【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 a[i])。 f=f+tmp*b[i+1]。 設(shè)定初始值t=1,newton=f(x0) 結(jié)束 （四） Hermite 公式流程圖 開(kāi)始 根據(jù)區(qū)間 [a,b]，對(duì)給定的節(jié)點(diǎn)劃分為多個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間 n+1 個(gè)節(jié)點(diǎn) 在每個(gè)小區(qū)間上構(gòu)造插值多項(xiàng)式 Pi（ x） 輸入 n 來(lái)確定插值次數(shù) 判斷 x 所屬的區(qū)間 計(jì)算所求插值節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值 輸出所求函數(shù)值 結(jié)束 編程計(jì)算 f(x)的近似值 （一） Lagrange 插值： 拉格朗日插值程序源代碼 includeiostream includecmath using namespace std。 int main() { int i,j,n。 double a[100],b[100]。 開(kāi)始 插值節(jié)點(diǎn)序列，對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值 根據(jù)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)確定插值次數(shù)然后 for i 0 to n a=(12*(xxi))/(xixk)*Li(x)*Li(x)) b=(xxi)* Li(x)*Li(x) 根據(jù)插值公式計(jì)算插值點(diǎn)的值 for i 0 to n H(x)=yi((12（ xxi） *a） +mi*b*b) 輸出插值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的值 結(jié)束 cout請(qǐng)輸入插值節(jié)點(diǎn)控制數(shù) :nendl。 cinn。 cout請(qǐng)輸入 n+1 個(gè)插值點(diǎn) :endl。 for(i=0。i=n。i++) { cina[i]b[i]。 } double f,x,tmp。 cout請(qǐng) 輸入所求函數(shù)值對(duì)應(yīng)的 x 點(diǎn) endl。 cinx。 f=0。 for(i=0。i=n。i++) { tmp=1。 for(j=0。j=n。j++) if(i==j)continue。 else tmp=tmp*(xa[j])/(a[i]a[j])。 f=f+tmp*b[i]。 } cout所求函數(shù)值為 f_x=fendl。 return 0。 （二） Newton 插值： 牛頓插值法程序源代碼 includeiostream includecmath using namespace std。 int main() { int i,j,n。 double a[100],b[100]。 cout請(qǐng)輸入插值節(jié)點(diǎn)控制數(shù)： nendl。 cinn。 cout請(qǐng)輸入 n+1 個(gè)插值點(diǎn) :endl。 for(i=0。i=n。i++) { cina[i]b[i]。 } double f,x,tmp。 cout請(qǐng)輸入所求函數(shù)值對(duì)應(yīng)的 x 點(diǎn) endl。 cinx。 for(i=0。in。i++) for(j=n。ji。j) { b[j]=(b[j]b[j1])/(a[j]a[j1i])。 } tmp=1。 f=b[0]。 { for(i=0。in。i++) { tmp=tmp*(xa[i])。 f=f+tmp*b[i+1]。 } cout所求函數(shù)值為 f_x=fendl。 } return 0。 } （三）調(diào)試過(guò)程，實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析： （ 1）利用拉格朗日插值 對(duì)于 f(x)=e^x, x0=0,x1= 利用線性插值計(jì)算 f()的近似值 運(yùn)行結(jié)果如下圖： 對(duì)于 x0=,x1= 利用線性插值計(jì)算 f()的近似值 運(yùn)行結(jié)果如下圖： （ 2）利用牛頓插值 對(duì)于 f(x)=e^x, x0=0,x1= 利用線性插值計(jì)算 f()的近似值 運(yùn)行結(jié)果如下圖： 對(duì)于 x0=,x1=1 利用線性插值計(jì)算 f()的近似值 運(yùn)行結(jié)果如下圖： （ 3）運(yùn)行結(jié)果的比較： ① 拉格朗日插值和牛頓插值計(jì)算出的結(jié)果相同，但是牛頓插值法的計(jì)算量較少。拉格朗日法形式對(duì)稱，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，便于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，只 是計(jì)算量大。 ② 二次插值因?yàn)樵谌↑c(diǎn)更準(zhǔn)確和計(jì)算復(fù)雜，所得到的結(jié)果精確度更好。 編程計(jì)算 f(x)= 的近似值 （一）分段插值： 分段線性插值法程序源代碼 includeiostream includecmath using namespace std。 int main() { int i,j,n。 double a[10],b[10],x,f,tmp。 cout請(qǐng)輸入插值節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù) :nendl。 