【文章內(nèi)容簡介】 序列算子作用可以多次進行。相應(yīng)地，若 都為序列算子，稱123,為二階算子作用序列，等等。12公理 1[2] （不動點公理）設(shè) 為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列， 為序列算子，則XD滿足 。D()xnd?公理 2[2]（信息充分利用公理）系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列 中的每一個數(shù)據(jù) ，X()xk都應(yīng)充分參與算子作用的全過程。,k?公理 3[2]（解析化、規(guī)范化公理）任意的 ， ，都可以由一()xkd1,2n??個統(tǒng)一的 初等解析式表達。(1),()xxn?公理 4[49] （單調(diào)性不變公理）設(shè) 經(jīng)序列算子 作用后所得數(shù)據(jù)序列為XD，則序列 與序列 的單調(diào)性必須保持一致。,2,XDdd??定義 3 滿足以上四公理的序列算子稱為緩沖算子，一階、二階、三階……緩沖算子作用序列稱為一階、二階、三階……緩沖序列。定義 4[2] 設(shè) 為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列， 為緩沖算子，若滿足下列兩個條件，X則稱緩沖算子 為強化緩沖算子。⑴ 當 為單調(diào)增長（單調(diào)衰減）序列時，緩沖序列 比系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序XD列 的增長率（衰減率）加快；⑵ 當 為振蕩序列時，緩沖序列 比系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列 的振幅大。XXD定理 1[2] 設(shè) 為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，緩沖序列記為(1),2,()xxn??，那么(),2,Dxdnd??⑴ 當 為單調(diào)增長序列時， 為強化緩沖算子 ，?()xkd?；,kn?第 2 章 灰建模及緩沖算子的基礎(chǔ)理論5⑵ 當 為單調(diào)衰減序列時， 為強化緩沖算子 ，XD?()xkd?；1,2kn??⑶ 當 為振蕩序列時， 為強化緩沖算子則 ，??11maaknkn??。??1mi()knxd?1i()knx?從上述定理可以看出，單調(diào)增長序列在強化算子作用下，數(shù)據(jù)萎縮；單調(diào)衰減序列在強化緩沖算子作用下，數(shù)據(jù)膨脹。第 3 章 灰色 GM(1,1)模型及緩沖算子的研究6第 3 章 灰色 GM(1,1)模型及緩沖算子的研究 GM(1,1)模型的研究現(xiàn)狀 等間距 GM(1,1)模型的研究現(xiàn)狀鄧聚龍教授最先提出 GM(1,1)的灰微分方程模型的基本形式為，其中 為灰導數(shù)， 為發(fā)展系數(shù)， 為白化背景(0)()xkazb??（ 1） (0)xka()zk（ 1）值（ ） ， 為灰作用量。若 為參數(shù)列，且1??（ ） （ ） （ ）（ ）2b?,Tab?， ，則 GM(1,1)模型 的最小二乘(0)(0)3xYn????????(1)(1)3zBzn????????? (0)()xkz?（ 1）估計參數(shù)列滿足 .經(jīng)過眾多學者的分析和研究，GM(1,1)建模步驟?TaY中存在以下幾個問題：第一，利用灰色微分方程求發(fā)展系數(shù) a,灰作用量 b時，最小二乘法指標函數(shù)不一定最合理，不一定是最優(yōu)的方法，可以尋求更合理的方法來處理參數(shù)列。?(,)Tab?第二，利用白化微分方程求含 a,b的響應(yīng)式，灰色、白化微分方程本來不統(tǒng)一。第三 : 利用初始條件 求響應(yīng)式中的待定系數(shù)，時間(1)(1)(0)?xx?