【正文】 本文所有數(shù)據(jù)的處理、計算均由， Excel 軟件和 MATLAB 編程完。（括號里的數(shù)字為每支基金的代碼） 基金的日收益率（單期對數(shù)回報）由下面的方法計算： ? ?1ln /t t tr N AV N AV ?? ，其中 tr 為基金在 t 日的收益率， tNAV 為第 t 日的基金凈資產(chǎn) 。時間范圍從 2021 年 4 月 15日到 2021 年 4 月 15 日，每個序列共計 972 天數(shù)據(jù)。 21N?表明 VaR 模型低估了損失發(fā)生的概率； 6N? 表明 VaR 模型過于保守。 表 31 VaR 模型驗證的非拒絕域 概率水平 p 失敗次數(shù) N 的非拒絕域 T =255 天 T =510 天 T =1000 天 7N? 1 11N?? 4 17N?? 2 12N?? 6 21N?? 15 36N?? 6 21N?? 16 36N?? 37 65N?? 11 28N?? 27 51N?? 59 92N?? 16 36N?? 38 65N?? 81 120N?? 表中，對于一年的數(shù)據(jù)（ 255T? ）， 95%的置信度下，預(yù)期觀測到的失敗個數(shù)應(yīng)為* 5% 255 13N p T? ? ? ?天。當(dāng) LR 大于臨界值時拒絕原假設(shè)。 失敗 天數(shù)的計算： 110n tTTt tV a R rN N N V a R r????? ? ??? () tr 為 第 t 期 的實際損益值，在 對 證券投資基金 實證分析中 ， tr 用 對數(shù)收益率來表示。假定置信水平為 c ，置信度為 1c? ，實際考察天數(shù)為 T ，失敗天數(shù)為 N 。 失敗頻率檢驗法是通過比較實際損失超過 VaR 的頻率與一定置信水平下的上限值是否接近或相等，來判斷VaR模型的有效性。這就是對模型的后檢測試，后檢測試最常用的是Kupiec 提出 的失敗檢驗法 [21]。 見圖 32。把均值 ? ，條件方差標(biāo)準(zhǔn)差 t? 和95%置信水平（或 99%置信水平）下三種分布的分位數(shù)代入公式 楊川陵：基于 GARCH 和 VaR 的證券投資基金市場風(fēng)險模型 20 ? ?1ttVa R u F???? ? ? () 其中， ? 是 基金收益率均值 ， t? 是根據(jù)不同分布假設(shè)下的 GARCH 模型所產(chǎn)生的條件方差序列 而得到的標(biāo)準(zhǔn)差序列， ? ?1F ?? 是所設(shè)定分布的分布函數(shù)在置信 水平為 ? 下 的 分位數(shù) 。 Step2： 利用 的 GARCH 方差序列生成功能生成條件方差 2t? ，對其取 平方根得到條件方差標(biāo)準(zhǔn)差 t? 。下面給出 VaR—GARCH 模型 計算 的具體步驟。 tx 為獨立同分布的隨機變量， 1tI? 是 1t? 時期初可獲得信息集。 ? ?G A RC H 1,1 G E D模型 ? ?212 2 21 1 1 1| ~ 0 , ,ttt t t t t tt t trx I G E D v??? ? ? ?? ? ? ? ? ???????? ? ? () 其中 ? ?21| ~ 0 , ,t t tI G E D v??? t? 的條件分布服從均值為 0，自由度為 v ，方差為 2t? 的 GED分 布 。 2021 屆信息與計算科學(xué)專業(yè)畢業(yè)設(shè)計（論文） 19 ? ?GARCH 1,1 N模型 ? ?212 2 21 1 1 1| ~ 0 ,ttt t t t t tt t trx I N??? ? ? ?? ? ? ? ? ???????? ? ? () 其中 ? ?21| ~ 0,t t tIN???表示 t? 的條件分布服從均值為 0，方差為 2t? 的正態(tài)分布。當(dāng) 2v? 時 , GED分布是正態(tài)分布；當(dāng) 2v? 