【文章內(nèi)容簡介】 為“在險價值”，它是近年來國外興起的一種金融風險管理工具，旨在估計給定金融產(chǎn)品或組合在未來資產(chǎn)價格的波動下可能或潛在的損失。Jorion(1996)給出了權(quán)威定義：“VAR是指在一定的概率水平下(置信度)，某一金融資產(chǎn)或證券組合在未來特定的一段時間內(nèi)的最大可能損失”。用數(shù)學(xué)公式可表示為： () 其中，為證券組合在持有期內(nèi)的損失，VAR為置信水平下處于風險中的價值。式中VAR及損失均取正數(shù)形式。 例如，持有期為1天，%的某一證券組合的VAR是10萬元，根據(jù)VAR的定義，其含義是：%的可能性保證，該證券組合在未來的24小時內(nèi)組合價值的最大損失不會超過10萬元。 (1) 一般分布下的VAR計算 考慮一個證券組合，假定為該投資組合的初始價值，是持有期內(nèi)的收益率，則該組合的期末價值為。如果收益率的期望值為，波動性為，且在給定置信水平下投資組合的最低價值為，則根據(jù)VAR的定義：在一定置信水平下，證券組合在未來特定的一段時間內(nèi)的最大可能損失，那么VAR可表示為： ()從以上定義可以看出，計算VAR即相當于計算組合最小價值或最低收益率?？紤]證券組合未來收益率所服從的隨機過程，假定其未來收益率的概率密度函數(shù)為，則對于某一置信水平 下投資組合的最低值，有： ()或： ()無論分布是離散的還是連續(xù)的，厚尾還是瘦尾，這種表達方式對于任何分布都是有效的。(2) 正態(tài)分布下的VAR計算 如果投資組合的收益率分布為正態(tài)分布，記標準正態(tài)分布的密度函數(shù)為。由于一般為負值，故可記為，由此有： ()其中為標準正態(tài)分布分位數(shù)，用公式表示： ()在標準正態(tài)分布下，置信水平與分位數(shù)一一對應(yīng)。當給定一個置信水平如95 %，則對應(yīng)。于是就可以計算出相應(yīng)的最小回報和VAR。根據(jù)()，最小回報可表示為： ()如果以上計算中的參數(shù)和都是基于一天的時間間隔上計算出來的，而要計算持有期的長度為的VAR，那么，根據(jù)規(guī)則，假設(shè)連續(xù)時間區(qū)間的收益率不相關(guān)，則，從而我們可以得到時間間隔為的VAR為： ()這種方法可以推廣到其它累積概率函數(shù)，其中所有的不確定性都體現(xiàn)在上，其他分布會得到不同的值。 VAR的三個要素從VAR方法的定義及一般計算方法中，可以看出VAR方法有三個要素。(1) 持有期間它是對給定持有期限的回報的波動性和關(guān)聯(lián)性考察的整體時間長度，是計算VAR的時間范圍。由于波動性與時間長度成正相關(guān)，所以VAR隨持有期的增加而增加。通常的持有期是一天或一個月，在1997年底生效的巴賽爾委員會的資本充足性條款中，持有期為兩個星期(10天)。為克服市場經(jīng)濟周期性變化的影響，持有期間的歷史數(shù)據(jù)越長越好，但是，時間越長，市場結(jié)構(gòu)性變化的可能性越大，歷史數(shù)據(jù)因而越難以反映現(xiàn)實和未來的情況。選擇較短的持有期還有如下好處：① 得到大量樣本數(shù)據(jù)的可能性越大；② 更容易滿足在VAR計算中組合保持不變的假設(shè)；③ 實際回報越接近于正態(tài)分布，由于正態(tài)分布在統(tǒng)計上有諸多優(yōu)良特性，使得正態(tài)分布下VAR的計算有很多便利。(2) 置信度 置信度的選擇體現(xiàn)了金融機構(gòu)對極端事件風險的厭惡程度。選擇越大的置信度計算出來的VAR值越大，表明風險厭惡程度越高，則需要準備更加充足的風險資本來補償額外損失。同時金融監(jiān)管當局為保持金融系統(tǒng)的穩(wěn)定性，會要求金融機構(gòu)設(shè)置較高的置信水平。