【正文】 OAC′，從而得出∠AMB=α．（1）證明：在矩形ABCD中，AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，∴OA=OC=OB=OD，又∵OD=OD′，OC=OC′，∴OB=OD′=OA=OC′，∵∠D′OD=∠C′OC，∴180176。﹣∠D′OD=180176。﹣∠C′OC，∴∠BOD′=∠AOC′，∴在△BOD′和△AOC′中，∴△BOD′≌△AOC′；（2）解：①△AOC′∽△BOD′；理由如下：∵在平行四邊形ABCD中，OB=OD，OA=OC，又∵OD=OD′，OC=OC′，∴OC′=OA，OD′=OB，∵∠D′OD=∠C′OC，∴180176。﹣∠D′OD=180176。﹣∠C′OC，∴∠BOD′=∠AOC′，∴△BOD′∽△AOC′，∴BD′：AC′=OB：OA=BD：AC，∵AC=kBD，∴AC′=kBD′，∴△BOD′∽△AOC′；②AC′=kBD′，∠AMB=α；設(shè)BD′與OA相交于點(diǎn)N，∴∠BNO=∠ANM，∴180176。﹣∠OAC′﹣∠ANM=180176。﹣∠OBD′﹣∠BNO，即∠AMB=∠AOB=α，綜上所述，AC′=kBD′，∠AMB=α；19．已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∠ADC=60176。，等邊△AEF兩邊分別交DC、CB于點(diǎn)E、F．（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點(diǎn)E、F分別是邊DC、CB的中點(diǎn)，求證：菱形ABCD對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)O即為等邊△AEF的外心；（2）若點(diǎn)E、F始終分別在邊DC、CB上移動(dòng)，記等邊△AEF的外心為P． ①猜想驗(yàn)證：如圖2，猜想△AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明；②拓展運(yùn)用：如圖3，當(dāng)E、F分別是邊DC、CB的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P任作一直線，分別交DA邊于點(diǎn)M，BC邊于點(diǎn)G，DC邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，請(qǐng)你直接寫出的值．【分析】（1）連接OE、0F，由四邊形ABCD是菱形，得出AC⊥BD，BD平分∠ADC，AD=DC=BC，又由E、F分別為DC、CB中點(diǎn)，證得0E=OF=OA，則可得點(diǎn)O即為△AEF的外心；（2）①連接PE、PA，過(guò)點(diǎn)P分別作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，求出∠IPJ的度數(shù)，又由點(diǎn)P是等邊△AEF的外心，易證得△PIE≌△PJA，可得PI=PJ，即點(diǎn)P在∠ADC的平分線上，即點(diǎn)P落在直線DB上；②連接BD、AC交于點(diǎn)P，由（1）可得點(diǎn)P即為△AEF的外心．設(shè)DM=x，DN=y（x≠0，y≠O），則CN=y﹣1，先利用AAS證明△GBP≌△MDP，得出BG=DM=x，CG=1﹣x，再由BC∥DA，得出△NCG∽△NDM，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出=，進(jìn)而求出為定值2．（1）證明：如圖1，連接OE、0F，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BD平分∠ADC，AD=DC=BC，∴∠COD=∠COB=∠AOD=90176。．∠ADO=∠ADC=60176。=30176。，又∵E、F分別為DC、CB中點(diǎn)，∴OE=CD，OF=BC，AO=AD，∴0E=OF=OA，∴點(diǎn)O即為△AEF的外心；（2）解：①猜想：外心P一定落在直線DB上．理由如下：如圖2，分別連接PE、PA，過(guò)點(diǎn)P分別作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，∴∠PIE=∠PJD=90176。，∵∠ADC=60176。，∴∠IPJ=360176。﹣∠PIE﹣∠PJD﹣∠JDI=120176。，∵點(diǎn)P是等邊△AEF的外心，∴∠EPA=120176。