操之過急, 選擇單一。第四：灰色微分方程中導函數(shù)、原函數(shù)是近似,可以通過數(shù)學方法使得方程中的原函數(shù)與導函數(shù)更匹配。根據(jù)以上幾個問題，很多學者做了研究，改進 GM(1,1)模型的建模方法主要有以下幾種：(1)求參數(shù)列的方法；(2)改白化微分方程、改灰色微分方程、同時改白化和灰色微分方程、去白化微分方程，通過這些方法來實現(xiàn)灰色、白化微分方程的統(tǒng)一；(3) 對模型的初始條件進行改進 。 （4）對背景值的改進，優(yōu)化灰導數(shù)，或同時優(yōu)化這兩者，使得方程中的原函數(shù)與導函數(shù)更匹配。陳友軍等人分析了最小二乘法指標函數(shù)的不一定合理性，并提出了用關(guān)聯(lián)度最大作指標函數(shù)來求參數(shù)列 a，b。對微分方程的改進上也有很多學者作了研究，這里主要介紹下(3)，(4)兩種改進途徑的研究現(xiàn)狀。 第 3 章 灰色 GM(1,1)模型及緩沖算子的研究7(1)初始條件的改進通過對模型產(chǎn)生誤差的原因分析，有學者認為將 作為初始條件是不合(1)x理的，并有不少學者在這方面做了很多研究工作，對模型的初始條件的改進方法主要有以下兩類：①根據(jù)灰色理論的新信息優(yōu)先原理，將最后一項即最新的數(shù)據(jù) 作為灰色微分模型的初始條件 [24]，在此基礎(chǔ)上，另有學者提出了以(1)xn任一項數(shù)據(jù) 作為初始條件（即將 m從 1到 n取值，對每一()1,2mn??個值用 GM（1，1）模型進行一次預測，找出平均相對誤差最小（或在其他評價標準下）的模型對應(yīng)的 m，令 m對應(yīng)的 為初始條件） [26]，②根據(jù)最小二(1)x乘法理論，有學者提出用模擬（預測）值與原始數(shù)據(jù)的誤差平方和最小來確定初始條件，通過對模型的初始條件的改進，大大地降低了預測誤差。 (2)對背景值的改進經(jīng)過不少學者的研究分析，原始灰色 GM（1，1）模型中背景值與灰導數(shù)不完全匹配，背景值的構(gòu)造是產(chǎn)生誤差的主要原因，因此，不少學者對模型的背景值的改進進行了研究，主要有以下改進方法：①運用指數(shù)平滑法將原背景值優(yōu)化為： [1826]，②羅)(1kz(1)(1)(1),21Zkxxkn???????黨等人做了更進一步的改進，對一階線性微分方程兩邊進行積分，將原背景值優(yōu)化為： = [3]。通過對模型背景)(1)(1z)(ln)(l)11 ,3?值的改進，使得新模型不僅適用于低增長序列同時適用于高增長序列，而且模擬精度也大大提高了。(3)對灰導數(shù)的改進 GM（1，1）模型的灰微分方程的基本形式是 ，,.32)()(10??kbazkx是鄧聚龍教授在白化微分方程 的基礎(chǔ)上，將離散點列 在 點badtx??)1()( )1(x的導數(shù)用差分形式來處理（即： ） ，將背景)()1()0)1()( kkxtk ???值 用 來代替而得到的。然而，這樣的近似處理，使得 GM（1，1）)(1kx)(1z模型的模擬誤差較大，因此，很多學者對灰導數(shù)進行了研究和優(yōu)化：文獻[5] 不用一次累加而直接建模，并提出了以向前差商和向后差商的優(yōu)化加權(quán)平均值作為灰導數(shù)白化值建立 GM (1, 1) 的方法，并證明了該法具有線性變換一致性。 非等間距 GM(1,1)模型的研究現(xiàn)狀第 3 章 灰色 GM(1,1)模型及緩沖算子的研究8GM (1 ,1) 模型模擬和預測精度主要取決于參數(shù)a 和b ,而參數(shù)a 和b 的值又依賴于背景值的構(gòu)造,因此,背景值成為直接影響GM(1 ,1) 模型模擬和預測精度的關(guān)鍵，而一次累加的定義直接影響背景值的構(gòu)造。學者對非等間距GM (1 ,1) 模型的研究主要是對序列一次累加的定義的改進： （1）在文獻[38] 中累加定義給出 ，實際上這里的????101iijjxkxk???