【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 上另一中點(diǎn)，所以中位線定理是我們的首選 . 6. （ 2022 四川雅安 ） 在 □ABCD中，點(diǎn) E、 F 分別在 AB、 CD 上，且 AE＝ CF． (1)求證： △ ADE≌△ CBF； (2)若 DF＝ BF，求證：四邊形 DEBF 為菱形． 【答案】 (1)證明： ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴ AD＝ BC， ∠ A＝ ∠ C， 又 ∵ AE＝ CF， ∴△ ADE≌△ CBF． (2)證明： ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴ AB＝ CD， AB∥ CD． ∵ AE＝ CF， ∴ BE＝ DF， BE∥ DF， ∴ 四邊形 DEBF 是平行四邊形， ∵ DF＝ BF， ∴ □DEBF是菱形． 【解析】 （ 1）首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得 AD＝ BC， ∠ A＝ ∠ C，再加上條件 AE＝ CF可利用 SAS 證明 △ ADE≌△ CBF； （ 2）首先證明 DF＝ BE，再加上條件 AB∥ CD 可得四邊形 DEBF 是平行四邊形，又 DF＝FB，可根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形為菱形證出結(jié)論． 【方法指導(dǎo)】 此題主要考查了全等三角形的判定，以及菱形的判定，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定定理，以及菱形的判定定理，平行四邊形的性質(zhì)． 7.（ 2022貴州安順）如圖，在 ?ABCD 中， BC=2AB=4，點(diǎn) E、 F 分別是 BC、 AD 的中點(diǎn)． （ 1）求證： △ ABE≌△ CDF； （ 2）當(dāng)四邊形 AECF 為菱形時(shí)，求出該菱形的面積． 【分析】第（ 1）問(wèn)要證明三角形全等，由平行四邊形的性質(zhì)，很容易用 SAS 證全等． 第（ 2） 要求菱形的面積，在第（ 1）問(wèn)的基礎(chǔ)上很快知道 △ ABE 為等邊三角形．這樣菱形的高就可求了，用面積公式可求得． 【解答】（ 1）證明： ∵ 在 ?ABCD 中， AB=CD， ∴ BC=AD， ∠ ABC=∠ CDA． 又 ∵ BE=EC= BC， AF=DF= AD， ∴ BE=DF． ∴△ ABE≌△ CDF． （ 2）解： ∵ 四邊形 AECF 為菱形時(shí)， ∴ AE=EC． 又 ∵ 點(diǎn) E 是邊 BC 的中點(diǎn)， ∴ BE=EC，即 BE=AE． 又 BC=2AB=4， ∴ AB= BC=BE， ∴ AB=BE=AE，即 △ ABE 為等邊三角形，（ 6 分） ?ABCD 的 BC 邊上的高為 2sin60176。= ，（ 7 分） ∴ 菱形 AECF 的面積為 2 ．（ 8 分） 【點(diǎn)評(píng)】考查了全等三角形，四邊形的知識(shí)以及邏輯推理能力． （ 1）用 SAS 證全等； （ 2）若四邊形 AECF 為菱形，則 AE=EC=BE=AB，所以 △ ABE 為等邊三角形． 8．（ 2022 廣西南寧）已知四邊形 ABCD 是菱形， AB=4， ∠ ABC=60176。， ∠ EAF 的兩邊分別與射線 CB， DC 相交于點(diǎn) E， F，且 ∠ EAF=60176。． （ 1）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) E 是線段 CB 的中點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出線段 AE， EF， AF 之間的數(shù)量關(guān)系； （ 2）如圖 2，當(dāng)點(diǎn) E 是線段 CB 上任意一 點(diǎn)時(shí)（點(diǎn) E 不與 B、 C 重合），求證： BE=CF； （ 3）如圖 3，當(dāng)點(diǎn) E 在線段 CB 的延長(zhǎng)線上，且 ∠ EAB=15176。時(shí)，求點(diǎn) F 到 BC 的距離． 【考點(diǎn)】四邊形綜合題． 【分析】（ 1）結(jié)論 AE=EF=AF．只要證明 AE=AF 即可證明 △ AEF 是等邊三角形． （ 2）欲證明 BE=CF，只要證明 △ BAE≌△ CAF 即可． （ 3）過(guò)點(diǎn) A作 AG⊥ BC于點(diǎn) G，過(guò)點(diǎn) F作 FH⊥ EC于點(diǎn) H，根據(jù) FH=CF?cos30176。，因?yàn)?CF=BE，只要求出 BE 即可解決問(wèn)題． 【解答】（ 1）解：結(jié)論 AE=EF=AF． 理由：如圖 1 中，連接 AC， ∵ 四 邊形 ABCD 是菱形， ∠ B=60176。， ∴ AB=BC=CD=AD， ∠ B=∠ D=60176。， ∴△ ABC， △ ADC 是等邊三角形， ∴∠ BAC=∠ DAC=60176。 ∵ BE=EC， ∴∠ BAE=∠ CAE=30176。， AE⊥ BC， ∵∠ EAF=60176。， ∴∠ CAF=∠ DAF=30176。， ∴ AF⊥ CD， ∴ AE=AF（菱形的高相等）， ∴△ AEF 是等邊三角形， ∴ AE=EF=AF． （ 2）證明：如圖 2 中， ∵∠ BAC=∠ EAF=60176。， ∴∠ BAE=∠ CAE， 在 △ BAE 和 △ CAF 中， ， ∴△ BAE≌△ CAF， ∴ BE=CF． （ 3）解：過(guò)點(diǎn) A 作 AG⊥ BC 于點(diǎn) G，過(guò)點(diǎn) F 作 FH⊥ EC 于點(diǎn) H， ∵∠ EAB=15176。， ∠ ABC=60176。， ∴∠ AEB=45176。， 在 RT△ AGB 中， ∵∠ ABC=60176。AB=4， ∴ BG=2， AG=2 ， 在 RT△ AEG 中， ∵∠ AEG=∠ EAG=45176。