，PE=PA，∴∠IPJ=∠EPA，∴∠IPE=∠JPA，∴△PIE≌△PJA，∴PI=PJ，∴點(diǎn)P在∠ADC的平分線上，即點(diǎn)P落在直線DB上；②為定值2．連接BD、AC交于點(diǎn)P，由（1）可得點(diǎn)P即為△AEF的外心．如圖3，設(shè)MN交BC于點(diǎn)G，設(shè)DM=x，DN=y（x≠0，y≠O），則CN=y﹣1，∵BC∥DA，∴∠GBP=∠MDP，∠BGP=∠DMP，又由（1）知BP=DP，∴△GBP≌△MDP（AAS），∴BG=DM=x，∴CG=1﹣x．∵BC∥DA，∴△NCG∽△NDM，∴=，∴=，∴x+y=2xy，∴+=2，即=2．20．在正方形ABCD中，BD是一條對(duì)角線，點(diǎn)E在直線CD上（與點(diǎn)C，D不重合），連接AE，平移△ADE，使點(diǎn)D移動(dòng)到點(diǎn)C，得到△BCF，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BD于點(diǎn)G，連接AG，EG．（1）問題猜想：如圖1，若點(diǎn)E在線段CD上，試猜想AG與EG的數(shù)量關(guān)系是　AG=EG　，位置關(guān)系是　AG⊥EG??；（2）類比探究：如圖2，若點(diǎn)E在線段CD的延長(zhǎng)線上，其余條件不變，小明猜想（1）中的結(jié)論仍然成立，請(qǐng)你給出證明；（3）解決問題：若點(diǎn)E在線段DC的延長(zhǎng)線上，且∠AGF=120176。，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫出圖形，并直接寫出DE的長(zhǎng)度．【分析】（1）由平移得到EF=AD，再由正方形的性質(zhì)得出∠ADG=∠CDB，DG=FG，從而證明△AGD≌△EGF即可；（2）由平移得到EF=AD，再由正方形的性質(zhì)得出∠ADG=∠CDB，DG=FG，從而證明△AGD≌△EGF即可；（3）由（1）的結(jié)論AG=EG，AG⊥EG，得出∠GEA=45176。，推導(dǎo)出∠AED=30176。，再由三角函數(shù)即可求解．解：（1）如圖1，由平移得，EF=AD，∵BD是正方形的對(duì)角線，∴∠ADB=∠CDB=45176。，∵CF⊥BD，∴∠DGF=90176。，∴∠GFD+∠CBD=90176。，∴∠DFG=45176。，∴GD=GF，在△AGD和△EGF中，∴△AGD≌△EGF∴AG=EG，∠AGD=∠EGF，∴∠AGE=∠AGD+∠DGE=∠EGF+DGE=90176。，∴AG⊥EG．故答案為AG=EG，AG⊥EG．（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，證明：如圖2由平移得，EF=AD，∵BD是正方形的對(duì)角線，∴∠ADB=∠CDB=45176。，∵CF⊥BD，∴∠DGF=90176。，∴∠GFD+∠CBD=90176。，∴∠DFG=45176。，∴GD=GF，在△AGD和△EGF中，∴△AGD≌△EGF∴AG=EG，∠AGD=∠EGF，∴∠AGE=∠AGD+∠DGE=∠EGF+DGE=90176。，∴AG⊥EG．（3）由（1）有，AG=CG，AG⊥EG，∴∠GEA=45176。，∵∠AGF=120176。，∴∠AGB=∠CGB，=30176。，∴∠FGE=∠CGB=∠CGE=30176。，∴∠CEG=75176。，∴∠AED=30176。，在Rt△ADE中，AD=2，∴DE=2．21．如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為6，菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、G、H分別在正方形ABCD的邊AB、CD、DA上，連接CF．（1）求證：∠HEA=∠CGF；（2）當(dāng)AH=DG=2時(shí)，求證：菱形EFGH為正方形；（3）設(shè)AH=x，DG=2x，△FCG的面積為y，試求y的最大值．【分析】（1）過(guò)F作FM⊥CD，垂足為M，連接GE，由AB與CD平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對(duì)角相等，再由GE為菱形的對(duì)角線，利用菱形的性質(zhì)得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用等式的性質(zhì)即可得證；（2）由于四邊形ABCD為正方形，四邊形HEFG為菱形，那么∠D=∠A=90176。，HG=HE，而AH=DG=2，易證△AHE≌△DGH，從而有∠DHG=∠HEA，等量代換可得∠AHE+∠DHG=90176。