可以理解為是將非等間距插值（以便利用等間距思路來處理非等間距問??ixk題） ，但它在插值的時候沒有考慮值的逐漸變化，而是采用了值的突變，這樣就給模型帶來了一定的誤差，也在一定程度上影響了灰色系統(tǒng)理論的應(yīng)用。（2）文獻[38] 中的 可以理解為是將非等間距插值（以便利用等間距??1ixk思路來處理非等間距問題） ，但由于它在插值的時候沒有考慮值的逐漸變化，而是采用了值的突變，這樣就給模型帶來了一定的誤差，也在一定程度上影響了灰色系統(tǒng)理論的應(yīng)用，文獻[27]通過考慮值的逐漸變化來給出新的累加定義： ??????(0)(0)100 111{[ ]}jkjjl jii jxkxkxl? ???????（3）當原始數(shù)據(jù)經(jīng)過一次累加后，如果還不接近指數(shù)形式，我們應(yīng)當進行數(shù)據(jù)處理，使其接近指數(shù)形式，這樣才可能得到好的模擬效果，又因為我們用指數(shù)形式進行模擬，文獻[28]提出用 對原始數(shù)據(jù)進行插值，得到了新??0idtxtce?的一次累加定義 ???? ??110121jjjkidkli jlxk??????? 緩沖算子的研究現(xiàn)狀由于現(xiàn)實生活中的數(shù)據(jù)往往因受到外界很多沖擊因素的干擾而失真，為了排除擾動因素的作用，劉思峰教授開創(chuàng)了對波動數(shù)據(jù)預測的新領(lǐng)域，他針對級比漸趨穩(wěn)定的數(shù)據(jù)序列，提出了用滿足緩沖三公理的緩沖算子作用后進行建模預測的新思路，眾多學者從不同的背景出發(fā)，提出了各種緩沖算子，大大提高了灰色預測建模精度，從而大大拓廣了灰色系統(tǒng)理論的應(yīng)用范圍。文獻[43]將緩沖算子的構(gòu)造與函數(shù)結(jié)合起來，為緩沖算子的構(gòu)造開辟了新方向，文獻[49]對緩沖算子公理進行了補充，并構(gòu)造了變權(quán)緩沖算子。本文在他們的工作的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了一類緩沖算子，整合了這些常用的緩沖算子，使得常用緩沖算子更一般化了，也更加靈活了。第 4 章 GM(1,1)模型建模方法的改進9第 4 章 GM（1，1）模型建模方法的改進在本章里，作者對 GM(1,1)模型進行了深入研究，根據(jù) GM（1，1）模型的原理，找出影響模型精度及其適應(yīng)性的關(guān)鍵因素，并對其進行優(yōu)化，提高了模型的精度，擴大了模型的適用范圍，實例表明新模型具有較滿意的模擬和預測效果，具有重要的理論價值和實際價值。(1,1)雖然文獻[3]、[4]、[7]從優(yōu)化背景值的角度進行改進，使得白化微分方程與灰色微分方程更加匹配，大大提高了模型的精度，文獻[5]不用一次累加而直接建模，并提出了以向前差商和向后差商的優(yōu)化加權(quán)平均值作為灰導數(shù)白化值建立GM (1, 1) 的方法，但是根據(jù)GM（1，1）模型的原理，它將系統(tǒng)看成一個隨時間變化而變化的指數(shù)函數(shù)，本文通過對不用一次累加而直接建模的灰色微分方程中的灰導數(shù)進行優(yōu)化，從而優(yōu)化了GM(1 ,1) 模型,數(shù)據(jù)模擬和模型比較表明,與原GM (1,1) 模型和文獻[7]中提出的優(yōu)化模型相比,本文優(yōu)化后的模型模擬精度有所提高，具有較高的理論價值和應(yīng)用價值。 對灰導數(shù)的優(yōu)化定理 1 設(shè)原始數(shù)據(jù)序列 ， 的1IAGO 序??0x????????nxx00,3,2,1????0列為 ，若 滿足指數(shù)形式????00()(1)(1)()2,3x n????= + ，則 與 具有相同的指數(shù)。??0k)(?kABeC??x??0)(證明：若 滿足指數(shù)形式 = + ，則??0k)1(?kABeC= = + （ + ）)()1(x?k??)