cinn。 cout請(qǐng)輸入 n 個(gè)插值節(jié)點(diǎn) :endl。 for(i=0。in。i++) { cina[i]b[i]。 } cout請(qǐng)輸入所求函數(shù)值對(duì)應(yīng)的 x 點(diǎn) endl。 cinx。 f=0。 if(xa[1])goto loop。 else for(i=1。in1。i++) { if(xa[1])goto loop。 } loop:for(i=0。i=1。i++) { tmp=1。 for(j=0。j=1。j++) if(i==j)continue。 else tmp=tmp*(xa[j])/(a[i]a[j])。 f=f+tmp*b[i]。 } cout所求函數(shù)值為 fendl。 return 0。 } 分段拋物線插值法程序源代碼 includeiostream includecmath using namespace std。 int main() { int i,j,n。 double a[10],b[10],x,f,tmp。 cout請(qǐng)輸入插值節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù) :nendl。 cinn。 cout請(qǐng)輸入 n 個(gè)插值節(jié)點(diǎn) :endl。 for(i=0。in。i++) { cina[i]b[i]。 } cout請(qǐng)輸入所求函數(shù)值對(duì)應(yīng)的 x 點(diǎn) endl。 cinx。 f=0。 if(xa[1])goto loop。 else for(i=1。in1。i++) { if(xa[1])goto loop。 } loop:for(i=0。i=2。i++) { tmp=1。 for(j=0。j=2。j++) if(i==j)continue。 else tmp=tmp*(xa[j])/(a[i]a[j])。 f=f+tmp*b[i]。 } cout所求函數(shù)值為 fendl。 return 0。 } 調(diào)試過(guò)程，實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析： 分段線性插值程序運(yùn)行結(jié)果如下： 分段拋物線插值程序運(yùn)行結(jié)果如下： 由運(yùn)行結(jié)果可以看出： 分段拋物線插值比分段線性插值更準(zhǔn)確，這是因?yàn)閽佄锞€插值在所求點(diǎn)的附近選取的點(diǎn)，并且線性插值和拋物線插值在所考慮區(qū)間內(nèi)插值得到的數(shù)值精確度比在考慮區(qū)間外所得到的數(shù)值的精確度要高，這說(shuō)明了內(nèi)插比外推插值效果要好。 實(shí)驗(yàn)小結(jié)及體會(huì) ： 插值法是數(shù)值分析中的一類重要方法，有著廣泛的應(yīng)用。本次試驗(yàn)中幾種數(shù)值方法及有關(guān)概念和理論是數(shù)值分析最基本的內(nèi)容 拉格朗日插值多項(xiàng)式是研究數(shù)值微積分與微分方程數(shù)值解的重要工具，但該方法計(jì)算量很大，且誤差估計(jì)很 困難，理論上還是比較重要。 牛頓插值多項(xiàng)式是拉格朗日插值多項(xiàng)式的變形，具有繼承性，比拉格朗日插值多項(xiàng)式節(jié)省計(jì)算量，試驗(yàn)中用到了均差的概念，當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)增加或減少時(shí)，只需將原有的計(jì)算結(jié)果增加或減少一項(xiàng)，著也是牛頓插值比拉格朗日插值方便的地方，應(yīng)當(dāng)注意。 分段低次多項(xiàng)式插值由于具有良好的穩(wěn)定性與收斂性，且算法簡(jiǎn)單，可根據(jù)節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值的具體情況，采用不同的插值公式，解決了曲線平滑性的問(wèn)題，更便于應(yīng)用。 實(shí)驗(yàn)課程名稱： 數(shù)值分析 實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目名稱 數(shù)值積分和數(shù)值微分 實(shí)驗(yàn) 成績(jī) 實(shí) 驗(yàn) 者 專業(yè)班級(jí) 組 別 同 組 者 實(shí)驗(yàn)日期 年 月 日 第 一部分： 實(shí)驗(yàn)分析與設(shè)計(jì) 一． 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容描述 實(shí)驗(yàn)?zāi)康模? （ 1） 通過(guò)編程計(jì)算實(shí)踐，體會(huì)和理解復(fù)化梯形公式和復(fù)化 Simpson 公式 （ 2） 通過(guò)編程計(jì)算實(shí)踐，高清變步長(zhǎng)梯形公式的計(jì)算流程 （ 3） 通過(guò)編程計(jì)算實(shí)踐，掌握和提高 Romberg 算法流程的控制技術(shù) （ 4） 通過(guò)各種方法對(duì)同一題目的求解，體會(huì)各種方法的精度差異 二． 實(shí)驗(yàn)基本原理和設(shè)計(jì) （ 1） 分別畫(huà)出復(fù)化梯形公式，復(fù)化 Simpson 公式，變步長(zhǎng)梯形公式和 Romberg 公式的算法流程圖 （ 2） 分別用復(fù)化梯形公式，復(fù)化 Simpson 公式通過(guò)編程計(jì)算計(jì)分 ? ?10 ))*1/(1( dxxx ，并分析和比較算法的效率差異和精度差異 （ 3） 用變步長(zhǎng)梯形公式通過(guò)編程計(jì)算計(jì)分 ? ?1