【文章內(nèi)容簡介】 4P 5P 6P 7P 1 月 500 1000 300 300 800 200 100 2 月 600 500 200 0 400 300 150 3 月 300 600 0 0 500 400 100 4 月 200 300 400 500 200 0 100 5 月 0 100 500 100 1000 300 0 6 月 500 500 100 300 1100 500 60 問題分析 本問題的難點(diǎn)是同時(shí)考慮七種產(chǎn)品的優(yōu)化產(chǎn)量 ,如果只有一種產(chǎn)品 ,運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以方便地得出它的最優(yōu)產(chǎn)量計(jì)劃 ,于是我們先將系統(tǒng)分 解成單種產(chǎn)品的子問題 ,再綜合工時(shí)、收益進(jìn)行局部調(diào)整以達(dá)產(chǎn)量整體最優(yōu) .但分解決策思想沒有充分把握整體關(guān)系 ,因此用動(dòng)態(tài)規(guī)劃處理才是最科學(xué)的 ,其實(shí)質(zhì)是逆序推算 .為判斷設(shè)備結(jié)構(gòu)是否合理 ,我們計(jì)算了按市場容量進(jìn)行生產(chǎn)所需的工時(shí) ,見表 5. 表 5 市場容量所需的工時(shí)數(shù)（小時(shí)） 工序 磨 垂直鉆孔 水平鉆孔 鏜孔 刨 1月 1280 520 430 161 48 2月 905 340 370 97 3月 850 390 120 91 30 4月 420 230 420 82 19 5月 430 230 400 110 55 6月 1170 600 296 基本假設(shè) 1）不考慮排隊(duì)等候加工問題 . 2）可同時(shí)維修的機(jī)器的種類和數(shù)目不受限制 . 3）在檢修期間外 ,機(jī)床均能連續(xù)地正常工作 . 4） “市場需求”數(shù)據(jù)來自科學(xué)的預(yù)測 ,穩(wěn)定可信 . 1至 6月的產(chǎn)量安排是一個(gè)多階段決策問題 ,設(shè)第 n 月盈利為 nS . 14 ? ?16,2,1(171 .. ），????? ? ?? ? nLmCS R R nRnRRn 其中 RC 為第 R 種產(chǎn)品的單件收益 , nRL. 為該產(chǎn)品在 n 月份的存貯量 ,需求 ??????? ??61m a x)m a x ( n nSs 化模型的提出 模型 I 本問題變量和約束條件多達(dá)幾十個(gè) ,我們采用分解決策法 .基本步驟是： (1) 單獨(dú)考慮產(chǎn)品 PR,根據(jù)各月的市場容量 ,綜合收益和存費(fèi) ,得出 l～ 6月最優(yōu)產(chǎn)量列 ,這一步動(dòng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃 . (2) 把 7個(gè)最優(yōu)產(chǎn)量列合并起來 ,逐月檢驗(yàn)各項(xiàng)工序的工時(shí) .遇到超時(shí)情況 ,衡量產(chǎn)品收益的大小和工時(shí)多少 ,一方面降低收 益小、耗時(shí)大的產(chǎn)品產(chǎn)量 ,一方面把減少的該月產(chǎn)量盡可能推延到下一個(gè)月去完成 .這一步是能否達(dá)到最優(yōu)的關(guān)鍵 . 在步驟 2中 ,把“減少的該月產(chǎn)量”變動(dòng)到哪些月份中去 ,又是一個(gè)動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題 .為了計(jì)算的簡便及存貯費(fèi)小的目的 ,我們把它盡量推延到下一月 ,未必就是最優(yōu) ,但這個(gè)較優(yōu)的結(jié)果與最優(yōu)的目標(biāo)很接近 ,而且實(shí)際的市場需求變動(dòng)頻繁．需要簡單的方法與之適應(yīng) ,所以這種方法是可取的 . 第 R 種產(chǎn)品在 n 月內(nèi)總盈利 nRnRRnR LmCS ... ??? 動(dòng)態(tài)規(guī)劃的逆推關(guān)系式為 ? ?1... m ax ??? nRnRnR fSf 其中 , nRf. 是第 R 種產(chǎn)品 n 月后的總盈利 (包括第 n 月 ). 邊界條件是 506. ?RL 運(yùn)用以上方法求出 1P 至 7P 七種產(chǎn)品各自的最優(yōu)產(chǎn)量 ,見表 6 表 6 七種產(chǎn)品各自的最優(yōu)產(chǎn)量 15 產(chǎn)品 1P 2P 3P 4P 5P 6P 7P 1 月 500 800 300 300 800 200 100 2 月 700 600 200 0 500 300 250 3 月 0 0 0 0 0 400 0 4 月 200 300 400 500 200 0 100 5 月 0 100 600 100 1100 300 100 6 月 550 550 0 350 0 550 0 分析表 6 1月的磨床、 2月的臥式鉆床工作超時(shí)．