數(shù)值逼近答案以及試題(編輯修改稿)
2025-07-22 02:18 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 零點(diǎn)，這與引理3的性質(zhì)6相矛盾。于是原方程組有唯一解。17．證明許瓦茲不等式，并借此證明內(nèi)積范數(shù)滿(mǎn)足范數(shù)的3條性質(zhì)。證：取，則故：。并由內(nèi)積的性質(zhì)： 推出：（1）且（2）（3）由于：所以：20．若連續(xù)函數(shù)列在上帶權(quán)正交，且恒正，證明：對(duì)任意個(gè)數(shù)，廣義多項(xiàng)式在上至少有一個(gè)零點(diǎn)。證明：用反證法。若存在個(gè)數(shù)，使廣義多項(xiàng)式在上沒(méi)有零點(diǎn)，由于為連續(xù)函數(shù)，故在上恒正，或恒負(fù)。不妨設(shè)，又由恒正，故。但由于在上帶權(quán)正交，故，這與上式矛盾。因此，對(duì)任意個(gè)數(shù)，廣義多項(xiàng)式在上至少有一個(gè)零點(diǎn)。第五章 數(shù)值積分（2）具有m次代數(shù)精度，試證明對(duì)于任意次數(shù)不超過(guò)m的代數(shù)多項(xiàng)式，都有。證明：因?yàn)閷?duì)，都有，從而由的線性性質(zhì)以及任意有：。結(jié)論成立。證明：（1）由，令，則故（2）由于牛頓柯特斯公式的代數(shù)精度，故對(duì)零次多項(xiàng)式，有，即，也就是，即，由得。：證明：由于牛頓柯特斯公式的代數(shù)精度，故在區(qū)間上使用牛頓柯特斯公式對(duì)精確成立，即：，也就是：或，寫(xiě)成矩陣形式即為：4．證明，若不是整數(shù)，且，則；若不是整數(shù)，且，則。證明：因?yàn)椋裕喝舨皇钦麛?shù)，且時(shí)，有成立，所以：，于是。再由：和得：。同理當(dāng)時(shí)，兩邊再減有：，即，所以若不是整數(shù)，且時(shí)。證畢。證明：存在成立證明：因在上連續(xù)，故在上必取得最大值和最小值，即當(dāng)時(shí)。又若令，則由得：。故由連續(xù)函數(shù)的介值定理知：必存在，使，即。，則積分區(qū)間要多少等分才能保證計(jì)算結(jié)果有五位有效數(shù)字？解：欲使，其中，只須，即積分區(qū)間要68等分才能保證計(jì)算結(jié)果有五位有效數(shù)字。8．驗(yàn)證復(fù)化柯特斯公式和復(fù)化辛卜生公式之間存在遞推關(guān)系。解：將區(qū)間n等分，其節(jié)點(diǎn)，在每個(gè)小區(qū)間上采用辛卜生公式得：，以及： ，于是：即：。證畢。13．假定在上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求證，證明：因在上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則：，兩邊積分得：，因在上連續(xù)，故存在，使，即：。證畢14．給定求積公式，試決定求積系數(shù)，使之代數(shù)精確度盡可能高。解：若求積公式對(duì)精確成立，則必滿(mǎn)足方程組：，解之得：，由于當(dāng)時(shí)，求積公式仍精確成立，但當(dāng)時(shí)，求積公式不再精確成立，故該求積公式具有3次代數(shù)精度。第二章 函數(shù)的插值2．給定的函數(shù)值如表19所示，用3種途徑求3次插值多項(xiàng)式。解：（1）用牛頓方法。先作差商表：所以： （2）用Lagrange 方法化簡(jiǎn)得：（3）用內(nèi)維爾方法
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