【正文】 第二步 根據(jù) GARCH 模型計算出各期條件方差，然后開方得到條件標準差 ； 第 三 步 將計算得到的各期的條件標準差代入 pVaR=z p p? ? ? ?中，得到絕對 VaR 。 基于 GARCH 模型的分析方法的 VaR 的計算 我們知道對數(shù)回報存在異方差，而 GARCH 模型 能較 好地刻畫這一特征，因而我們用 GARCH 模型估計條件方差，并計算相應的 VaR 的值。本文采用兩種計算方法，一種是基于 GARCH 模型的分 析方法，另一種是采用基于 GARCH 模型的 MonteCarlo 模擬方法。所以 GARCHM 模型 適合于描述那些期望回報與期望風險密切相關的金融資產。 GARCH－ M模型 15 GARCHM 模型是 ()式右邊增加一項 th ，表達式為： tttt uhxy ???? ?? （ ） ttt hu ??? （ ） 其中 th 服從 GARCH(p, q)模型。在資產定價模型中，某一資產的收益率與市場收益率之間的關系可以表示為： titiiti uMr , ??? ?? （ ） 其中， tir, 代表某一個單一資產或一個資產組合的收益率； tM 代表市場在 t 期的收益率； i? 為資產的系數(shù)。若 0?? ，則說明信息作用是對稱的； 若 0?? ,則說明信息作用是非對稱的；而當 0?? 時 ,則認為存在著杠桿效。 TGARCH模型 TGARCH模型又叫門限 ARCH模型，他的條件方差有如下形式： 2 1112 1102 ??? ???? tttt du ?????? （ ） 其中是 td 一個名義變量，??? ??? 0,1 0,0ttt uud ，這里， 0?tu 表示利好消息， 0?tu 表示利空消息，它們對條件方差的影響是不一樣的 。若 0?? ,說明信息的作用是非對稱 。在建立模型之前的數(shù)據(jù)選擇階段，應該注意：數(shù)據(jù)選擇的時期不能夠太長，因為數(shù)據(jù)越長，含有非正常的數(shù)據(jù)的可能性越大，而這些非正常數(shù)據(jù)將會影響長期波動的預測。一般采用 Q 統(tǒng)計量來對模型進行自相關檢驗，如果擬合模型有效，則統(tǒng)計量? ???? pn nTQ 1 2? 應該足夠得小。檢驗 GARCH 模型是否成立，當然也可以使用 F、 LR、 LM、 W 統(tǒng)計統(tǒng)計量。若原假設 0H 是 ARCH(1)，則備擇假設 1H 可以 ARCH(1＋ r)是也可以是 GARCH(r， 1)。 ttt uxy ??? ? （ ） ttt vhu ? （ ） ? ?1,0~110 Nvuhh titpi iitqi it ???? ?? ??? ??? （ ） 13 令 ? ???? ??? , ， ? ?qp ?????? , 110 ??? ，可將 GARCH 模型的對數(shù)極大似然函數(shù)表示為： ? ? ? ? ? ? ? ? 11 211 21ln212ln2 ???? ??? ????? tTt tTt tTt t huhTlL ??? ， （ ） 求估計值的法與 ARCH 模型相似，求出關于 ???L 取最大值時的 ? 值，則可以求出 ?和 ? 的值，其中 ? 為回歸方程的估計系數(shù)， ? 為 GARCH 方程的系數(shù)估計值。 GARCH(1,1)－ t 過程能更好的刻畫金融時間序列的波動性和分布的高峰厚尾后現(xiàn)象。它的遞歸形式等價于一個? ??ARCH 模型， ? ? ? ????????????????2 322 22 1102 12 1021 ttttttuuuu?????????? （ ） 與 GARCH(1,1)模型條件方差相當對應的無條件方差是： ? ? ? ?11 02 ????? ?????? （ ） 如果取 22 tttv ?? ?? 有方程 ? ? 12 102 ?? ????? tttt vv ?????? ，說明｛ tu ｝服從 ARMA（ 1,1）。 一、 GARCH 過程 GARCH(1,1)是最簡單的 GARCH 過程，他的條件方差函數(shù)為 2 12 102 ?? ??? ttt u ????? （ ） 其中， 00?? ， 0?? ， 0?? 。 GARCH(p,q)過程是平穩(wěn)過程的充分必要條件是： ? ? ? ? 111 ???? （ ） 其中 ?? ???qi i11 ??， ?? ???pi i11 ??，而且有 ? ? 0?tuE ， ? ? ? ? ? ?? ? 10 111 ???? ???tuD ，? ? ? ?stCo v tt ?? 0,?? 。滿足上述條件的模型稱為GARCH(p,q)模型，而稱｛ tu ｝服從 GARCH(p,q)過程。各種 GARCH 模型的區(qū)別在于條件方差方程采取的形式不同或者 tu 的分布假設不同。 GARCH 模型一般有兩個方程組成，一個是條件均值方程，另一個是條件方差方程即標準的回歸方程。 GARCH 類模型特別適合 于對金融時間序列數(shù)據(jù)的波動性進行分析。 tu 的方差經(jīng)常依賴于滯后多期的變化量，要想準確的估計方程就必須估計很多的參數(shù)則比較困難，因此，在 ARCH 模型的基礎上提出了廣義自回歸條件異方差模型（ GARCH 模型） 。 （二）、 ARCH 模型不能夠對進入時間序列的變化來源提供任何新的解釋，它只是提供一個機械的方式來描述條件異方差。 ARCH 模型的缺點 ARCH 模型對金融序列的條件異方差做出了解釋，但是該模型也有一些缺點： （一）、 ARCH 模型度參數(shù)的限制相當?shù)膹姟? 