根據(jù)假設(shè) 3,最優(yōu)產(chǎn)量應(yīng)盡量接近全月工時(shí) ,即一月睹床 11522時(shí) ,二月臥式鉆床 384工時(shí) .以第一月為例． 2P需要 ,收益 6元 , 需磨 ,收益僅 3元 ,自然以減少產(chǎn)量為宜 .由此得出產(chǎn)量 ?m , ?m ,留到第二月的產(chǎn)量是 1122?P 件 , 1007?P 件 .得到上半年各產(chǎn)品的合理產(chǎn)量見表 7. 表 7 上半年生產(chǎn)計(jì)劃 產(chǎn)品 1P 2P 3P 4P 5P 6P 7P 1 月 500 800 300 300 800 200 0 2 月 700 600 200 0 500 300 140 3 月 0 0 0 0 0 400 0 4 月 200 300 400 500 200 0 100 5 月 0 100 600 100 1100 300 100 6 月 550 550 0 350 0 550 0 模型 Ⅱ 模型 I 實(shí)質(zhì)是一種從局部到整體逐步探索優(yōu)化的過程 ,模型 Ⅱ 提出了整體規(guī)劃方案 . 根據(jù)動(dòng)態(tài)優(yōu)化原理 , )2(m a xm a xm a xm a x 61621 ?????????? ?U nUUUSs 其中 nU 是第 n 月的最優(yōu)產(chǎn)量組合 . 若已知第 1?n 月庫容量 1.?nkL ,市場容量 1.?nkO ,可得第 n 月第 k 種產(chǎn)品最大庫存量 nkL. 為： 16 ???????????????????????????10010010001,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,nknknknknknknknknknknknknkOLmmOLmOLOLmL 根據(jù)式 (2),可得第 1?n 月后的盈利與第 n 月后盈利間的遞推關(guān)系： ? ?1m ax ??? nnn fSf 并且滿足約束條件： ? ?3,,,7217,5??????????????????????????????????????nknknk LOmnTnnTnTnmnnmnmA，刨垂直鉆孔磨?? 求解步驟： (1) 對(duì) 5 月由 式 (3)求最優(yōu) ,因?yàn)?6 月產(chǎn)量會(huì)約束 5 月的庫存量 ,所以這 — 步確定了 5 月產(chǎn)量的限制條件 . (2) 對(duì) 5 月進(jìn)行優(yōu)化處理 . (3) 再對(duì) 6 月整體優(yōu)化 ,以下工作以此類推 . 按以上步驟推算 ,我們發(fā)現(xiàn) 6 月的整體優(yōu)化恰是 步驟 (1)、 (2)作出的結(jié)果向前推算到 3 月 ,這 4 個(gè)月的局部最優(yōu)又共同達(dá)到了整體最優(yōu) .對(duì) l、 2 月產(chǎn)量 ,用 數(shù)學(xué) 軟件對(duì) 中 式 (3)進(jìn)行計(jì)算 ,該結(jié)果與其后 3 至 6 月的優(yōu)化產(chǎn)量能銜接起來 .于是 ,我們用逆序算法較輕松地得出了六個(gè)月的最優(yōu)安排 . 模型 II 的結(jié)果估于模型 I 相同 ,見表 7,總盈利 93648 元 . 分析表 至 6 月充分達(dá)到了市場需求 ,2 月和 1 月也是在工時(shí)約束下的最優(yōu)結(jié)果 ,因此得到的確是考慮每月生產(chǎn)成品的最優(yōu)產(chǎn)量安排 . 模型分析 生產(chǎn)計(jì)劃隨著下列因素變化：市場需求量、產(chǎn)品價(jià)格 ,設(shè)備結(jié)構(gòu)和停工維修機(jī)床的日程安排 . 市場需求和產(chǎn)品價(jià)格變動(dòng)必然帶來生產(chǎn)計(jì)劃的重新安排 ,求解模型就可得到不同形勢下的最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃 .3至 6月的生產(chǎn)計(jì)劃并不受價(jià)格波動(dòng)的影響 .在設(shè)備所能提供的工時(shí)范圍內(nèi) ,產(chǎn)量只隨市場需求變動(dòng) . 價(jià)格因素的作用：以一月的優(yōu)化為例 ,模型Ⅱ中用到的線性規(guī)劃 ,即求下列問題： 17 ??????????????????????????????????????? ??100^1,1,^1,1,m a xm a x1,1,721711,1RRkkROmTTmmmAmCS刨磨工時(shí) 價(jià)格波動(dòng)帶來單位收益 RC 的變化 ,直接影響一月份的生產(chǎn)計(jì)劃 .