時 ， GED 分布尾部比正態(tài)分布更?。划?dāng) 2v? ， GED 分布尾部比正態(tài)分布更厚、峰要比正態(tài)分布更尖。如果假設(shè)殘設(shè)差的條件分布服從 t 分布和廣義誤 差分布 (GED),則可以描述收益率序列的厚尾特征 , t 分布和 GED 分布的密度函數(shù)分別為 : ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?1 / 221 / 21 / 2,1/2vv xf x vvvv??????? ????????? ???? () ? ? ? ?? ? ? ?? ?/21 / 2V3 / 23 / 3 /, e xp | X | 1/2 1 /vv v vf x v vv ?????????? ???? ???? () 其中， x??? ?? ， 0v? ， v 為常數(shù)，可以視 t 分布或 GED 分布的自由度， ???? 為伽瑪函數(shù)。GARCH 模型能反映金融市場收益率時變和有效捕捉資產(chǎn)收益率波動的聚類和異方差現(xiàn)象。 特別地，當(dāng) p=1， q=1， GARCH（ 1,1） 模型可以表示為 2 2 21 1 1 1ttt t tr ??? ? ? ? ? ?????? ? ? () GARCH（ p,q） 模型等價于 ARCH（ q）模型在 q 趨于無窮時的情況，但明顯明顯待估參數(shù)大為減少。標(biāo)準(zhǔn)的 GARCH（ p,q）模型為 2 2 2 2 21 1 1 1, 1 , 2 , ,t t tt t t p t t t q t qy X u t Tu?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? () 其中， Xt 是 ? ?1 k 1??維外生變量， ? 是 ? ?k 1 1?? 維系數(shù)向量。即使是低階 GARCH（ 1,1）的情形，仍然有較好的擬合效果，從而得到了廣泛的應(yīng)用。 ARCH（ p）過程的標(biāo)準(zhǔn) 形式為 ： 2 2 2 20 1 1 2 2t t t p t p tu u u u? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? () 其中： t? 是 白噪聲過程 ， 滿足 ： ? ?? ? 20,0,ttEtEt????????? ?? ??? () 擾動項 tu 的條件 分布就是 以 0 為 均值， 以 2 2 2 20 1 1 2 2t t t p t pu u u? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?為 方差的條件分布 。 考慮 k 變量回歸模型： 0 1 1t t k k t ty x x u? ? ?? ? ? ? ? () 2021 屆信息與計算科學(xué)專業(yè)畢業(yè)設(shè)計（論文） 17 如果 tu 的均值為零，對 ty 取基于（ 1t? ）時刻的信息的期望，即 ? ?1ttEy? ，有如下的關(guān)系： ? ?1 0 1 1 2 2t t t t k k tE y x x x? ? ? ?? ? ? ? ? ? () 由于 ty 的均值近似等于式 ()的估計值，所以式 ()也稱為均值方程。 ARCH 模型的主要思想是：擾動項的條件方差依賴于它的前期值的大小。為了使 VaR 計算更加準(zhǔn)確，下面將 GARCH 模型與 能較好的描述金融數(shù)據(jù)“尖峰厚尾特征”的 分布函數(shù) 二者結(jié)合起來。這就是本文對證券投資基金風(fēng)險進行實證分析的 VaRGARCH（ p， q） 方法。 由于金融數(shù)據(jù)有明顯的波動集聚性及尖峰厚尾特征，而 GARCH 模型能較好地刻畫金融數(shù)據(jù)波動集聚性這一特征，具有持續(xù)的方差和處理肥尾的能力，能較好地描述金融資產(chǎn)價格波動的特征。