如巴賽爾委員會1997年底生效的資本充足性條款中要求的置信度為99%。(3) 收益率分布特征這是VAR方法中最重要的因素，是指投資組合在既定的持有期限內(nèi)的回報的概率分布，即概率密度函數(shù)。由于正態(tài)分布在統(tǒng)計上有諸多優(yōu)良特性，實際中對市場因子的分布多采用對數(shù)正態(tài)分布的形式，如著名的Risk Metrics模型就采用這種分布。然而金融市場的大量實證結(jié)果表明，對數(shù)正態(tài)模型并不完全與歷史回報數(shù)據(jù)性質(zhì)相一致，實際的對數(shù)回報具有明顯的厚尾性。因此，必須用其它具有厚尾性質(zhì)的分布來刻畫。常用的厚尾分布有：t分布、廣義誤差分布(GED)等。 VAR的計算方法 投資組合的VAR度量(1) 基本定義投資組合就是對一定數(shù)量的風險因素持有量的組合。當把它進行分解后，投資組合的收益就是各種基礎(chǔ)資產(chǎn)收益的線形組合，每種資產(chǎn)的權(quán)重由最初對該種資產(chǎn)的投資比例決定。于是投資組合的VAR可以由其包含的各種有價證券的風險組合得出：從時間t到t+1期間投資組合的收益為菲利普喬瑞（Philippe Jorion），風險價值VAR，北京：第二版北京中信出版社，2005，135： ()其中，表示資產(chǎn)數(shù)量，表示資產(chǎn)的收益率，為權(quán)重，且其和為1。 為了簡化表達式，投資組合收益率可用矩陣符號的形式表示，用一個向量代替一連串的數(shù)學(xué)： ()其中：代表權(quán)重系數(shù)向量的轉(zhuǎn)置，代表單個資產(chǎn)收益縱向量。可得出投資組合的預(yù)期收益率為： ()方差為： ()這個表達式不僅描述了單個證券的風險，也描述了所有的協(xié)方差，這些協(xié)方差加起來總共有 個不同的項。隨著資產(chǎn)數(shù)量的增加，把所有的協(xié)方差項都寫下來變得非常困難，如果用矩陣的形式就很容易了。方差可表示為： ()令表示協(xié)方差矩陣，投資組合收益率的方差可簡化為： ()到現(xiàn)在為止，我們還沒有討論投資組合收益率的分布問題，最后把投資組合的方差轉(zhuǎn)化為VAR的衡量值。在德爾塔正態(tài)模型中，所有單個證券的收益率都被假設(shè)為正態(tài)分布，所以投資組合的收益率也為正態(tài)分布的，將置信水平轉(zhuǎn)化為正態(tài)標準差分位數(shù)，這樣觀測一個損失大于的概率就是。令為初始投資組合的價值，則投資組合的VAR為：投資組合的 ()從而得出要降低投資組合的風險可以通過兩種途徑：① 用相關(guān)性低的資產(chǎn)進行組合；② 增加資產(chǎn)種類的數(shù)量。如果把投資組合方差用VAR表示出來，需要了解投資組合的收益分布。在“△正態(tài)”模型中假定個資產(chǎn)的收益是正態(tài)分布的。由于投資組合是隨機變量線性組合的結(jié)果，那么假定投資組合收益也是正態(tài)分布的就是很自然的。在給定可信度的情況下，投資組合的。(2) 增量的VAR計算VAR十分重要的問題，就是了解哪種投資組合帶來的風險最大。掌握了這個方法，就能通過調(diào)整個資產(chǎn)的份額進行有效的修正VAR值。要實現(xiàn)這個目標，僅有單個資產(chǎn)是不夠的，就單個資產(chǎn)而言，波動率衡量該種資產(chǎn)收益的不確定性，當該資產(chǎn)成為組合中的一部分時，他將對投資組合的風險產(chǎn)生影響。假定一個投資組合是由個有價證券組成的，分別標為。向該組合中增加一種證券，得到一個新組合，增加一種資產(chǎn)引起的邊際風險。可以通過方差方程對求微分得到。 