【正文】 利用這個定理很容 易證明下列 Mittnik 的結(jié)果推廣形式。對我們來說，最重要的一點是，只有一個對數(shù)矩條件是必需的，沒有其他時刻的條件也可以實現(xiàn)。 定理：如果 log nEA???? ????， log nEB???? ????并且有非平凡不變子空間 dR ， 那么方程式（ 7）有一個固定的解決方案（即在馬爾可夫鏈中的不變分布）當(dāng)且僅當(dāng)：Lyapunov 指數(shù) 22120 1in f l o g nn E A A A a bn? ?? ?????? （ 9） 為負(fù)。R 中 描述 Bougerol 和 Picard 在 1992 年原作品的這種代表性的優(yōu)勢的，問題就變成了一個隨機(jī)形式遞歸方程解的存在性 1n n n nY A Y B? ??，其中 nA 和 nB 是獨立同分布的隨機(jī)矩陣。（ 6）式可以寫成如下形式： 1t t tY AY B? ?? （ 7） 其中，1122111 0 00 1 0 0,00 0 100 0 0tmmmmAB????? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?????? ???? ??? ??????????? ?????????， （ 8） ? ?min ,m p q? 。R 相同的策略，一般的 δ GARCH（ 1,1）模型可以寫為： 11,t t tpqt i t j j t iijXX?????? ? ? ? ??????? ? ??? (6) 35 0 , 0 , 0 ,i j t? ? ? ?? ? ?獨立同分布，而在其他時刻的 t? 不存在額外的假設(shè)而作出調(diào)整。最后，第 4 節(jié)將包含一些結(jié)論性意見和評論。 該文章的其余部分組織如下：第 2 節(jié)，我們將擴(kuò)充 MPamp。在 MPamp。 由于 Bougerol and Picard (1992a)的定理假設(shè)并不要求創(chuàng)新，但對其 對數(shù)有要求，所以它很自然地擴(kuò)展了這個定理，一個具有 ? 權(quán)的 Garch 消除了 MPamp。 在 這 種 情 況 下 要 使 用 和 以 前 相 同 的 結(jié) 論 ：? ? ? ? ,l o g l o g 1 1 0S S SEE ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?。在這種情況下，為 WS? 域的充分條件變?yōu)椋}二， MPamp。在這里我們重申命題的 MP＆ R 的 GARCH（ 1,1）的情況。見 Bellini and Bottolo (2020)極大似然估計的 SS 域形狀影響的討論的第 4 節(jié)。因此， 2?? 。例如見納爾遜定理 6 的第二部分 34 （ 1990 年），其中 ? 有柯西分布。在 2?? 的情況下，納爾遜（ 1990 年）證明了如下定理（ ? 是一個普通的 t? 分布）。嚴(yán)平穩(wěn)通常意味著弱平穩(wěn)，這與傳統(tǒng)（輕尾）時間序列模型的情況正好相反。更確切地說，在 ? ?,?? 空間里， 我們定義 SS? 域，其中（ 1）式存在嚴(yán)平穩(wěn)的解；同時， WS? 域有一個弱平穩(wěn)（協(xié)方差平穩(wěn)）的解。 不同指數(shù) ? 已經(jīng)具有條件方差沖擊的長期記憶性的優(yōu)點 （見丁等人 1993 年廣泛的討論）。R 之后討論過。 關(guān)鍵詞 ：權(quán) GARCH 模型 ； 嚴(yán)平穩(wěn)和弱平穩(wěn) ； α穩(wěn)定分布 ； 重尾分布 1． 權(quán) GARCH 模 型 用方程來描述， δ 權(quán) GARCH（ 1,1）模型是一種普通 GARCH（ 1,1）模型的自然延伸。具有穩(wěn)定權(quán)重的 GARCH 的平穩(wěn)過程， 2002 年，計量經(jīng)濟(jì)學(xué)， 106， 97107，可擴(kuò)展到一般的創(chuàng)新，無論其 δ時刻是否存在。在這里也對他們表示感謝。在論文完成之際，謹(jǐn)此致以我最最誠摯的謝意和永遠(yuǎn)的祝福！同時，感謝所有在講授專業(yè)課時給予我的幫助和指導(dǎo) ! 另外在寫作的過程當(dāng)中，我還得到了同學(xué)大力幫助，在和同學(xué)不斷的交流中使得我對自己的論文能夠不斷地進(jìn)行完善，不斷地從中發(fā)現(xiàn)錯誤和不足 之處。 21 致 謝 在我即將完成了我的畢業(yè)論文時，內(nèi)心激動不已，這是我四年大學(xué)生涯學(xué)習(xí) 的一個總結(jié)，四年來，承蒙導(dǎo)師、老師、師長們的教誨與提攜，我終于能較順利的完成我本科階段的任務(wù)，今后的路，無論怎么走，我終將記住這四年的學(xué)習(xí)生涯。