柯西不等式的證明(編輯修改稿)
2025-07-20 14:21 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ，k為常數(shù)， 或時(shí)等號(hào)成立設(shè) 則 當(dāng) ，k為常數(shù)， 或時(shí)等號(hào)成立即 時(shí)不等式成立綜合（1）（2）可知不等式成立柯西不等式是一個(gè)非常重要的不等式，靈活巧妙的應(yīng)用運(yùn)用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解，這個(gè)不等式結(jié)構(gòu)和諧，應(yīng)用靈活廣泛，利用柯西不等式可處理以下問題：1） 證明相關(guān)命題例1． 用柯西不等式推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式。 已知點(diǎn)及直線 設(shè)點(diǎn)p是直線上的任意一點(diǎn)， 則 （1） （2）點(diǎn)兩點(diǎn)間的距離就是點(diǎn)到直線的距離，求（2）式有最小值，有由（1）（2）得： 即 （3）當(dāng)且僅當(dāng) （3）式取等號(hào) 即點(diǎn)到直線的距離公式即2） 證明不等式例2 已知正數(shù)滿足 證明 證明：利用柯西不等式 又因?yàn)? 在此不等式兩邊同乘以2，再加上得：故3） 解三角形的相關(guān)問題例3 設(shè)是內(nèi)的一點(diǎn)
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