第二次取出的是次品（記為事件D）法一：因?yàn)橐⒁獾谝弧⒌诙蔚捻樞?。不能用組合作，法二： 法三： 22.[十八] 某人忘記了電話號碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而隨機(jī)的撥號，求他撥號不超過三次而接通所需的電話的概率是多少？如果已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少？記H表撥號不超過三次而能接通。Ai表第i次撥號能接通。注意：第一次撥號不通，第二撥號就不再撥這個(gè)號碼。 如果已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)（記為事件B）問題變?yōu)樵贐已發(fā)生的條件下，求H再發(fā)生的概率。 24.[十九] 設(shè)有甲、乙二袋，甲袋中裝有n只白球m只紅球，乙袋中裝有N只白球M只紅球，今從甲袋中任取一球放入乙袋中，再從乙袋中任取一球，問取到（即從乙袋中取到）白球的概率是多少？（此為第三版19題(1)）記A1，A2分別表“從甲袋中取得白球，紅球放入乙袋”再記B表“再從乙袋中取得白球”?！? B=A1B+A2B且A1，A2互斥∴ P (B)=P (A1)P(B| A1)+ P (A2)P (B| A2) =[十九](2) 第一只盒子裝有5只紅球，4只白球；第二只盒子裝有4只紅球，5只白球。先從第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后從第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。記C1為“從第一盒子中取得2只紅球”。 C2為“從第一盒子中取得2只白球”。 C3為“從第一盒子中取得1只紅球，1只白球”，D為“從第二盒子中取得白球”，顯然C1，C2，C3兩兩互斥，C1∪C2∪C3=S，由全概率公式，有P (D)=P (C1)P (D|C1)+P (C2)P (D|C2)+P (C3)P (D| C3) 26.[二十一] 已知男人中有5%是色盲患者，%是色盲患者。今從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少？解：A1={男人}，A2={女人}，B={色盲}，顯然A1∪A2=S，A1 A2=φ由已知條件知由貝葉斯公式，有[二十二] 一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為P，若第一次及格則第二次及格的概率也為P；若第一次不及格則第二次及格的概率為（1）若至少有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率。（2）若已知他第二次已經(jīng)及格，求他第一次及格的概率。解：Ai={他第i次及格}，i=1,2 已知P (A1)=P (A2|A1)=P，（1）B={至少有一次及格}所以∴ （2） （*）由乘法公式，有P (A1 A2)= P (A1) P (A2| A1) = P2由全概率公式，有 將以上兩個(gè)結(jié)果代入（*）得28.[二十五] 某人下午5:00下班，他所積累的資料表明：到家時(shí)間5:35~5:395:40~5:445:45~5:495:50~5:54遲于5:54乘地鐵到家的概率乘汽車到家的概率某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車，結(jié)果他是5:47到家的，試求他是乘地鐵回家的概率。解：設(shè)A=“乘地鐵”，B=“乘汽車”，C=“5:45~5:49到家”，由題意,AB=φ,A∪B=S已知：P (A)=, P (C|A)=, P (C|B)=, P (B)=由貝葉斯公式有29.[二十四] 有兩箱同種類型的零件。第一箱裝5只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。試求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率。解：設(shè)Bi表示“第i次取到一等品” i=1，2Aj表示“第j箱產(chǎn)品” j=1,2，顯然A1∪A2=S A1A2=φ（1）（B1= A1B +A2B由全概率公式解）。（2） （先用條件概率定義，再求P (B1B2)時(shí)，由全概率公式解）312LR32.[二十六（2）] 如圖1，2，3，4，5表示繼電器接點(diǎn)，假設(shè)每一繼電器接點(diǎn)閉合的概率為p，且設(shè)各繼電器閉合與否相互獨(dú)立，求L和R是通路的概率。54記Ai表第i個(gè)接點(diǎn)接通記A表從L到R是構(gòu)成通路的。∵ A=A1A2+ A1A3A5+A4A5+A