【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 異方差。 （三）、 ARCH 模型假定的正負(fù) ―擾動(dòng) ‖對(duì)波動(dòng)率有相同的影響，然而實(shí)際中價(jià)格對(duì)正負(fù) ―擾動(dòng) ‖的反應(yīng)是不同 的， ARCH 模型給出的波動(dòng)率比實(shí)際值要偏高。 tu 的方差經(jīng)常依賴于滯后多期的變化量，要想準(zhǔn)確的估計(jì)方程就必須估計(jì)很多的參數(shù)則比較困難，因此，在 ARCH 模型的基礎(chǔ)上提出了廣義自回歸條件異方差模型（ GARCH 模型） 。 GARCH 模型 GARCH 模型定義 11 Engle 首先提出了 ARCH 模型對(duì)方差進(jìn)行建模， Bollerslev 將 ARCH 模型推廣，發(fā)展成廣義的 ARCH 模型，即 GARCH 模型，其目的也是描述金融數(shù)據(jù)中存在的異方差現(xiàn)象。 GARCH 類模型特別適合 于對(duì)金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)的波動(dòng)性進(jìn)行分析。自此以后，幾乎所有的 ARCH 模型新成果都是在 GARCH 模型基礎(chǔ)上得到的，在經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究領(lǐng)域取得了突破。 GARCH 模型一般有兩個(gè)方程組成，一個(gè)是條件均值方程，另一個(gè)是條件方差方程即標(biāo)準(zhǔn)的回歸方程。由于 GARCH 模型是用來(lái)估計(jì)波動(dòng)性的，它更關(guān)注條件方差方程，所以將條件均值方程的形式取得很簡(jiǎn)單。各種 GARCH 模型的區(qū)別在于條件方差方程采取的形式不同或者 tu 的分布假設(shè)不同。 GARCH 模型的定義如下： ttt uy ??? （ ） 滿足條件 ? ???????????????? ??2112021,0..~itpiiqiititttttudiieeu?????? （ ） 其中： ? ? ? ?piqiqp ii ,10,10,0,0 ?? ?????? ?? 。滿足上述條件的模型稱為GARCH(p,q)模型，而稱｛ tu ｝服從 GARCH(p,q)過(guò)程。 當(dāng) p＝ 0 時(shí)， GARCH(p,q)過(guò)程就為 ARCH(q)過(guò)程，當(dāng) p＝ q＝ 0 時(shí)，｛ tu ｝為白噪聲過(guò)程。 GARCH(p,q)過(guò)程是平穩(wěn)過(guò)程的充分必要條件是： ? ? ? ? 111 ???? （ ） 其中 ?? ???qi i11 ??， ?? ???pi i11 ??，而且有 ? ? 0?tuE ， ? ? ? ? ? ?? ? 10 111 ???? ???tuD ，? ? ? ?stCo v tt ?? 0,?? 。 下面簡(jiǎn)單介紹一下兩個(gè)特殊的 GARCH 過(guò)程。 一、 GARCH 過(guò)程 GARCH(1,1)是最簡(jiǎn)單的 GARCH 過(guò)程，他的條件方差函數(shù)為 2 12 102 ?? ??? ttt u ????? （ ） 其中， 00?? ， 0?? ， 0?? 。 12 GARCH(1,1)是平穩(wěn)過(guò)程的充分必要條件是 1???? 。它的遞歸形式等價(jià)于一個(gè)? ??ARCH 模型， ? ? ? ????????????????2 322 22 1102 12 1021 ttttttuuuu?????????? （ ） 與 GARCH(1,1)模型條件方差相當(dāng)對(duì)應(yīng)的無(wú)條件方差是： ? ? ? ?11 02 ????? ?????? （ ） 如果取 22 tttv ?? ?? 有方程 ? ? 12 102 ?? ????? tttt vv ?????? ，說(shuō)明｛ tu ｝服從 ARMA（ 1,1）。 對(duì)于 GARCH(1,1)過(guò)程存在 2m 階距的充分必要條件為： ? ? 1, 11011 ?????????? ??? mjjjmj ajmm ????? （ ） 其中， m 為正整數(shù)， 10?? ， ? ? mjia jij ,2,1,121 ???? ??，且｛ tu ｝的 2m 階距滿足遞推式： ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 1110 110212 ,1, ?? ?? ??????? ???????? ?? ? mnnm mauEaauE mn nmntnmmt ?????? （ ） 二、 GARCH(1,1)－ t 過(guò)程 GARCH(1,1)－ t 過(guò)程為 ????????????212102~ttttttutuuy??????分布 ，其中 ? 表示收益的均值， 2t? 表示 tu 的條件方差， 0?? ，0?? 。 GARCH(1,1)－ t 過(guò)程能更好的刻畫(huà)金融時(shí)間序列的波動(dòng)性和分布的高峰厚尾后現(xiàn)象。 