【文章內(nèi)容簡介】 ARCH(1,1)模型為： ， （=1，2，……，T） tttuxy??? 212121)var( ????ttttt uuh?????其中： , ~, E( )=0，Var （ ）=1。 是 維外生變量向量，ttth??ttetetx)(?k是 維系數(shù)向量 。給出的均值方程是一個(gè)帶有誤差項(xiàng)的外生變量的函數(shù)。由于?1)(k是以前面信息為基礎(chǔ)的一期向前預(yù)測方差，所以被成作條件方差，它被稱作條件異方2t?差方程。方差方程的件方差有 3 個(gè)組成部分：（1）常數(shù)項(xiàng)： ；（2）用均值方程的殘?差平方的滯后來度量從前期得到的波動(dòng)性的信息： （ARCH 項(xiàng)） ；（3）上一期的預(yù)測21?tu方差： （GARCH 項(xiàng)） 。 其中的約束條件為： 和 均為非負(fù)，且?????。21?t??? 本文涉及的其他理論 白噪聲序列及其性質(zhì)為了確定平穩(wěn)序列還值不值得繼續(xù)分析下去，我們需要對(duì)平穩(wěn)序列進(jìn)行純隨機(jī)性檢驗(yàn)。純隨機(jī)序列的定義：如果時(shí)間序列 滿足如下性質(zhì)：（1）任取 有 ；??tX,Tt???tEX（2）任取 有 稱為序列 為純隨機(jī)序列，也稱為白噪聲（white ,Tst??????stst,0),(2??tnoise）序列，簡記為 。2?WN白噪聲的性質(zhì)：（1）純隨機(jī)性。由于白噪聲序列具有如下性質(zhì)： ，這說明白噪聲序0,)(???k?列的各項(xiàng)之間沒有任何相關(guān)關(guān)系，這種“沒有記憶”的序列就是我們說的純隨機(jī)序列。純隨機(jī)性還是我們判斷相關(guān)信息是否提取充分的一個(gè)判斷標(biāo)準(zhǔn)。（2）方差齊性。所謂方差齊性，就是指序列中每個(gè)變量的方差都相等，如果序列不滿足方差齊性，我們就稱該序列具有異方差性質(zhì)，那就說明2)0(???tDX殘差序列還不是白噪聲序列，即擬合模型沒有充分提取隨機(jī)序列中的相關(guān)信息，這時(shí)擬 石河子大學(xué)商學(xué)院畢業(yè)論文 5合模型的精度是值得懷疑的。在這種場合下，我們通常需要使用適當(dāng)?shù)臈l件異方差模型來擬合該序列的發(fā)展 [8]。 ARCH LM檢驗(yàn)Engle在1983年提出檢驗(yàn)殘差序列中是否存在ARCH效應(yīng)的拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)（Lagrange multiplier test） ，即ARCH LM檢驗(yàn)。自回歸條件異方差性的這個(gè)特殊的設(shè)定，是由于人們發(fā)現(xiàn)在許多金融時(shí)間序列中，殘差的大小與最近的殘差值有關(guān)。ARCH本身不能使標(biāo)準(zhǔn)的OLS估計(jì)無效，但是，忽略了ARCH影響可能導(dǎo)致有效性降低。ARCH LM檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由一個(gè)輔助檢驗(yàn)回歸計(jì)算。為檢驗(yàn)原假設(shè)：殘差序列中直到p階都不存在ARCH效應(yīng)，需要進(jìn)行如下回歸 ，式中的 是殘差。此回歸式表示殘tstpst uu????????)(2102 ?tu差平方 對(duì)一個(gè)常數(shù)和直到p階的殘差平方的滯后。 （s=1，2，…，p）所作的一個(gè)?2tu ?st回歸。這個(gè)檢驗(yàn)回歸有兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量：1）F統(tǒng)計(jì)量是對(duì)所有殘差平方的滯后的聯(lián)合顯著性所作的一個(gè)省略變量檢驗(yàn)；2）TR 2統(tǒng)計(jì)量的準(zhǔn)確的有限樣本分布未知，但是LM檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在一般情況下是漸進(jìn)服從 分布的 [9]。)(p?3 數(shù)據(jù)的選取及描述本文選取上海證券交易所上證綜指（）和深圳證券交易所深證成指（399001）這兩個(gè)大盤的日收盤價(jià)格指數(shù) 2022 年 1 月 4 日——2022 年 1 月 23 日的 2186個(gè)數(shù)據(jù) 1。數(shù)據(jù)來源于銳思數(shù)據(jù)庫（）。在分析時(shí)，我們把上證綜指的收盤價(jià)指數(shù)用{SH }表示，深證成指的收盤價(jià)指數(shù)用{SZ}表示。為了減少舍入誤差，在估計(jì)時(shí)，對(duì){SH}和{SZ}進(jìn)行自然對(duì)數(shù)處理為{LSH }和{LSZ }，即將序列{LSH}和{LSZ}作為因變量進(jìn)行估計(jì)。4 實(shí)證分析首先，為了解我國股票市場在上海證券交易所和深圳證券交易所的波動(dòng)，選擇股票大盤收盤價(jià)格指數(shù)——上證綜指和深證成指從 2022 年 1 月 4 日到 2022 年 1 月 23 日的日收盤價(jià)格數(shù)據(jù)進(jìn)行以下實(shí)證分析。 建立初步模型由于對(duì)股票收盤價(jià)格序列做單位根檢驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)序列是不平穩(wěn)的，而且常常用一種特殊的單位根過程——隨機(jī)游走（random walk ）模型描述 2。