數(shù)列中an及sn的關(guān)系(編輯修改稿)
2025-07-22 02:18 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 －1＝(2Sn－n2)－[2Sn－1－(n－1)2]＝2Sn－2Sn－1－2n＋1， 整理得Sn＝2Sn－1＋2n－1 ①∴Sn＋1＝2Sn＋2n＋1 ②由②－①，得an＋1＝2an＋2∴an＋1＋2＝2(an＋2)，即＝2(n≥2)又T2＝2S2－4；得a2＝4當n＝1時，a1＋2＝3，a2＋2＝6，則＝2，∴數(shù)列{an＋2}是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列．則an＋2＝32n－1，所以an＝32n－1－2．2．已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，前n項和為Sn，且Sn＝，n∈N*．(1)求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；(2)設(shè)bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn．【解】(1)由已知得，當n＝1時，a1＝S1＝ (an＞0)，∴a1＝1．當n≥2時，由得2an＝a＋an－a－an－1． 即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，∵an＋an－10，∴an－an－1＝1(n≥2)．所以數(shù)列{an}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列．(2)由(1)可得an＝n，Sn＝，bn＝＝＝－．∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝．方向三：需對已知等式變形后，再求解1．(2015江西五校聯(lián)考)已知正項數(shù)列{an}中，其前n項和為Sn，且an＝2－1．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝，Tn = b1＋b2＋b3＋…＋bn，求Tn．【解】(1)由已知得，4Sn＝(an＋1)2．當n≥2時，4Sn－1＝(an－1＋1)2，則4Sn－4Sn－1＝(an＋1)2－(an－1＋1)2，整理得 (an－1)2－(an－1＋1)2＝0，∴(an－an－1－2)(an＋an－1)＝0又an＞0，則an－an－1＝2，當n＝1時，4S1＝(a1＋1)2，得a1＝1；故數(shù)列{an}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列；∴an＝2n－1．(2)由(1)可得bn＝＝＝，∴Tn＝＋＋＋…＋＝＝＝．2．(2015浙江溫州中學月考)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝2，a2＝8，Sn＋1＋4Sn－1＝5Sn(n≥2)，Tn是數(shù)列{log2an}的前n項和．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求Tn．【解】(1)當n≥2時，Sn＋1＋4Sn－1＝5Sn，∴Sn＋1－Sn＝4(Sn－Sn－1)，即an＋1＝4an，當n＝1時，a2＝4a1；故數(shù)列{an}是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列．∴an＝24n－1＝22n－1．(2)由(1)可知log2an＝log222n－1＝2n－1， ∴Tn＝log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2an＝1＋3＋5＋…＋2n－1＝＝n2．3．(2015江西三縣聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，記A(n)＝a1＋a2＋…＋an，B(n)＝a2＋a3＋…＋an＋1，C(n)=a3＋a4＋…＋an＋2，其中n∈N*．(1)若a1＝1，a2＝5，且對任意n∈N*，三個數(shù)A(n)，B(n)，C(n)依次組成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式；(2) a1＝1，對任意n∈N*，三個數(shù)A(n)，B(n)，C(n)依次組成公比為q的等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的前n項和An．【解】(1)∵任意n∈N*，三個數(shù)A(n)，B(n)，C(n)依次組成等差數(shù)列，∴B(n)－A(n)＝C(n)－B(n)，則an＋1－a1＝an＋2－a2，即an＋2－an＋1＝a2－a1＝4，故數(shù)列{an}是首項為1，公差為4的等差數(shù)列；∴an＝1＋(n－1)4＝4n－3．(2)若對任意n∈N*，三個數(shù)A(n)，B(n)，C(n)依次組成公比為q的等比數(shù)列，∴B(n)＝qA(n)，C(n)＝qB(n)，則C(n)－B(n)＝q[B(n)－A(n)]，得an＋2－a2＝q(an＋1－a1)，即an＋2－qan＋1＝a2－qa1， 當n＝1時，由B(1)＝qA(1)，可得a2＝qa1； 則an＋2－qan＋1＝a2－qa1＝0，又an＞0，則＝＝q，故數(shù)列{an}是以1為首項，q為公比的等比數(shù)列．∴An＝4．(2015遼寧沈陽診斷考試)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝10，an＋1＝9Sn＋10．(1)求證：{lg an}是等差數(shù)列；(2)設(shè)Tn 是數(shù)列的前n項和，求Tn；(3)求使Tn＞(m2－5m)對所有的n∈N*恒成立的整數(shù)m的取值集合．【解】(1)證明：當n≥2時，an＝9Sn－1＋10，∴an＋1－an＝9(Sn－Sn－1)，則an＋1＝10an，即＝10，當n＝1時，a2＝9a1＋10＝100，則＝10，故數(shù)列{an}是以10為首項，10為公比的等比數(shù)列．∴an＝10n，則lg an＝n，∴l(xiāng)g an＋1－lg an＝n＋1－n＝1，故數(shù)列{lg an}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．(2)解：由(1)知＝＝3， ∴Tn＝3＝3＝．(3)∵Tn＝＝3－， ∴當n＝1時，Tn取最小值．依題意有＞(m2－5m)，解得－1＜m＜6， 故整數(shù)m的取值集合為{0,1,2,3,4,5}．1．(2015江蘇揚州外國語中學模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n－3，則數(shù)列{an}的通項公式為 ．【解析】當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－
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