VAR的三種計算方法目前，推算組合風險因子收益分布的方法主要有三種，分別為歷史模擬法(Historical Simulation Method)、蒙特卡羅模擬法(Monte Carlo Simulation)和方差協(xié)方差法(VarianceCovariance Approach)，從而決定了三種不同類型的VAR計算方法。木文主要采用方差協(xié)方差法計算。(1) 歷史模擬法菲利普喬瑞（Philippe Jorion），風險價值VAR，北京：第二版北京中信出版社，2005，201206 歷史模擬法假定回報分布為獨立同分布，市場因子的未來波動與歷史波動完全一樣。其核心在于根據(jù)市場因子的歷史樣本變化模擬證券組合的未來損益分布，利用分位數(shù)給出一定置信水平下的VAR估計。具體來講，它是根據(jù)每種資產(chǎn)的歷史損益數(shù)據(jù)計算當前組合的“歷史”損益數(shù)據(jù)，將這種數(shù)據(jù)從小到大排列，按照置信度的水平找到相應(yīng)的分位點，從而計算出VAR值。該方法的主要優(yōu)點在于：簡單直觀，易于解釋；它是一種非參數(shù)方法，不需要假定回報的統(tǒng)計分布，因而可以較好的處理非正態(tài)分布；該方法是一種全值模擬，可有效地處理非線性組合(如包括期權(quán)的組合)。缺點在于假定回報的未來變化與歷史變化完全一致，服從獨立同分布，概率密度函數(shù)不隨時間而變化(或明顯變化)，這與實際金融市場的變化不一致，而且不能提供比樣本點中最大損失還要壞的預(yù)期損失，使用者所選取的樣本大小對預(yù)測結(jié)果會造成很大的影響。(2) 蒙特卡羅模擬法 蒙特卡羅模擬法與歷史模擬法類似，區(qū)別在于蒙特卡羅模擬法不是直接利用每種資產(chǎn)的歷史數(shù)據(jù)來估計風險值，而是得到它的可能分布，并估計分布的參數(shù)。然后利用相應(yīng)的“隨機數(shù)發(fā)生器”產(chǎn)生大量的符合歷史分布的可能數(shù)據(jù)，從而構(gòu)造出組合的可能損益。在這樣得到大量的可能損益后，按照給定的置信水平得到風險值的估計。該法的優(yōu)點在于：能產(chǎn)生的大量情景，比歷史模擬方法更精確和可靠，是一種全值估計方法，可以處理非線性、大幅波動及厚尾問題；可模擬回報的不同行為(如白噪聲、自回歸和雙線性等)和不同分布。其主要缺點在于：生成的數(shù)據(jù)序列是偽隨機數(shù)，可能導(dǎo)致錯誤結(jié)；隨機數(shù)中存在群聚效應(yīng)而浪費了大量的觀測值，降低了模擬效率；依賴于特定的隨機過程和所選擇的歷史數(shù)據(jù)；計算量大、計算時間長，比分析方法和歷史模擬方法更復(fù)雜。(3) 方差協(xié)方差法方差協(xié)方差法是VAR計算中最為常用的方法。它假定風險因子收益的變化服從特定的分布(通常是正態(tài)分布)，然后通過歷史數(shù)據(jù)分析和估計該風險因子收益分布的參數(shù)值，如方差、相關(guān)系數(shù)等。6 基于VAR約束的投資組合模型 Markowitz投資組合模型在前兩章中，我們分別討論了如何度量證券或證券組合的VAR，以及證券組合的意義。從那里我們知道，進行多樣化投資可以分散風險。然而，在一個證券組合中，如果各證券的權(quán)重一旦發(fā)生變化，證券組合的收益和風險也會隨之發(fā)生變化。那么，如何確定證券組合中各證券的權(quán)重，使得證券組合能在滿足一定預(yù)期收益率的條件而使風險達到最小，或者使得證券組合在所能承受的風險條件下而使預(yù)期收益率最高？為此，Harry. M. Markowitz 在 1952 年建立了如下的證券組合優(yōu)化模型：(1) 模型假設(shè)① 投資者都規(guī)避風險(risk adverse)。規(guī)避風險是指在面對兩項預(yù)