，易證四邊形HEFG為正方形；（3）欲求△FCG的面積，由已知得CG的長(zhǎng)易求，只需求出GC邊的高，通過(guò)證明△AHE≌△MFG可得．（1）證明：過(guò)F作FM⊥CD，垂足為M，連接GE，∵CD∥AB，∴∠AEG=∠MGE，∵GF∥HE，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠FGM；（2）證明：在△HDG和△AEH中，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D=∠A=90176。，∵四邊形EFGH是菱形，∴HG=HE，在Rt△HDG和△AEH中，∴Rt△HDG≌△AEH（HL），∴∠DHG=∠AEH，∴∠DHG+∠AHE=90176?！唷螱HE=90176。，∴菱形EFGH為正方形；（3）解：過(guò)F作FM⊥CD于M，在△AHE與△MFG中，∴△AHE≌△MFG，∴MF=AH=x，∵DG=2x，∴CG=6﹣2x，∴y=CG?FM=?x?（6﹣2x）=﹣（x﹣）2+，∵a=﹣1＜0，∴當(dāng)x=時(shí)，y最大=．22．如圖1，四邊形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，點(diǎn)E在邊AB上，∠DEC=90176。，且DE=EC．（1）求證：△ADE≌△BEC；（2）若AD=a，AE=b，DE=c，請(qǐng)用圖1證明勾股定理：a2+b2=c2；（3）線段AB上另有一點(diǎn)F（不與點(diǎn)E重合），且DF⊥CF（如圖2），若AD=2，BC=4，求EF的長(zhǎng)．【分析】（1）首先得出∠ADE=∠CEB，再利用全等三角形的判定方法得出△ADE≌△BEC（AAS）；（2）利用梯形的面積和直角三角形面積公式求出答案；（3）利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)得出AF的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案．（1）證明：如圖1，∵∠DEC=90176。，∴∠AED+∠CEB=90176。，∵∠ADE+∠AED=90176。，∴∠ADE=∠CEB，在△ADE和△BEC中，∴△ADE≌△BEC（AAS）；（2） 證明：如圖1，∵AB⊥BC，∠DEC=90176。，∴△ADE，△DEC，△BEC都是直角三角形，∵AD=a，AE=b，DE=c，且DE=EC，△ADE≌△BEC，∴BE=a，BC=b，∴（a+b）（a+b）=ab+c2+ab，整理得：a2+b2=c2；（3） 解：如圖2，由（1）得：△ADE≌△BEC（AAS），則AD=BE=2，BC=AE=4，∵DF⊥CF，∴∠AFD+∠BFC=90176。，∵∠BFC+∠BCF=90176。，∴∠AFD=∠BCF，又∵∠A=∠B，∴△AFD∽△BCF，∴=，設(shè)AF=x，則BF=6﹣x，故=，解得：x1=2，x2=4，∵點(diǎn)F不與點(diǎn)E重合，∴x=2，∴EF=6﹣2﹣2=2．23．如圖1，正方形ABCD中，AC是對(duì)角線，等腰Rt△CMN中，∠CMN=90176。，CM=MN，點(diǎn)M在CD邊上，連接AN，點(diǎn)E是AN的中點(diǎn)，連接BE．（1）若CM=2，AB=6，求AE的值；（2）求證：2BE=AC+CN；（3）當(dāng)?shù)妊黂t△CMN的點(diǎn)M落在正方形ABCD的BC邊上，如圖2，連接AN，點(diǎn)E是AN的中點(diǎn)，連接BE，延長(zhǎng)NM交AC于點(diǎn)F．請(qǐng)?zhí)骄烤€段BE、AC、CN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)知∠ACN=90176。，運(yùn)用勾股定理計(jì)算即可；（2）延長(zhǎng)NC與AB的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)G，AC+CN轉(zhuǎn)化為GN，運(yùn)用三角形的中位線性質(zhì)易得證；（3）類比（2）易得BE=（AC﹣CN）．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，AB=6，∴AC=6，∵等腰Rt△CMN中，∠CMN=90176。，CM=MN，CM=2，∴CN=2，∵∠ACN=90176。