【正文】 并設(shè)各周的需要量是相互獨(dú)立的，試求（1）兩周（2）三周的需要量的概率密度。解：（1）設(shè)第一周需要量為X，它是隨機(jī)變量 設(shè)第二周需要量為Y，它是隨機(jī)變量且為同分布，其分布密度為Z=X+Y表示兩周需要的商品量，由X和Y的獨(dú)立性可知：∵ z≥0∴ 當(dāng)z0時(shí)，fz (z) = 0當(dāng)z0時(shí)，由和的概率公式知∴ （2）設(shè)z表示前兩周需要量，其概率密度為 設(shè)ξ表示第三周需要量，其概率密度為：z與ξ相互獨(dú)立η= z +ξ表示前三周需要量則：∵η≥0， ∴當(dāng)u0， fη(u) = 0 當(dāng)u0時(shí)所以η的概率密度為22.[二十二] 設(shè)某種型號(hào)的電子管的壽命（以小時(shí)計(jì)）近似地服從N（160，20）分布。隨機(jī)地選取4只求其中沒(méi)有一只壽命小于180小時(shí)的概率。解：設(shè)X1，X2，X3，X4為4只電子管的壽命，它們相互獨(dú)立，同分布，其概率密度為：設(shè)N=min{X1，X2，X3，X 4} P {N180}=P {X1180, X2180, X3180, X4180} =P {X180}4={1－p[X180]}4= ()4=27.[二十八] 設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布律為XY01234501230（1）求P {X=2|Y=2}，P {Y=3| X=0}（2）求V=max (X, Y )的分布律（3）求U = min (X, Y )的分布律解：（1）由條件概率公式P {X=2|Y=2}= = =同理 P {Y=3|X=0}=（2）變量V=max{X, Y }顯然V是一隨機(jī)變量，其取值為 V：0 1 2 3 4 5P {V=0}=P {X=0 Y=0}=0P {V=1}=P {X=1，Y=0}+ P {X=1，Y=1}+ P {X=0，Y=1} =++=P {V=2}=P {X=2，Y=0}+ P {X=2，Y=1}+ P {X=2，Y=2} +P {Y=2, X=0}+ P {Y=2, X=1} =++++=P {V=3}=P {X=3，Y=0}+ P {X=3，Y=1}+ P {X=3，Y=2}+ P {X=3，Y=3} +P {Y=3, X=0}+ P {Y=3, X=1}+ P {Y=3, X=2} =++++++=P {V=4}=P {X=4，Y=0}+ P {X=4，Y=1}+ P {X=4，Y=2}+ P {X=4，Y=3} =+++=P {V=5}=P {X=5，Y=0}+ …… + P {X=5，Y=3} =+++=（3）顯然U的取值為0，1，2，3 P {U=0}=P {X=0，Y=0}+……+ P {X=0，Y=3}+ P {Y=0，X=1}+ …… + P {Y=0，X=5}=同理 P {U=1}= P {U=2}= P {U=3}=或縮寫(xiě)成表格形式（2） V 0 1 2 3 4 5 Pk 0 （3） U 0 1 2 3 Pk （4）W=V+U顯然W的取值為0，1，……8 P{W=0}=P{V=0 U=0}=0 P{W=1}=P{V=0, U=1}+P{V=1U=0}∵ V=max{X，Y}=0又U=min{X，Y}=1不可能上式中的P{V=0，U=1}=0，又 P{V=1 U=0}=P{X=1 Y=0}+P{X=0 Y=1}=故 P{W=1}=P{V=0, U=1}+P{V=1，U=0}= P{W=2}=P{V+U=2}= P{V=2, U=0}+ P{V=1，U=1} = P{X=2 Y=0}+ P{X=0 Y=2}+P{X=1 Y=1} =++= P{W=3}=P{V+U=3}= P{V=3, U=0}+ P{V=2，U=1} = P{X=3 Y=0}+ P{X=0，Y=3}+P{X=2，Y=1} + P{X=1，Y=2} =+++= P{W=4}= P{V=4, U=0}+ P{V=3，U=1}+P{V=2，U=2} =P{X=4 Y=0}+ P{X=3，Y=1}+P{X=1，Y=3} + P{X=2，Y=2} = P{W=5}= P{V+U=5}=P{V=5, U=0}+ P{V=5，U=1}+P{V=3，U=2} =P{X=5 Y=0}+ P{X=5，Y=1}+P{X=3，Y=2}+ P{X=2，Y=3} = P{W=6}= P{V+U=6}=P{V=5, U=1}+ P{V=4，U=2}+P{V=3，U=3} =P{X=5，Y=1}+ P{X=4，Y=2}+P{X=3，Y=3} = P{W=7}= P{V+U=7}=P{V=5, U=2}+ P{V=4，U=3} =P{V=5，U=2} +P{X=4，Y=3}=+= P{W=8}= P{V+U=8}=P{V=5, U=3}+ P{X=5，Y=3}=或列表為 W 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P 0 [二十一] 設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為（1）試確定常數(shù)b；（2）求邊緣概率密度f(wàn)X (x)，fY (y)（3）求函數(shù)U=max (X, Y)的分布函數(shù)。解：（1）∴ （2） （3）Fu (ω)=P {U ≤ u}=P {)=P {X ≤ u, Y ≤ u} =F (u, u)= u0, FU (u) = 0第四章2.[二] ，檢驗(yàn)員每天檢驗(yàn)4次。每次隨機(jī)地抽取10件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，如果發(fā)現(xiàn)其中的次品數(shù)多于1，就去調(diào)整設(shè)備，以X表示一天中調(diào)整設(shè)備的次數(shù)，試求E (X)。（設(shè)諸產(chǎn)品是否是次品是相互獨(dú)立的。）解：設(shè)表示一次抽檢的10件產(chǎn)品的次品數(shù)為ξP=P（調(diào)整設(shè)備）=P (ξ1)=1－P (ξ≤1)= 1－[P (ξ=0)+ P (ξ=1)]1－=.因此X表示一天調(diào)整設(shè)備的次數(shù)時(shí)X～B(4, ). P (X=0)= =.P (X=1)==, P (X=2)= =.P (X=3)==, P (X=4)= =E (X)=np=4=3.[三] 有3只球，4只盒子，盒子的編號(hào)為1，2，3，4，將球逐個(gè)獨(dú)立地，隨機(jī)地放入4只盒子中去。設(shè)X為在其中至少有一只球的盒子的最小號(hào)碼（例如X=3表示第1號(hào)，第2號(hào)盒子是空的，第3號(hào)盒子至少有一只球），求E (X)。∵ 事件 {X=1}={一只球裝入一號(hào)盒，兩只球裝入非一號(hào)盒}+{兩只球裝入一號(hào)盒，一只球裝入非一號(hào)盒}+{三只球均裝入一號(hào)盒}（右邊三個(gè)事件兩兩互斥）∴ ∵事件“X=2”=“一只球裝入二號(hào)盒，兩只球裝入三號(hào)或四號(hào)盒”+“兩只球裝二號(hào)盒，一只球裝入三或四號(hào)盒”+“三只球裝入二號(hào)盒”∴ 同理： 故 5.[五] 設(shè)在某一規(guī)定的時(shí)間間段里，其電氣設(shè)備用于最大負(fù)荷的時(shí)間X（以分計(jì)）是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量。其概率密度為求E (X)解： 6.[六] 設(shè)隨機(jī)變量X的分布為 X －2 0 2 Pk 求 E (X)， E (3X2+5)解： E (X)= (－2)+0+2=－ E (X2)= (－2)2+02+22= E (3X2+5) = 3E (X2)+ E (5)= +5=7.[七] 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求（1）Y=2X （2）Y=e－2x的數(shù)學(xué)期望。解：（1） （2） 8.[八] 設(shè)（X，Y）的分布律為XY123－10100(1) 求E (X)，E (Y )。(2) 設(shè)Z=Y/X，求E (Z )。(3) 設(shè)Z= (X－Y )2，求E (Z)。解：（1）由X，Y的分布律易得邊緣分布為XY123－100011E(X)=1+2+3=++=2.E(Y)= (－1)+0 +1=0.Z=Y/X－1－1/2－1/301/31/21pk0（2） E (Z )= (－1)+(－)+(－1/3)0+0+1/3++1 = (－1/4)+1/30+1/20+1/10=(－15/60)+11/60=－1/15.Z (X－Y)20(11)21(1 0)2或(21)24(2 0)2或(1 (1))2或(31)29(3 0)2或(2(1))216(3(1))2pk0（3） E (Z )=0+1+4+9+160=++=510.