(0)( )2(?kAe= 1?kAe令 ,則 =)(AeBD????)(0)(x?)1(?kAD若 滿足齊次指數(shù)形式 = ,??0)1kx??0)(x)1(?kAe= =??(??1)()0(02)1(xii??? )1(0)1(2xBAk?????= + ，)(?kABeC即 與 具有相同的指數(shù)。證畢！??0x??01?上述定理說明離散指數(shù)函數(shù)與其經(jīng)一次累減生成的離散指數(shù)函數(shù)具有相同的指數(shù)。根據(jù)GM（1，1）模型的原理，它將系統(tǒng)看成一個隨時間變化而變化的第 4 章 GM(1,1)模型建模方法的改進10指數(shù)函數(shù)，定理2 設(shè)原始數(shù)據(jù)序列 , 則????????????00001,2,3,xxxn??1）若 滿足非齊次指數(shù)形式，即 = + ，則??0x )(k)1(?kABeC， 。令 ，寫成離散形式(1)0ln)kA???3?0(0)dxtztt?有 ；()(0)dxzkAxC?2）若 近似滿足指數(shù)形式，即 + ，令??0 ???)(0kx)1(?kABeC， 。令 ，寫成離散形式(1)0ln)kxkA???3?(0)(0)tdztxt?有 。()(0)kdzAC?灰色微分方程為 (1)bkaxz??)()(0將 代入(1)，有?)(kz)(0CkxA?(0)(0)A?整理得， ACbkax??)()(00記 ， ，則有bAC???)(0kzx?? (2)??)(0(2)式的最小二乘估計參數(shù)序列為 ，其中，YBbaTT1)(,????， 。令 ，則 ，由?????????)(4)3(nzzY?????????1)(4)3(00nxB?(0)(0)21axeC?ACb??此可得①式的最小二乘估計參數(shù)序列為 。?(,)Tab?1） 白化微分方程 的時間響應(yīng)函數(shù)為tdt?))(0(0????00(1)atbxe?????????第 4 章 GM(1,1)模型建模方法的改進112） 灰色微分方程 的時間響應(yīng)式為bkaxz??)()(0， ????0 (1)akxke????????n?,1?定理 3 當原始序列為 = 嚴格滿足指數(shù)函數(shù)形式的時候，由)(0CBA)(新灰色微分方程 ，其中 , 和白化微分方程baz??)() kz)()0kx?（其中 ），組成的新GM(1,1)模型得到的模擬btaxdt?)()0(0 ,序列 的指數(shù)，系數(shù)，平移常數(shù)與 具有重合性。()? ??0x證明：設(shè)原始序列為 ，則 ，則存在常(0)(1)AkxBeC???(0)(zkAxC??數(shù) 和 ,使灰色微分方程 成立。因此Aa??Cb ba)0??0(0) (1) (1) (1)?ak AkAkbxkeeBe? ?????? ?????????????????即當原始序列 滿足指數(shù)函數(shù)形式的時候，新GM(1,1)模型得到的模擬序列??x的指數(shù)，系數(shù)，平移常數(shù)與 的指數(shù)，系數(shù)，平移常數(shù)具有重合性。(0)?xk(0)xk證畢！ 數(shù)據(jù)模擬與精度比較例 1 以標準指數(shù)列 取不同的發(fā)展系數(shù) 生成不同原始數(shù)據(jù)，akex???)1()0 a我們分別以文獻 [4]的模型 M文獻[7]的 M2 和本文的新 GM(1,1)模型 M3 進行數(shù)據(jù)擬合并比較其精度。我們分別取 ，,52.,10.,86.,1??ia, 可得 1，以表 1 的數(shù)據(jù)為原始數(shù)據(jù)，用本文新(0)()(0){1,6}iiixx?? 5k?的 GM(1,1)模型建模，并求出其平均絕對誤差和平均相對誤差。并與文獻[7]的結(jié)論進行比較，得出表 2