，∴AN===4，∵點(diǎn)E是AN的中點(diǎn)，∴AE=2；（2）如圖①，延長(zhǎng)NC與AB的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)G，則△ACG是等腰直角三角形，B為AG的中點(diǎn)，∴AC=CG ∴GN=AC+CN，∵點(diǎn)E是AN的中點(diǎn)，∴BE=GN∴BE=AC+CN；（3）BE=（AC﹣CN）如圖②，延長(zhǎng)CN與AB的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)G，則△ACG是等腰直角三角形，B為AG的中點(diǎn)，∴AC=CG，∴GN=AC﹣CN，∵點(diǎn)E是AN的中點(diǎn)，∴BE=GN，∴BE=（AC﹣CN）．24．正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在射線DC，DA上運(yùn)動(dòng)，且DE=DF．連接BF，作EH⊥BF所在直線于點(diǎn)H，連接CH．（1）如圖1，若點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，CH與AB之間的數(shù)量關(guān)系是　CH=AB??；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在DC邊上且不是DC的中點(diǎn)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立給出證明；若不成立，說(shuō)明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在射線DC，DA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接DH，過(guò)點(diǎn)D作直線DH的垂線，交直線BF于點(diǎn)K，連接CK，請(qǐng)直接寫出線段CK長(zhǎng)的最大值．【分析】（1）首先根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△ABF≌△CBE，即可判斷出∠1=∠2；然后根據(jù)EH⊥BF，∠BCE=90176。，可得C、H兩點(diǎn)都在以BE為直徑的圓上，判斷出∠4=∠HBC，即可判斷出CH=BC，最后根據(jù)AB=BC，判斷出CH=AB即可．（2）首先根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△ABF≌△CBE，即可判斷出∠1=∠2；然后根據(jù)EH⊥BF，∠BCE=90176。，可得C、H兩點(diǎn)都在以BE為直徑的圓上，判斷出∠4=∠HBC，即可判斷出CH=BC，最后根據(jù)AB=BC，判斷出CH=AB即可．（3）首先根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，可得CK＜AC+AK，據(jù)此判斷出當(dāng)C、A、K三點(diǎn)共線時(shí)，CK的長(zhǎng)最大；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△DFK≌△DEH，即可判斷出DK=DH，再根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△DAK≌△DCH，即可判斷出AK=CH=AB；最后根據(jù)CK=AC+AK=AC+AB，求出線段CK長(zhǎng)的最大值是多少即可．解：（1）如圖1，連接BE，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90176。，∵點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，DE=DF，∴點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，∴AF=CE，在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE，∴∠1=∠2，∵EH⊥BF，∠BCE=90176。，∴C、H兩點(diǎn)都在以BE為直徑的圓上，∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，∵∠3+∠4=90176。，∠1+∠HBC=90176。，∴∠4=∠HBC，∴CH=BC，又∵AB=BC，∴CH=AB．故答案為：CH=AB．（2）當(dāng)點(diǎn)E在DC邊上且不是DC的中點(diǎn)時(shí)，（1）中的結(jié)論CH=AB仍然成立．如圖2