【正文】 四邊形綜合題． 【分析】（ 1）結(jié)論 AE=EF=AF．只要證明 AE=AF 即可證明 △ AEF 是等邊三角形． （ 2）欲證明 BE=CF，只要證明 △ BAE≌△ CAF 即可． （ 3）過點 A作 AG⊥ BC于點 G，過點 F作 FH⊥ EC于點 H，根據(jù) FH=CF?cos30176。，因為 CF=BE，只要求出 BE 即可解決問題． 【解答】（ 1）解：結(jié)論 AE=EF=AF． 理由：如圖 1 中，連接 AC， ∵ 四邊形 ABCD 是菱形， ∠ B=60176。， ∴ AB=BC=CD=AD， ∠ B=∠ D=60176。， ∴△ ABC， △ ADC 是等邊三角形， ∴∠ BAC=∠ DAC=60176。 ∵ BE=EC， ∴∠ BAE=∠ CAE=30176。， AE⊥ BC， ∵∠ EAF=60176。， ∴∠ CAF=∠ DAF=30176。， ∴ AF⊥ CD， ∴ AE=AF（菱形的高相等）， ∴△ AEF 是等邊三角形， ∴ AE=EF=AF． （ 2）證明：如圖 2 中， ∵∠ BAC=∠ EAF=60176。， ∴∠ BAE=∠ CAE， 在 △ BAE 和 △ CAF 中， ， ∴△ BAE≌△ CAF， ∴ BE=CF． （ 3）解：過點 A 作 AG⊥ BC 于點 G，過點 F 作 FH⊥ EC 于點 H， ∵∠ EAB=15176。， ∠ ABC=60176。， ∴∠ AEB=45176。， 在 RT△ AGB 中， ∵∠ ABC=60176。AB=4， ∴ BG=2， AG=2 ， 在 RT△ AEG 中， ∵∠ AEG=∠ EAG=45176。， ∴ AG=GE=2 ， ∴ EB=EG﹣ BG=2 ﹣ 2， ∵△ AEB≌△ AFC， ∴ AE=AF， EB=CF=2 ﹣ 2， ∠ AEB=∠ AFC=45176。， ∵∠ EAF=60176。， AE=AF， ∴△ AEF 是等邊三角形， ∴∠ AEF=∠ AFE=60176。 ∵∠ AEB=45176。， ∠ AEF=60176。， ∴∠ CEF=∠ AEF﹣ ∠ AEB=15176。， 在 RT△ EFH 中， ∠ CEF=15176。， ∴∠ EFH=75176。， ∵∠ AFE=60176。， ∴∠ AFH=∠ EFH﹣ ∠ AFE=15176。， ∵∠ AFC=45176。， ∠ CFH=∠ AFC﹣ ∠ AFH=30176。， 在 RT△ CHF 中， ∵∠ CFH=30176。， CF=2 ﹣ 2， ∴ FH=CF?cos30176。=（ 2 ﹣ 2） ? =3﹣ ． ∴ 點 F 到 BC 的距離為 3﹣ ． 【點評】本題考查四邊形綜合題、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考壓軸題． 14． （ 2022 河南） 如圖，在 Rt△ ABC 中， ∠ ABC=90176。，點 M 是 AC 的中點，以 AB 為直徑作 ⊙ O 分別交 AC， BM 于點 D， E． （ 1）求證： MD=ME； （ 2）填空： ① 若 AB=6，當 AD=2DM 時， DE= 2 ； ② 連接 OD， OE，當 ∠ A 的度數(shù)為 60176。 時，四邊形 ODME 是菱形． 【考點】菱形的判定． 【分析】（ 1）先證明 ∠ A=∠ ABM，再證明 ∠ MDE=∠ MBA， ∠ MED=∠ A 即可解決問題． （ 2） ① 由 DE∥ AB，得 = 即可解決問題． ② 當 ∠ A=60176。時，四邊形 ODME 是菱形，只要證明 △ ODE， △ DEM 都是等邊三角形即可． 【解答 】（ 1）證明： ∵∠ ABC=90176。， AM=MC， ∴ BM=AM=MC， ∴∠ A=∠ ABM， ∵ 四邊形 ABED 是圓內(nèi)接四邊形， ∴∠ ADE+∠ ABE=180176。， 又 ∠ ADE+∠ MDE=180176。， ∴∠ MDE=∠ MBA， 同理證明： ∠ MED=∠ A， ∴∠ MDE=∠ MED， ∴ MD=ME． （ 2） ① 由（ 1）可知， ∠ A=∠ MDE， ∴ DE∥ AB， ∴ = ， ∵ AD=2DM， ∴ DM： MA=1： 3， ∴ DE= AB= 6=2． 故答案為 2． ② 當 ∠ A=60176。時，四邊形 ODME 是菱形． 理由：連接 OD、 OE， ∵ OA=OD， ∠ A=60176。， ∴△ AOD 是等邊三角形， ∴∠ AOD=60176。， ∵ DE∥ AB， ∴∠ ODE=∠ AOD=60176。， ∠ MDE=∠ MED=∠ A=60176。， ∴△ ODE， △ DEM 都是等邊三角形， ∴ OD=OE=EM=DM， ∴ 四邊形 OEMD 是菱形． 故答案為 60176。． 【點評】本題考查圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)、直角三角形斜邊中線性質(zhì)、菱形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用這些知識解決問題，記住菱形的三種判定方法，屬于中考?？