【文章內(nèi)容簡介】 ? ? ? ? ? ? ? 1222122112239。 2 22239。222H ( ) ( ) 2 ( )( ) ( 2 ) ,( 1 ) 1 , ( ) ( 2 )( ) ( 1 ) ( ) ,( ) ( 3 2 ) ( ) ( 1 ) ,1( 2 ) 4 ( 2 ) 1 ,25( 2 ) 8 ( 2 ) 4 0,415( ) ( 1 ) (2x h x h xh x x xh h x x xh x x x ax bh x x x ax b ax xah a bh a b abh x x x x??????? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?????? ? ??????? ? ? ??? ????? ? ? ? ?四 、 （ 12 分 ）令由令由 解 得2 2 21223)415( ) ( ) 2 ( ) ( 2 ) 2 ( 1 ) ( )243122H x h x h x x x x x xxx? ? ? ? ? ? ? ??? ( 5 ) 22()( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 2 )5!fR x f x H x x x x?? ? ? ? ? 16 ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 3( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( )2 2 1 2 3( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( )2 3 1 2 3( 1 4 2 )4.( 1 2 ) ( 1 ) ( 2 3 )3( 3 2 4 )4k k k k kk k k k kk k k k kx x x x xS OR x x x x xx x x x x??????? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???五 分 迭 代 格 式 ： ( 2 ) 2 ,( 3 ) 1 , S O R S O RS O R????當(dāng) 時 迭 代 法 發(fā) 散 。當(dāng) 時 此 時 迭 代 法 為 GaussSeidel 迭 代 法 ，由 于 A 是 嚴(yán) 格 對 角 占 優(yōu) 的 所 以 迭 代 法 收 斂 。 六、（ 12 分） 1 1 / 2 1 1 10 0 1 / 2 1 11 1 1 1 3 14 4 4 4 4 4x d x x d x x d x t d t t d t??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 1 ( 1 735 1 735 3 735 3 735 )8? ? ? ? ? ? ? ?? 212212 22212 ( ) 1 , ( ) ( 1 )1 1 22 2 , , ,3 3 4 4 30 100 ,100 354 ( ) ( 1 ) ( 1 )七 （、 分 ） x x x xYaabbs x x x??? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 7八 、 （ 分 ） ( ) ( ) ( )G x x x? ? ?? 0 1 n證 明 ： 非 奇 異 , , . . . , 線 性 無 關(guān) ( ) ( ) ( )x x x? ? ?0 1 n反 證 ： 假 設(shè) , , . . . , 線 性 相 關(guān) ， ( j = 0 , 1 , , n) ( )jjc c x??n jj=0存 在 不 全 為 零 的 使 =0 ( ( ) ( )jc x x???n jkj=0 ， ) = 0 , k = 0 , 1 , . . . , n 17 ( ) ( ) jx x c kGC???n jkj=0（ ， ） = 0 , = 0 , 1 , . . . , n 有 非 零 解 ,即 ： =0 有 非 零 解 , G奇 異 ,矛 盾 。 18 數(shù)值分析試題 (A) 院系： 專業(yè) ： 分?jǐn)?shù)： 姓名： 學(xué)號 日期： 。 注：計算題取小數(shù)點后四位。 一、 填空題 (每小題 3分，共 15分 ) 2. 已知 x= a 經(jīng)四舍五入得到的 a 的近似值，試給出 x 的絕對 誤差界 _______________. 3. 已知矩陣 1221A ???????，則 A 的奇異值為 _________. 3. 設(shè) x 和 y 的 相對誤差均為 ，則 xy 的相對誤差約為 ____________. 4. 4 2 4( ) 5 3, , ( ) ___ __ .iif x x x x i f x? ? ? ? ?若 = 則 5. 下面 Matlab程序所描述的數(shù)學(xué)表達式為 ________________________ . a=[10,3,4,6]。t=1/(x1)。n=length(a) ( )。1 : 1 : 1* ( )。y a nfo r k ny t y a ken d?? ? ??? 二、 (10分 )設(shè) 32( ) ( )f x x a??。 （ 1）寫出解 ( ) 0fx? 的 Newton 迭代格式； （ 2）證明此迭代格式是線性收斂的。 三、 (15分 )已知矛盾方程組 Ax=b， 其中2 1 11 0 , 11 0 12 11Ab??? ???? ???????????????， （ 1）用 Householder 方法求矩陣 A 的正交分解，即 A=QR。 （ 2）用此正交分解求矛盾方程組 Ax=b 的最小二乘解。 19 四、 (15分 ) 給出數(shù)據(jù)點： 0 1 2 3 43 9 6 1 2 1 5iixy ??? ?? （ 1）用 1 2 3 4,x x x x 構(gòu)造 三次 Newton 插值多項式 3()Nx，并計算 ? 的近似值 3()N 。 （ 2）用事后誤差估計方法估計 3()N 的誤差。 五、 (15分 ) （ 1）設(shè) 0 1 2{ ( ), ( ), ( )}? ? ?x x x是定義于 [1， 1]上關(guān)于權(quán)函數(shù) 2()xx? ? 的首項系數(shù)為 1 的正交多項式組，若已知 01( ) 1 , ( )x x x????，試求出 2()? 。 （ 2）利用正交多項式組 0 1 2{ ( ), ( ), ( )}? ? ?x x x，求 ()f x x? 在 11[ , ]22? 上的二次最佳平方逼近多項式。 六、 (15分 ) 設(shè) 1()Px是 ()fx的以 33(1 ),(1 )??為插值節(jié)點的一次插值多項式， 試由 1()Px導(dǎo)出求積分 20 ()I f x dx??的一個插值型求積公式，并推導(dǎo)此求積公式 的截斷誤差。 七、 (15分 ) 已知求解線性方程組 Ax=b 的分量迭代格式 ( 1 ) ( ) ( )1 ), 1 , 2 , ,nk k ki i i i j jjiix x b a x ina?? ?? ? ? ??（ （ 1）試導(dǎo)出其矩陣迭代格式及迭代矩陣； （ 2）證明當(dāng) A 是嚴(yán)格對角占優(yōu)陣， 12?? 時此迭代格式收斂。 20 數(shù)值分析答案 三、 填空題 (每小題 3 分 ，共 15 分 ) 1. 41 102 ?? . 2. 123, 1???? 3. 4. 120 5. 233 4 610 1 ( 1 ) ( 1 )y x x x? ? ? ?? ? ? 二、（ 10分 ) 解：（ 1）因 32( ) ( )f x x a??，故 39。 2 3( ) 6 ( )f x x x a??。 由 Newton 迭代公式：1 39。() , 0 , 1 , 2 ,()kkk kfxx x kfx? ? ? ? 得 321 2 3 2() 5 , 0 , 1 , 2 ,6 ( ) 6 6kk k kk k kxa ax x x kx x a x? ?? ? ? ? ?? （ 2）上述迭代格式對應(yīng)的迭代函數(shù)為25() 66axx x? ??，于是 39。35() 63axx? ??? ， 又 * 3xa? ，則有 39。 * 335 5 1 1( ) ( ) 16 3 6 3 2axa? ?? ? ? ? ? ?且 0? ，故此迭代格式是線性收斂的。 21 15( 1 ) ( 2, 1 , 2 ) , ( 3, 0, 0 ) , ( 5, 1 , 2 )1 25 5 10 10 5 10112 1 5 1 2 5 14 215 151 10 2 4 10 2 1133 14 10 5 10110 5 5 14 211 150 10 2 11(2T T TTTx y u x yuuHIuuH A R Q H? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?三 分 ） 法 一 ：（.01 1 1 11110 533 1411) 5 14 , ,15 11 0 510 21 / 3 263 187,17 / 15 225 75TTQ R Q R x bR x Q b x????????? ? ????????? ????? ??? ? ??? ?????? 1 1 1 1 1111111222( 1 ) ( 2, 1 , 2 ) , ( 3, 0, 0 ) , ( 1 , 1 , 2 )1 1 1 2 2 1 2112 1 1 1 2 1 2 2331 2 2 4 2 2 133 1413114( 14 / 11 , 3 / 11 , 4 / 11 ) , ( 14 / 11 , 5 / 11 , 0T T TTTTx y u x yuuHIuuH A Axy? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ???????????? ???? ? ? ?法00二 ：2 2 222222121) , ( 0, 8 / 11 , 4 / 11 )1 0 0 0 5 0 0112 1 0 8 4 0 3 4551 0 4 2 0 4 310 5 10 33 14115 14 2 , 0 515 1110 2 11 0 010 51( 2 ) 5 141510 2TTTTTu x yuuHIuuQ H H R Q AQ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ????? ? ????1 1 11133 141,11 0 551 263 187,15 17 225 75TTR Q R x bR x Q b x??????????????????? ??? ? ??? ??? ???? 22 333331 3 3. 15( ) 9 3 ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) 2 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )( ) 50,( ) 3 6 ( 1 ) 3 ( 1 ) ( 2 )( ) 00, 4( ) ( ) ( ( ) ( ) ) 194N x x x x x x xNN x x x x x x xNR f