作定性分析得 ： 若產(chǎn)品 RP 的單件收益 RC 增大 ,則 nRm. 也變大 . 問題分析時(shí) ,我們列出了表 ,進(jìn) 一步算出按市場需求量生產(chǎn)所需機(jī)床臺(tái)數(shù)．列于表 8. 表 8 按市場容量生產(chǎn)所需機(jī)床數(shù) 機(jī)床 磨 豎鉆 平鉆 鏜 刨 1 月 4 2 2 1 1 2 月 3 1 1 1 1 3 月 3 2 1 1 1 4 月 2 1 2 1 1 5 月 2 1 2 1 1 6 月 4 2 1 1 1 分析表 8可知該廠設(shè)備結(jié)構(gòu)明顯不合理 .表現(xiàn)在 (1) 臥式鉆床只需 2臺(tái) ,可以減少一臺(tái) . (2) 鏜床、刨床利用率不高 (分別為 %和 %),但停工維修會(huì)導(dǎo) 致多種成品不能生產(chǎn) . 于是 ,我們對(duì)廠方有如下建議： (1) 賣出一臺(tái)臥式鉆床 . (2) 如果每月只生產(chǎn)成品 ,重新安排檢修時(shí)間 ,所有機(jī)床在四月集體大修 ,則其余五個(gè)月均能按市場容量生產(chǎn) ,這樣 ,總盈利達(dá)到 109030元 ,增加了 15382元 . (3) 提高鏜、刨床的利用率 ,方法是生產(chǎn)半成品 ,在不考慮半成品存貨限制情況下 ,重新作出停工檢修安排如表 9 18 表 9 重新安排后的維修日程 這樣 1月至 6月均按市場需求量生產(chǎn) ,此時(shí) ,總盈利為 116630元 . (4) 因?yàn)樵搹S的機(jī)床利用率都不超過 60％很有潛力可挖 ,廠家應(yīng)積極宣傳促銷 ,擴(kuò)大市場需求量 ,以此獲得更多的利益 . 模型評(píng)價(jià) (1) 模型 I簡化了問題的處理 ,是一種向最優(yōu)化逼近的簡便方法 ,但考慮的因素較多時(shí) ,不一定能實(shí)現(xiàn)最優(yōu)化 . (2) 模型 Ⅱ 為生產(chǎn)安排提供了科學(xué)思路 ,設(shè)計(jì)了逆序推算這一探索途徑 ,但未能給出一般性的通用算法 . (3) 對(duì)設(shè)備結(jié)構(gòu)和 維修安排進(jìn)行了改進(jìn) ,工廠的盈利和設(shè)備的利用率大大提高 . (4) 本模型沒有對(duì)工序進(jìn)行優(yōu)化安排 ,不適于解決工序復(fù)雜 ,加工時(shí)間長的問題 . 變分法 最早的泛函 最簡單的一類泛函表示為 ? ?? ? ? ? ? ?1, 39。21 dtxxtFtxJ tt?? 被積函數(shù) F 包含自變量 t ,未知函數(shù) x 及導(dǎo)數(shù) 39。x . 泛函的極值 [3] 設(shè) ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?txtxtxtxtxtxdttt 39。,m a x, 39。00 21 ??? ??,如果對(duì)于任意??tx ,當(dāng) 0?d 時(shí) ,都有 ? ?? ? ? ?? ?txJtxJ 0? ,則稱泛函 ??? ?txJ 在 ??tx0 取得極小值 .類似可以定義極大值 .極小值和極大值統(tǒng)稱為極值 . 泛函的變分 函數(shù) ??tx 在 ??tx0 的增量記作 ? ? ? ? ? ?txtxtx 0??? 稱其為函數(shù)的變分 ,由它引起的泛函增量記作 ? ? ? ?? ? ? ?? ?txJttxJJ x 00 ???? ?,如果 J? 可表示為? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?ttxgttxLJ xx ?? , 00 ??? ,其中 L 是 ??tx? 的線性項(xiàng) , g 是 ??tx? 的高階項(xiàng) ,稱 L 為泛函在 ??tx0 的變分 ,記作 ??? ?txJ 0? .同樣可以定義泛函在 ??tx 的變分??? ?txJ? . 若泛函 ??? ?txJ 在 ??tx0 變分存在并且取到極值 ,則變分 ? ?? ? ? ?200 ?txJ? 泛函極值的必要條件 —— 歐拉方程 [3] 討論泛函在固定端點(diǎn)條件下取得極值月份 機(jī) 床 月份 機(jī) 床 1 月 臥鉆一臺(tái) 4 月 立鉆一臺(tái) 2 月 臥鉆、磨各一臺(tái) 5 月 磨、立鉆各一臺(tái) 3 月 鏜床一臺(tái) 6 月 刨、臥鉆各一臺(tái) 19 的必要條件 .泛函和端點(diǎn)條件表示為 ? ?? ? ? ? ? ?? ? )3(, 39。21 dttxtxtFtxJ tt?? ? ? ? ? ? ?4, 2211 xtxxtx ?? 其中 F 具有二階連接偏導(dǎo)數(shù) . 設(shè) (3)在 ??tx 取得極值 , ??tx 滿足 (4),則 ? ?5039。 ??Xx FdtdF (5)被稱為歐拉方程 [7]. 如果容許函數(shù) ??tx