GARCH 模型的估計(jì) 與 ARCH 模型一樣， GARCH 模型一般也采用極大似然估計(jì)對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。 ttt uxy ??? ? （ ） ttt vhu ? （ ） ? ?1,0~110 Nvuhh titpi iitqi it ???? ?? ??? ??? （ ） 13 令 ? ???? ??? , ， ? ?qp ?????? ,, 110 ??? ，可將 GARCH 模型的對(duì)數(shù)極大似然函數(shù)表示為： ? ? ? ? ? ? ? ? 11 211 21ln212ln2 ???? ??? ????? tTt tTt tTt t huhTlL ??? ， （ ） 求估計(jì)值的法與 ARCH 模型相似，求出關(guān)于 ???L 取最大值時(shí)的 ? 值，則可以求出 ?和 ? 的值，其中 ? 為回歸方程的估計(jì)系數(shù)， ? 為 GARCH 方程的系數(shù)估計(jì)值。 GARCH 模型的檢驗(yàn) 前文介紹了 ARCH 模型的檢驗(yàn)，當(dāng)原假設(shè) 0H 是 ARCH(0)時(shí)，備擇假設(shè) 1H 有兩個(gè)：一個(gè)是 ARCH(r)，另一個(gè)是 GARCH(r， 0)。若原假設(shè) 0H 是 ARCH(1)，則備擇假設(shè) 1H 可以 ARCH(1＋ r)是也可以是 GARCH(r， 1)。 同理原假設(shè) 0H 是 ARCH(q)時(shí)，備擇假設(shè) 1H 有兩個(gè)：一個(gè)是 ARCH(q＋ r)，另一個(gè)是 GARCH(r， q)，在實(shí)際的應(yīng)用中，對(duì)于 q 值很 大的 ARCH 模型一般使用 GARCH 模型。檢驗(yàn) GARCH 模型是否成立，當(dāng)然也可以使用 F、 LR、 LM、 W 統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)量。 GARCH（ 1， 1）模型雖然簡(jiǎn)單，但是比移動(dòng)平均模型具有更多的優(yōu)點(diǎn)，如何檢驗(yàn)GARCH（ 1， 1）模型的有效性則是一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題，這就需要對(duì) GARCH 模型進(jìn)行有效性的診斷。一般采用 Q 統(tǒng)計(jì)量來(lái)對(duì)模型進(jìn)行自相關(guān)檢驗(yàn)，如果擬合模型有效，則統(tǒng)計(jì)量? ???? pn nTQ 1 2? 應(yīng)該足夠得小。 其中 Q 統(tǒng)計(jì)量近似服從 2? 分布， T 為建模樣本數(shù)量， ??n? 為平方收益的 n 階自相關(guān)系數(shù)：? ???????? TttTntntttrrn141222 ?? ，進(jìn)行診斷時(shí)，首先應(yīng)該將序列標(biāo)準(zhǔn)化（收益除以 GARCH 模型估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差得到標(biāo)準(zhǔn)化的收益），然后檢驗(yàn)序列的自相關(guān)性，如果序列的自相關(guān)性消除了，則可以說(shuō)明模型是有效的。在建立模型之前的數(shù)據(jù)選擇階段，應(yīng)該注意：數(shù)據(jù)選擇的時(shí)期不能夠太長(zhǎng)，因?yàn)閿?shù)據(jù)越長(zhǎng)，含有非正常的數(shù)據(jù)的可能性越大，而這些非正常數(shù)據(jù)將會(huì)影響長(zhǎng)期波動(dòng)的預(yù)測(cè)。 其它模型介紹 EGARCH 模型 EGARCH 模型是 Nelson 在 1991 年提出的，他改變了 GARCH 模型對(duì)非負(fù)參數(shù)的強(qiáng)約束性，因此， Nelson 在 EGARCH 模型中放松了對(duì)這些非參數(shù)的約束，其中 th 被表示成指數(shù)形式 ,對(duì)模型中的參數(shù)沒(méi)有任何約束 ,這是 EGARCH 模型的一大優(yōu)點(diǎn)，以其對(duì)數(shù)表示的條件方差為： 14 ? ? ? ? ? ?jtqi ijtpj jt vhh ???? ?? ??? 110 lnln ??? （ ） ? ?ttttttt huEhuvvg ??? ? （ ） 模型的杠桿效 應(yīng)是指數(shù)型的，因?yàn)槟Ｐ偷臈l件方差是自然對(duì)數(shù)形式。若 0?? ,說(shuō)明信息的作用是非對(duì)稱 。若 0?? 時(shí) ,則說(shuō)明杠桿效應(yīng)是顯著的，所以說(shuō) EGARCH模型可以很好的刻畫(huà)金融市場(chǎng)中的非對(duì)稱性。 TGARCH模型 TGARCH模型又叫門(mén)限 ARCH模型，他的條件方差有如下形式： 2 1112 1102 ??? ???? tttt du ?????? （ ） 其中是 td 一個(gè)名義變量，??? ??? 