[十] 一工廠生產(chǎn)的某種設(shè)備的壽命X（以年計(jì)）服從指數(shù)分布，概率密度為工廠規(guī)定出售的設(shè)備若在一年內(nèi)損壞，可予以調(diào)換。若工廠出售一臺(tái)設(shè)備可贏利100元，調(diào)換一臺(tái)設(shè)備廠方需花費(fèi)300元。試求廠方出售一臺(tái)設(shè)備凈贏利的數(shù)學(xué)期望。解：一臺(tái)設(shè)備在一年內(nèi)損壞的概率為故設(shè)Y表示出售一臺(tái)設(shè)備的凈贏利則 故 11.[十一] 某車(chē)間生產(chǎn)的圓盤(pán)直徑在區(qū)間（a, b）服從均勻分布。試求圓盤(pán)面積的數(shù)學(xué)期望。解：設(shè)X為圓盤(pán)的直徑，則其概率密度為用Y表示圓盤(pán)的面積，則12.[十三] 設(shè)隨機(jī)變量X1，X2的概率密度分別為求（1）E (X1+X2)，E (2X1－3)；（2）又設(shè)X1，X2相互獨(dú)立，求E (X1X2)解：（1） = （2） = （3）13.[十四] 將n只球（1～n號(hào)）隨機(jī)地放進(jìn)n只盒子（1～n號(hào)）中去，一只盒子裝一只球。將一只球裝入與球同號(hào)的盒子中，稱(chēng)為一個(gè)配對(duì)，記X為配對(duì)的個(gè)數(shù)，求E(X )解：引進(jìn)隨機(jī)變量 i=1, 2, … n 則球盒對(duì)號(hào)的總配對(duì)數(shù)為Xi的分布列為Xi:10P: i=1, 2 …… n∴ i=1, 2 …… n14.[十五] 共有n把看上去樣子相同的鑰匙，其中只有一把能打開(kāi)門(mén)上的鎖，用它們?nèi)ピ囬_(kāi)門(mén)上的鎖。設(shè)抽取鑰匙是相互獨(dú)立的，等可能性的。若每把鑰匙經(jīng)試開(kāi)一次后除去，試用下面兩種方法求試開(kāi)次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望。（1）寫(xiě)出X的分布律，（2）不寫(xiě)出X的分布律。解：（1）X123……nP…… （2）設(shè)一把一把鑰匙的試開(kāi)，直到把鑰匙用完。設(shè) i=1, 2 …… n則試開(kāi)到能開(kāi)門(mén)所須試開(kāi)次數(shù)為Xii0P∵ E (Xi)= i=1, 2……n∴ 15. （1）設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E (X)，方差為D (X)0，引入新的隨機(jī)變量（X*稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量）：驗(yàn)證E (X* )=0，D (X* )=1（2）已知隨機(jī)變量X的概率密度。求X*的概率密度。解：（1） D (X* )= E [X*－E (X )* ]]2= E (X*2 )= = （2） 16.[十六] 設(shè)X為隨機(jī)變量，C是常數(shù)，證明D (X )E {(X－C )2 }，對(duì)于C≠E (X )，（由于D (X ) = E {[X－E (X )]2 }，上式表明E {(X－C )2 }當(dāng)C=E (X )時(shí)取到最小值。）證明：∵ D (X )－E (X－C )2 = D (X2 )－[E (X )]2－[E (X2 )－2CE (X2 )+C2 =－{[E (X )]2－2CE (X2 )+C2} =－[E (X )－C ] 20，∴當(dāng)E (X )≠C時(shí)D (X ) E (X－C )2 17. 設(shè)隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布，其概率密度為其中θ0是常數(shù)，求E (X )，D (X )。解：又D (X )= E (X 2 )－E 2 (X )=2θ2－θ2=θ221．設(shè)X1, X2 ,…, Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量且有,i=1,2,…, ，.（1）驗(yàn)證（2）驗(yàn)證.（3）驗(yàn)證E (S 2 )證明：（1）(利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)2176。，3176。) (利用方差的性質(zhì)2176。，3176。)（2）首先證于是（3） 23．[二十五] 設(shè)隨機(jī)變量X和Y的