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高一數(shù)學數(shù)列中的綜合問題(編輯修改稿)

2024-12-17 21:09 本頁面
 

【文章內容簡介】 1=bn( 1 - an) ( 1 + an),故 1 - an + 1=1 - an( 1 - an) ( 1 + an),即 1 - an + 1=11 + an,即 (1 - an + 1)(1+ an) = 1 ,即 an- an + 1= anan + 1,即1an + 1-1an= 1 ,故數(shù)列??????1an是首項為 4 ,公差為 1 的等差數(shù)列,故1an= 4 + ( n - 1) = n + 3 ,故 an=1n + 3, bn= 1 -1n + 3=n + 2n + 3. 第 28講 │ 要點探究 (2) 根據(jù) (1) 得 Sn= a1a2+ a2a3+ … + anan + 1 =14 5+15 6+ … +1( n + 3 ) ( n + 4 ) =14-1n + 4=n4 ( n + 4 ), ∴ 4 aSn- bn=ann + 4-n + 2n + 3=( a - 1 ) n2+ ( 3 a - 6 ) n - 8( n + 3 ) ( n + 4 ). 由條件可知 ( a - 1) n2+ (3 a - 6) n - 8 0 恒成立即可滿足條件,設 f ( n ) = ( a - 1) n2+ (3 a - 6) n - 8 , 第 28講 │ 要點探究 當 a = 1 時, f ( n ) =- 3 n - 80 恒成立; 當 a 1 時,由二次函數(shù)的性質知不可能成立; 當 a 1 時,對稱軸 n =-32a - 2a - 1= -321 -1a - 10 , f ( n ) 在 (1 ,+ ∞) 為單調遞減函數(shù), 令 f (1) = ( a - 1) n2+ (3 a - 6) n - 8 = ( a - 1) + (3 a - 6) - 8 = 4 a -150 , ∴ a 154, ∴ a 1 時 4 aSn bn恒成立. 綜上知 a ≤1 時, 4 aSn bn恒成立. 第 28講 │ 要點探究 [ 2020 珠海模擬 ] 已知數(shù)列 ??????an 中, a1= 1 , an + 1=an2 an+ 1 ( n∈ N*) . (1) 求數(shù)列 ??????an 的通項公式 an; (2) 設2bn=1an+ 1 ,求數(shù)列??????????bnbn + 1 的前 n 項和 Tn; (3) 已知 Pn= (1 + b1)(1 + b3)(1 + b5) … ( 1 + b2 n - 1) ,求證:Pn 2 n + 1 . 第 28講 │ 要點探究 [ 解答 ] (1) 由 an + 1=an2 an+ 1得1an + 1-1an= 2 ,且1a1= 1 ,所以知數(shù)列??????1an是以 1 為首項,以 2 為公差的等差數(shù)列, 所以1an
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