若 F ? ?1, ??qTqF ，接受 0H ，即 tu 不存在自回歸條件異方差。檢驗步驟如下： 一、 建立原假設： 01: qH ???? 1 1 2: , , ,qH ? ? ? 不全為零 二、 估計 ttt uxy ??? ? ，求 tu? ，計算 2?tu 。求 ? ?logL? 對 ?的偏導數(shù)： ? ? ? ? ? ?? ?? ?????? ??????????? ?????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????TttttqttqjjtjtjtttTttttttttTtttttttttTtttttttTt ttTttuxhuuuxhhuxyhhhhuhhuxyhhhhhxyxyhhhL12211221222122212221102112211211121121121l og21l og????????????????（ ） ARCH 模型的檢驗 在決定估計方法之前，應該對誤差項 tu 是否服從 ARCH 過程進行檢驗，只要12, , , q? ? ? 中任何一個不等于 0， tu 就服從 ARCH 過程。 假設一元回歸模型 t t ty x u????， （ ） 其中 ? ?0 1 1, , , k? ? ? ? ? ?? ， ? ?111, , ,tkx x x ? ?? ， ? ?~ ARCHtuq。滿足約束條件如下： 0 0, 0,j????且1 1qjj ?? ??。如果存在： ? ?2 2 2 20 1 1t t t q t qE u u u? ? ? ???? ? ? ? ? （ ） 則稱 tu 服從 q 階的 ARCH 過程，記 tu ~ARCH（ p）。上式還可以表示成如下的等價滯后多項式： ? ?101 pp t tL L x? ? ? ?? ? ? ? ? （ ） 其中 L 稱為滯后算子， k 階滯后算子的定義式為： k t t kL x x??? （ ） tx 的特征方程定義為： 110ppLL??? ? ? ? （ ） 若上面的 AR（ p）過程為一個穩(wěn)定的隨機過程，則其特征方程（ ）的所有的根都在單位圓外。 ARCH 模型的基本思想是： (1)盡管資產收益的隨機誤差項不存在序列相關性，但并不獨立； (2)隨機誤差項之間的依賴性可以由其滯后變量的簡單二次函數(shù)來描敘。 ARCH 模型 ARCH 模型的定義 ARCH 模型很好的捕捉了金融時間序列中波動的叢集現(xiàn)象 (即大的波動往往跟隨著大的波動，小的波動之后往往跟隨著小的波動 )。對于這種情況，可假定 其 服從 t 分布、混合正態(tài)分布或一般誤差分布，這就是 t 分布的 GARCH 模型、混和正態(tài)分布 GARCH 模型或一般誤差分布的 GARCH 模型。在正態(tài) GARCH 模型中假定 t? 服從條件正態(tài)分布，其條件方差為 t? 。各種 GARCH 模型的區(qū)別在于條件方差方程采取的形式不同或者 t? 的分布的假設不同。例如， ttr ???? 其中 ? 為無條件均值，是一個 常數(shù)， ? 常常用樣本均值來估計。一個是條件均值方程，另一個是條件方差 方程—— 標準的回歸方程。在一個 時間序列中，如果有的時候波動性很大，而有的時候波動性卻很小，也就是說波動性既有爆發(fā)性又有積聚性，這時稱該時間序列存在條件異方差。大量的實證研究表明，GARCH 類模型特別適合于對金融時間序列數(shù)據(jù)的波動性和相關性進行建模，估計或預測波動性和相關性。 計算的主要方法 及分類 [6] 綜上所述，可以從市場因子的波動性模型和證券組合的估值模型兩個角度對 VaR 模型分類，如表 1 所示。由于模擬方法采用的是金融定價公式而非靈敏度，可以處理市場因子的大范圍變動，反映了因市場因子變化而導致的證券組合價值的完全變化，因此模擬方法是一種全值模型。由于只有當市場變化范圍較小時，靈敏度 才能較好地近似實際變化，因此基于靈敏度的分析方法是一種局部模型。 分析方法最簡單的形式可以表示為 rVs? ? ? 具體的金融工具的不同形式的靈敏度和定價公式可參見參考文獻 [3]。 證券組合的估值模型 根據(jù)市場因子的波動性估計證券組合價值變化和分布的方法主要有兩類，即模擬方法 (即全值模型 )和分析方法 (局部估值模型 )。 Risk Metrics 假定市場因子變化服從正態(tài)分布。 (4)Risk Metrics 方法 Risk Metries 采用移動平均方法中的指數(shù)移動平均模型預測波動性。 （ 3） 情景分析 情景分析采用市場因子波動的特定假定 (如極端市場事件 )定義和構造市場因子的未來變化情景。它不需要假定資產回報服從的統(tǒng)計分布形式。 VaR 計算中最常用的方法有以下幾 （ l） 歷史模擬法 歷史模擬法假定回報分布為獨立同分布，市場因子的未來波動與歷史波動完全一樣。不同 的波動性 5 模型和估值模型構成了 VaR 計算的不同方法。第一個模塊是映射過程 — 把組合中每一頭寸的回報表示為其市場因子的函數(shù) ； 第二個模塊是市場因子的波動性模型 — 預測市場因子的波動性 ； 第三個模塊是估值模型 — 根據(jù)市場因子的波動性估計組合的價值變化和分布。 VaR 計算的基本模式 綜上所述，計算 VaR 的關鍵在于確定證券組合未來損益的統(tǒng)計分布或概率密度函數(shù)。然后預測市場因子未來的一系列可能價格水平 (是一個概率分布 )，并對證券組合進行重新估值 :在此基礎上計算證券