所以我們估計(jì)的基本形式為 (41)ttty??????1lnl注 1 由于樣本量較大，無法將全部數(shù)據(jù)附在附錄中，具體數(shù)據(jù)見銳思數(shù)據(jù)庫 。注 2 非平隱隨機(jī)過程通常是具有確定性時(shí)間趨勢或者是一個(gè)單位根過程，參見 Hamliton(1994)《時(shí)間序列分析》 ，金融資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)通常設(shè)定為后者，因 Yt1 的系數(shù)為 1 而得名。 石河子大學(xué)商學(xué)院畢業(yè)論文 6作為均值方程 [10]。其中 是日股票收盤價(jià)格， 是對(duì)日收盤價(jià)格數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)后的序列, tytyln是隨機(jī)誤差項(xiàng)。， 由SH和SZ分別代替。t? t對(duì)于該時(shí)間序列數(shù)據(jù)，為了減少舍入誤差，行自然對(duì)數(shù)處理，經(jīng)對(duì)數(shù)處理后的上證綜指和深證成指的日收盤價(jià)格序列為{LSH}和{LSZ}。首先利用簡單回歸估計(jì)均值方程式(41) 結(jié)果如下：表 41 上證綜指的結(jié)果Variable Coefficient Std. Error tStatistic Prob.LSH(1) Rsquared Mean dependent var Adjusted Rsquared . dependent var . of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood DurbinWatson stat (42)ttt SHSH?????.= 105t=（）R2= 對(duì)數(shù)似然值= AIC= SC=表 42 深證成指的結(jié)果Variable Coefficient Std. Error tStatistic Prob.LSZ(1) Rsquared Mean dependent var Adjusted Rsquared . dependent var . of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood DurbinWatson stat (43)ttt SZSZ?????.= 105t=()R2= 對(duì)數(shù)似然值= AIC= SC=由表 41 和表 42 分析得該方程的統(tǒng)計(jì)量很顯著，擬合程度也很好 ,所以進(jìn)一步證實(shí)了股票收盤價(jià)格序列是符合這種隨機(jī)游走模型的。 ADF 檢驗(yàn)其原假設(shè)為：序列存在一個(gè)單位根，即不平穩(wěn)；備擇假設(shè)為：不存在單位根序列，即平穩(wěn)。Mackinnon 通過模擬可以得出不同回歸模型及不同樣本容量下檢驗(yàn)的參數(shù)（?）估計(jì)在設(shè)定顯著性水平下的 t 統(tǒng)計(jì)量的臨界值 [11]?，F(xiàn)對(duì){LSH}和{LSZ}分別回歸后的殘差序列{r_lsh}和{r_lsz}的平穩(wěn)性進(jìn)行單位根檢驗(yàn),結(jié) 石河子大學(xué)商學(xué)院畢業(yè)論文 7果如表43和表44所示：表 43 上證綜指的殘差單位根檢驗(yàn)tStatistic Prob.*Augmented DickeyFuller test statistic Test critical values: 1% level 5% level 10% level 表 44 深證成指的殘差單位根檢驗(yàn)tStatistic Prob.*Augmented DickeyFuller test statistic Test critical values: 1% level 5% level 10% level 以上結(jié)果表明,p=,從而拒絕原假設(shè)(序列存在一個(gè)單位根),即殘差序列{r_lsz}和 {r_lsh}不存在單位根 ,是平穩(wěn)序列。 殘差統(tǒng)計(jì)圖各殘差的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)及特征,都呈現(xiàn)出明顯的尖峰厚尾特征，如以下兩圖所示：. : R_LSHampl1286Obrvtions 15Men .2e0dia365xmu .987i St. Dev. .圖 41 上證綜指的殘差統(tǒng)計(jì)圖0480126024028306. Seris: R_LSZampl1286Obrvtions 15Mean .93e0di 21xmu .5in0978Std. Dev. .14kws65Kurtoi .80JarqeBra 圖 42 深證成指的殘差統(tǒng)計(jì)圖 殘差線圖觀察上證綜指和深證成指的殘差的線圖（如下兩圖所示）：波動(dòng)在一些時(shí)間內(nèi)非常小，在其他一些時(shí)間內(nèi)非常大，這說明該殘差項(xiàng)可能具有條件異方差性。 石河子大學(xué)商學(xué)院畢業(yè)論文 8 501015020R_LSH圖 43 501015020R_LSZ圖 44 深證成指的殘差序列圖 ARCH LM 檢驗(yàn)結(jié)果我們對(duì)均值方程的殘差進(jìn)行條件異方差的ARCH LM檢驗(yàn)，得到了在滯后階數(shù)p=12的ARCH LM檢驗(yàn)結(jié)果：表 45 上證綜指和深證成指 ARCH LM 檢驗(yàn)結(jié)果ARCH Test:F