專題六尖子四邊形中的相似問題專題答案(編輯修改稿)
2025-07-22 19:26 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 一個(gè)公共角，可證△AEF∽△ABM，則∠AEF=∠ABM，那么EF∥BM，從而有EF：BM=AE：AB=m：（m+n），而AD：CM=m：n，可求CM，那么BM可求，把BM代入上式即可求EF．解答：（1）證明：連接AF并延長，交BC的延長線于點(diǎn)M，（1分）∵AD∥BM，∴∠D=∠1，∵點(diǎn)F為DC的中點(diǎn)，∴DF=FC，又∵∠2=∠3，∴△ADF≌△MCF，∴AF=FM，AD=CM，（3分）∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴EF是△ABM的中位線，∴EF∥BC，EF=BM，∵BM=BC+CM=BC+AD，∴EF=（AD+BC），即EF=（a+b）；（5分）（2）答：EF∥BC，EF=，證明：連接AF并延長，交BC的延長線于點(diǎn)M，∵AD∥BM，∴又∵，在△ABM中，有=∴EF∥BC，（9分）∴==，∴EF=BM=，（10分）而，∴CM=，（11分）∴EF=（b+），∴EF=．點(diǎn)評(píng)：本題利用了平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理的推論、比例線段的性質(zhì)等知識(shí)．10．（2007?岳陽）已知：等腰Rt△ABC中，∠A=90176。，（1）如圖1，E為AB上任意一點(diǎn)，以CE為斜邊作等腰Rt△CDE，連接AD，則有AD∥BC；（2）若將等腰Rt△ABC改為正△ABC，如圖2所示，E為AB邊上任一點(diǎn)，△CDE為正三角形，連接AD，上述結(jié)論還成立嗎？答 成立 ；（3）若△ABC為任意等腰三角形，AB=AC，如圖3，E為AB上任一點(diǎn)，△DEC∽△ABC，連接AD，請問AD與BC的位置關(guān)系怎樣？答： AD∥BC ．請你在上述3個(gè)結(jié)論中，任選一個(gè)結(jié)論進(jìn)行證明．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；等腰直角三角形．305660 專題：幾何綜合題．分析：欲證AD∥BC，可以根據(jù)等腰直角三角形，正三角形，等腰三角形的性質(zhì)，證明△ACD∽△BCE，再證明AD與BC的內(nèi)錯(cuò)角相等，得出結(jié)論．解答：解：（1）∵△ABC和△DEC是等腰直角三角形，∴△ABC∽△DEC，∠ACB=∠DCE=45176。．∴=，∠DCA=∠ECB．∴△ACD∽△BCE．∴∠DAC=∠EBC=45176。．∴∠DAC=∠ACB．∴AD∥BC．（2）∵△ABC和△DEC是正三角形，∴△ABC∽△DEC，∠ACB=∠DCE=60176。．∴=，∠DCA=∠ECB．∴△ACD∽△BCE．∴∠DAC=∠EBC=60176。．∴∠DAC=∠ACB．∴AD∥BC．成立．（3）∵△ABC和△DEC是等腰直角三角形，△ABC∽△DEC，∴∠ACB=∠DCE．∴=，∠DCA=∠ECB．∴△ACD∽△BCE．∴∠DAC=∠EBC．∴∠DAC=∠ACB．∴AD∥BC．點(diǎn)評(píng)：觀察測量，然后進(jìn)行推理證明，是數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)現(xiàn)的基本規(guī)律．本題考查了等腰直角三角形，正三角形，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定．注意證明方式相同．8．（2008?安徽）如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點(diǎn)R為DE的中點(diǎn)，BR分別交AC、CD于點(diǎn)P、Q．（1）請寫出圖中各對相似三角形（相似比為1除外）；（2）求BP：PQ：QR．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．305660 專題：幾何綜合題．分析：此題的圖形比較復(fù)雜，需要仔細(xì)分析圖形．（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得到角相等．∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，可得△BCP∽△BER；（2）根據(jù)AB∥CD、AC∥DE，可得出△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，對應(yīng)邊成比例即可得出所求線段的比例關(guān)系．解答：解：（1）∵四邊形ACED是平行四邊形，∴∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，∴△BCP∽△BER；同理可得∠CDE=∠ACD，∠PQC=∠DQR，∴△PCQ∽△RDQ；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAP=∠PCQ，∵∠APB=∠CPQ，∴△PCQ∽△PAB；∵△PCQ∽△RDQ，△PCQ∽△PAB，∴△PAB∽△RDQ．（2）∵四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，∴BC=AD=CE，∵AC∥DE，∴BC：CE=BP
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