碱}型． 15． （ 2022陜西 ） 問題提出 （ 1）如圖 ① ，已知 △ ABC，請畫出 △ ABC 關(guān)于直線 AC 對稱的三角形． 問題探究 （ 2）如圖 ② ，在矩形 ABCD 中， AB=4， AD=6， AE=4， AF=2，是否在邊 BC、 CD 上分別存在點 G、 H，使得四邊形 EFGH 的周長最??？若存在，求出它周長的最小值；若不存在，請說明理由． 問題解決 （ 3）如圖 ③ ，有一矩形板材 ABCD， AB=3 米， AD=6 米，現(xiàn)想從此板材中裁出一個面積盡可能大的四邊形 EFGH 部件，使 ∠ EFG=90176。， EF=FG= 米， ∠ EHG=45176。，經(jīng)研究，只有當點 E、 F、 G 分別在邊 AD、 AB、 BC 上，且 AF＜ BF，并滿足點 H 在矩形 ABCD 內(nèi)部或邊上時，才 有可能裁出符合要求的部件，試問能否裁得符合要求的面積盡可能大的四邊形EFGH 部件？若能，求出裁得的四邊形 EFGH 部件的面積；若不能，請說明理由． 【考點】四邊形綜合題． 【分析】（ 1）作 B 關(guān)于 AC 的對稱點 D，連接 AD， CD， △ ACD 即為所求； （ 2）作 E 關(guān)于 CD 的對稱點 E′，作 F 關(guān)于 BC 的對稱點 F′，連接 E′F′，得到此時四邊形 EFGH的周長最小，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到 BF′=BF=AF=2， DE′=DE=2， ∠ A=90176。，于是得到 AF′=6，AE′=8，求出 E′F′=10， EF=2 即可得到結(jié)論； （ 3）根據(jù)余角的性質(zhì)得到 1=∠ 2，推出 △ AEF≌△ BGF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到 AF=BG，AE=BF，設(shè) AF=x，則 AE=BF=3﹣ x 根據(jù)勾股定理列方程得到 AF=BG=1， BF=AE=2，作 △ EFG關(guān)于 EG 的對稱 △ EOG，則四邊形 EFGO 是正方形， ∠ EOG=90176。，以 O 為圓心，以 EG 為半徑作 ⊙ O，則 ∠ EHG=45176。的點在 ⊙ O 上，連接 FO，并延長交 ⊙ O 于 H′，則 H′在 EG 的垂直平分線上，連接 EH′GH′，則 ∠ EH′G=45176。，于是得到四邊形 EFGH′是符合條件的最大部件，根據(jù)矩形的面積公式即可得到結(jié)論． 【 解答】解：（ 1）如圖 1， △ ADC 即為所求； （ 2）存在，理由：作 E 關(guān)于 CD 的對稱點 E′， 作 F 關(guān)于 BC 的對稱點 F′， 連接 E′F′，交 BC 于 G，交 CD 于 H，連接 FG， EH， 則 F′G=FG， E′H=EH，則此時四邊形 EFGH 的周長最小， 由題意得： BF′=BF=AF=2， DE′=DE=2， ∠ A=90176。， ∴ AF′=6， AE′=8， ∴ E′F′=10， EF=2 ， ∴ 四邊形 EFGH 的周長的最小值 =EF+FG+GH+HE=EF+E′F′=2 +10， ∴ 在邊 BC、 CD 上分別存在點 G、 H， 使得四邊形 EFGH 的周 長最小， 最小值為 2 +10； （ 3）能裁得， 理由： ∵ EF=FG= ， ∠ A=∠ B=90176。， ∠ 1+∠ AFE=∠ 2+AFE=90176。， ∴∠ 1=∠ 2， 在 △ AEF 與 △ BGF 中， ， ∴△ AEF≌△ BGF， ∴ AF=BG， AE=BF，設(shè) AF=x，則 AE=BF=3﹣ x， ∴ x2+（ 3﹣ x） 2=（ ） 2，解得： x=1， x=2（不合題意，舍去）， ∴ AF=BG=1， BF=AE=2， ∴ DE=4， CG=5， 連接 EG， 作 △ EFG 關(guān)于 EG 的對稱 △ EOG， 則四邊形 EFGO 是正方形， ∠ EOG=90176。， 以 O 為圓心，以 EG 為 半徑作 ⊙ O， 則 ∠ EHG=45176。的點在 ⊙ O 上， 連接 FO，并延長交 ⊙ O 于 H′，則 H′在 EG 的垂直平分線上， 連接 EH′GH′，則 ∠ EH′G=45176。， 此時，四邊形 EFGH′是要想裁得符合要求的面積最大的， ∴ C 在線段 EG 的垂直平分線設(shè)， ∴ 點 F， O， H′， C 在一條直線上， ∵ EG= ， ∴ OF=EG= ， ∵ CF=2 ， ∴ OC= ， ∵ OH′=OE=FG= ， ∴ OH′＜ OC， ∴ 點 H′在矩形 ABCD 的內(nèi)部， ∴ 可以在矩形 ABCD 中，裁得符合條件的面積最大的四邊形 EFGH′部件， 這個部件的面積 = EG?FH′= （ + ） =5+ ， ∴ 當所裁得的四邊形部件為四邊形 EFGH′時，裁得了符合條件的最大部件，這個部件的面積為（ 5+ ） m2．