實際分析中，有時假設(shè) 其為 t 分布會有更好的分析結(jié)果，如何找出檢驗 z 分布的方法將是很有意義的 ； GARCH，對于多元 GARCH 模型，目前研究的還不是很透，還有很多工作要做 ； 類模型的估計參數(shù)的統(tǒng)計性質(zhì)都是在漸進(jìn)意義下成立的，但實際中樣本是有限的， Engle 等 曾用 Monte Carlo 方法討論了簡單情況下參數(shù)估計的性質(zhì)。 但是，由于時間、條件以及自身能力的限制，我們還面臨許多問題，不能進(jìn)一步討展開討論。針對波動性模型中最常用的 GARCH 模型，估計 GARCH 模型的參數(shù)。 最終模型口徑為： ? ?12,211 , 0 , 1 .629241 .6285 4 .53E 23 ~ttt t t ti i dt t t tt t tx t uu u uh a a Nhh???????? ? ??? ? ? ?????? ? ? ? ?? 最終輸出擬合效果圖如下圖所示： p543210123t0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 圖 32 上證指數(shù)收益率擬合效果圖 20 第 4 章 結(jié)論 本文主要研究 GARCH 模型在市場風(fēng)險測量 VaR 中的應(yīng)用。 上證指數(shù)收益率時序圖65432101230 20 40 60 80 100 120系列1 圖 31 上證指數(shù)收益率時序圖 DW 檢驗結(jié)果顯示殘差序列具有顯著的負(fù)自相關(guān)性，如下圖所示： Ordinary Least Squares Estimates SSE DFE 99 MSE Root MSE SBC AIC Regress RSquare Total RSquare DurbinWatson Pr DW Pr DW NOTE: PrDW is the pvalue for testing positive autocorrelation, and PrDW is the pvalue for testing negative autocorrelation. 殘差序列 5 階延遲自相關(guān)圖顯示殘差序列至少具有 2 階顯著自相關(guān)性，如下圖所示： 18 Estimates of Autocorrelations Lag CoVaRiance Correlation 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 | |********************| 1 | | | 2 | *| | 3 | | | 4 | | | 5 | |** | 參數(shù)估計結(jié)果顯示回歸模型常數(shù)截距項不顯著，如下圖所示： Standard Approx VaRiable DF Estimate Error t Value Pr |t| Intercept 1 t 1 異方差檢驗結(jié)果顯示殘差序列具有顯著的異方差性，且具有顯著的長期相關(guān)性，如下圖所示： Q and LM Tests for ARCH Disturbances Order Q Pr Q LM Pr LM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 綜合考慮殘差序列自相關(guān)性和異方差性檢驗結(jié)果，嘗試擬合無回歸常數(shù)項的AR(2)GARCH(1,1)模型。 run。 symbol1 c=red i=join v=dot。 proc gplot data=out。 proc forecast lead=5。 model p=t/nlag=2 noint garch=(p=1,q=1)。 proc autoreg data=a。 input p。 infile 39。 實際計算步驟 本文數(shù)據(jù)是采用上證指數(shù)（ 000001）為研究對象，樣本范圍為 2020 年 12 月 1 日到2020 年 4 月 30 日每個交易日 上證指數(shù) 的收盤價，共計 102 個數(shù)據(jù)，定義收益率為11 0 0 (ln ln )t t tr p p ?? ? ?， tp 和 1tp? 分別是第 t 日和第 t1 日指數(shù)的收盤價 ，則收益率數(shù)據(jù)共 101 個，原始數(shù)據(jù)和收益率數(shù)據(jù)見 附錄 C。 第一步 估計 GARCH 模型中的參 數(shù) w ??、 、 ，利用 SAS 系統(tǒng)建立 GARCH 模型 ；