， ∴ AG=GE=2 ， ∴ EB=EG﹣ BG=2 ﹣ 2， ∵△ AEB≌△ AFC， ∴ AE=AF， EB=CF=2 ﹣ 2， ∠ AEB=∠ AFC=45176。， ∵∠ EAF=60176。， AE=AF， ∴△ AEF 是等邊三角形， ∴∠ AEF=∠ AFE=60176。 ∵∠ AEB=45176。， ∠ AEF=60176。， ∴∠ CEF=∠ AEF﹣ ∠ AEB=15176。， 在 RT△ EFH 中， ∠ CEF=15176。， ∴∠ EFH=75176。， ∵∠ AFE=60176。， ∴∠ AFH=∠ EFH﹣ ∠ AFE=15176。， ∵∠ AFC=45176。， ∠ CFH=∠ AFC﹣ ∠ AFH=30176。， 在 RT△ CHF 中， ∵∠ CFH=30176。， CF=2 ﹣ 2， ∴ FH=CF?cos30176。=（ 2 ﹣ 2） ? =3﹣ ． ∴ 點(diǎn) F 到 BC 的距離為 3﹣ ． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查四邊形綜合題、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問(wèn)題 ，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考?jí)狠S題． 【達(dá)標(biāo)檢測(cè)答案】 一．選擇題（每小題 4 分，滿分 40 分） ，在正方形 ABCD 的外側(cè)，作等邊三角形 ADE. AC， BE 相交于點(diǎn) F，則 ∠ BFC 為 ( ) A． 45176。 B． 55176。 C． 60176。 D． 75176。 【答案】 C． 【解析】 ∵ 四邊形 ABCD 是正方形， ∴ AB= AD， ∠ ABC=∠ BAD=90176。， ∠ BAC=∠ BCA=45176。． ∵△ ADE 是 等邊三角形， ∴ AE=AD， ∠ BCA=45176。． ∴∠ BCE=135176。， AB=AD. ∴∠ ABE=15176。． ∴∠ CBF=75176。． ∴ ∠ BFC=60176。． 故選 C． 2． （ 2022四川攀枝花 ） 下列關(guān)于矩形的說(shuō)法中正確的是（ ） A．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 B．矩形的對(duì)角線相等且互相平分 C．對(duì)角線互相平分的四邊形是矩形 D．矩形的對(duì)角線互相垂直且平分 【考點(diǎn)】矩形的判定與性質(zhì)． 【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和判定定理逐個(gè)判斷即可． 【解答】解： A、對(duì)角線相等的平行四邊形才是矩形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、矩形的對(duì)角線相等且互相平分，故本選項(xiàng)正確； C、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，不一定是矩 形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、矩形的對(duì)角線互相平分且相等，不一定垂直，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； 故選 B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能熟記矩形的性質(zhì)和判定定理是解此題的關(guān)鍵． 3.（ 2022四川內(nèi)江 ） 下列命題中，真命題是 ( ) A．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 B．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 C．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形 D．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形 [答案 ]C [考點(diǎn) ]特殊四邊形的判定。 [解析 ]滿足選項(xiàng) A 或選項(xiàng) B 中的條件時(shí)，不能推出四邊形是平行四邊形，因此它們都是假命題．由選項(xiàng) D 中的條件只能推出四邊形是菱形，因此也是假例題．只有選項(xiàng) C 中的命題是真命題． 故選 C． 4． （ 2022四川南充 ） 如圖，對(duì)折矩形紙片 ABCD，使 AB 與 DC 重合得到折痕 EF，將紙片展平；再一次折疊，使點(diǎn) D 落到 EF 上點(diǎn) G 處，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn) A，展平紙片后 ∠ DAG的大小為（ ） A． 30176。 B． 45176。 C． 60176。 D． 75176。 【分析】直接利用翻折變換的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)得出 ∠ 2=∠ 4，再利用平行線的性質(zhì)得出 ∠ 1=∠ 2=∠ 3，進(jìn)而得出答案． 【解答】解：如圖所示：由題意可得： ∠ 1=∠ 2， AN=MN， ∠ MGA=90176。， 則 NG=AM，故 AN=NG， 則 ∠ 2=∠ 4， ∵ EF∥ AB， ∴∠ 4=∠ 3， ∴∠ 1=∠ 2=∠ 3=1/390176。=30176。， ∴∠ DAG=60176。． 故選： C． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，正確得出 ∠ 2=∠ 4 是解題關(guān)鍵． 5． （ 2022四川瀘州）如圖，矩形 ABCD 的邊長(zhǎng) AD=3， AB=2， E 為 AB 的中點(diǎn)， F 在邊 BC 上，且 BF=2FC， AF 分別與 DE、 DB 相交于點(diǎn) M， N，則 MN的長(zhǎng)為（ ） A． B． C． D． 【考