0,1 0,0ttt uud ，這里， 0?tu 表示利好消息， 0?tu 表示利空消息，它們對(duì)條件方差的影響是不一樣的 。利好時(shí) 012 1 ??? tt du? ,其影響可用系數(shù) 1? 代表 ,利空時(shí)為 ???1 。若 0?? ，則說(shuō)明信息作用是對(duì)稱的； 若 0?? ,則說(shuō)明信息作用是非對(duì)稱的；而當(dāng) 0?? 時(shí) ,則認(rèn)為存在著杠桿效。 因子 GARCH（ Factor GARCH）模型 因子模型通過(guò)一個(gè)單一的 GARCH波動(dòng)性，由市場(chǎng)因子的波動(dòng)性的估計(jì)和預(yù)測(cè)來(lái)估計(jì)和預(yù)測(cè)個(gè)體資產(chǎn)的波動(dòng)性。在資產(chǎn)定價(jià)模型中，某一資產(chǎn)的收益率與市場(chǎng)收益率之間的關(guān)系可以表示為： titiiti uMr , ??? ?? （ ） 其中， tir, 代表某一個(gè)單一資產(chǎn)或一個(gè)資產(chǎn)組合的收益率； tM 代表市場(chǎng)在 t 期的收益率； i? 為資產(chǎn)的系數(shù)。假設(shè) ti,? 為資產(chǎn) i 在 t 期的標(biāo)準(zhǔn)差， tij,? 為在 t期資產(chǎn) i和資產(chǎn) j之間的協(xié)方差，可以得到下列方程組： tutMiti i ,2 ,22, ???? ?? （ ） tjtutMjitij ui ,2 ,2 , ????? ?? （ ） 這樣，通過(guò)對(duì)上面兩個(gè)線性回歸方程求解，可以得到因子靈敏度參數(shù)以及誤差方差和協(xié)方差的估計(jì)。 GARCH－ M模型 15 GARCHM 模型是 ()式右邊增加一項(xiàng) th ，表達(dá)式為： tttt uhxy ???? ?? （ ） ttt hu ??? （ ） 其中 th 服從 GARCH(p, q)模型。假設(shè)模型旨在解釋一項(xiàng)金融資產(chǎn)的回報(bào)率，那么增加 th 的原因是每個(gè)投資者都期望資產(chǎn)回報(bào)率是與風(fēng)險(xiǎn)度密切聯(lián)系的，而條件方差 th 代表了期望風(fēng)險(xiǎn)的大小。所以 GARCHM 模型 適合于描述那些期望回報(bào)與期望風(fēng)險(xiǎn)密切相關(guān)的金融資產(chǎn)。 16 第 3 章 VaR 的計(jì)算 在了解了對(duì)數(shù)回報(bào)的分布特性，確定對(duì)數(shù)回報(bào)模型與波動(dòng)性模型后，我們就可以根據(jù)它們計(jì)算 VaR 值。本文采用兩種計(jì)算方法，一種是基于 GARCH 模型的分 析方法，另一種是采用基于 GARCH 模型的 MonteCarlo 模擬方法。在計(jì)算 VaR 過(guò)程中，對(duì)于 GARCH 模型中的參數(shù)用 SAS 系統(tǒng)建模 方法 求出 ，進(jìn)而計(jì)算絕對(duì) VaR。 基于 GARCH 模型的分析方法的 VaR 的計(jì)算 我們知道對(duì)數(shù)回報(bào)存在異方差，而 GARCH 模型 能較 好地刻畫(huà)這一特征，因而我們用 GARCH 模型估計(jì)條件方差，并計(jì)算相應(yīng)的 VaR 的值。 具體計(jì)算步驟如下。 第一步 估計(jì) GARCH 模型中的參 數(shù) w ??、 、 ，利用 SAS 系統(tǒng)建立 GARCH 模型 ； 第二步 根據(jù) GARCH 模型計(jì)算出各期條件方差，然后開(kāi)方得到條件標(biāo)準(zhǔn)差 ； 第 三 步 將計(jì)算得到的各期的條件標(biāo)準(zhǔn)差代入 pVaR=z p p? ? ? ?中，得到絕對(duì) VaR 。其中 z? 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下置信度對(duì)應(yīng)的分位數(shù)， ? 為回報(bào)率的均值。 實(shí)際計(jì)算步驟 本文數(shù)據(jù)是采用上證指數(shù)（ 000001）為研究對(duì)象，樣本范圍為 2020 年 12 月 1 日到2020 年 4 月 30 日每個(gè)交易日 上證指數(shù) 的收盤(pán)價(jià)，共計(jì) 102 個(gè)數(shù)據(jù)，定義收益率為11 0 0 (ln ln )t t tr p p ?? ? ?， tp 和 1tp? 分別是第 t 日和第 t1 日指數(shù)的收盤(pán)價(jià) ，則收益率數(shù)據(jù)共 101 個(gè)，原始數(shù)據(jù)和收益率數(shù)據(jù)見(jiàn) 附錄 C。 由 EXCEL 可分析出數(shù)據(jù)的基本特征如下表： 表 31 數(shù)據(jù)的基本特征 原始數(shù)據(jù) 收益率數(shù)據(jù) 上海 上海 均值