由于收益率序列往往具有尖峰后尾的特征，因此就不能簡單的使用正態(tài)分布來模擬收益率變化，而基于時間序列的傳統(tǒng)的統(tǒng)計模型只對序列的均值建模，假定方差不變，從而忽略了蘊含在模型殘差中的信息。預(yù)測誤差在某一時期相對地小，而在某一時期里則相對地大，然后，在另一個時期又是較小的。實踐中，金融變量的時間序列具有明顯的集聚性（波動在某一段時間總體比較小，而在另一段時間總體表現(xiàn)比較大），尖峰肥尾性。 因此 僅僅用正態(tài)分布不足以描述金融 時間 序列的分布特征。尖峰 厚尾 可以用 圖 31 來表示 （圖中只對尖峰 厚尾做了刻畫， 未 體現(xiàn) 實際 分布中的 偏性這一性質(zhì) ） 。之所以出現(xiàn)厚尾現(xiàn)象，也是價格的波動聚集性造成的。正態(tài)分布的概率密度函數(shù)就是以指數(shù)函數(shù)衰減至零的。它是指資產(chǎn)收益率分布的尾部與正態(tài)分布的尾部相比更厚。當(dāng)市場金融資產(chǎn)價格發(fā)生異常劇烈的波動，并使這種波動在一段時間內(nèi)持續(xù)走高或偏低的話，就出現(xiàn)了波動聚集。 所謂尖峰，從統(tǒng)計學(xué)角度來講就是指隨機變量在均值附近 (即峰頂 )的概率密度值尖于正態(tài)分布的理論估計值，而 正態(tài)分布的 偏度 等于 0， 峰度等于 3。 表 21 不同 VaR 計算 的優(yōu)缺點 模 型 優(yōu) 缺 點 VaR 計算 方法 優(yōu) 點 缺 點 歷史模擬 法 簡潔 、直觀操作簡單 ， 屬于 非參數(shù) 全值 估計法， 能較好處理 市 波動大 和 非線性題 ， 不需要對收益率分布 做任何 假設(shè) 假設(shè) 概率密度函數(shù)不隨時間變化 ，與實際不符 并且需要 保存大量數(shù)據(jù) ， 靈活 性 較差 ， 計算量與比較大 ， 同 時 沒有考慮 極端 的風(fēng)險問題 方差 協(xié)方差法 計算 很簡單 ， 只需要 估計 出 金融資產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)差 和它們 之間的相關(guān)系數(shù) ， 就可以計算 VaR 值 ，大大簡化 計算量 假設(shè)收益率 的分布為正態(tài)分布 ， 但是研究表明 收益 率分布具有 明顯 的 “尖峰厚尾 ”特征， 采用這種方法必然低估風(fēng) 險 蒙特 卡洛模擬法 是一種 全值估計法 ， 可以處理非線性問題 ， 可以模擬不 同 的分布 ， 相對其他兩種方法來說比較 可 靠 計算 量太大 ， 在計算過程中 ， 均值和協(xié)方差 不變 ， 明顯缺乏 時變性 ， 而且維數(shù)比較高 2021 屆信息與計算科學(xué)專業(yè)畢業(yè)設(shè)計（論文） 15 第 3章 基于 GARCH 模型的 VaR 方法 金融數(shù)據(jù)的尖峰 厚尾 特征 分形理論之父 Mandelbrot 在 1963 年首先發(fā)現(xiàn)了金融資產(chǎn)收益率的波動存在時間序列上的 “ 波動集聚 （ clustering） 現(xiàn)象 ” ， 該現(xiàn)象的出現(xiàn)源于外部沖擊對股價波動的持續(xù)性影響，在收益率的分布上則表 為出尖峰厚尾（ fat tails）的特征。單純使用上述傳統(tǒng)方法來計算 VaR 一般存在較大誤差，而基于 t 分布和廣義誤差分布的 GARCH、 EGARCH 模型取代無條件方差來估計 VaR，能夠改進 VaR 的精度，所以本文選取近年來我國基金收益率的大量數(shù)據(jù)，針對數(shù)據(jù)本身呈現(xiàn)的統(tǒng)計特征，引入 GARCH 模型進行 VaR 計算。 雖然 VaR 具有以隨機變量的概率分布來刻畫風(fēng)險，和以貨幣計量單位來表示風(fēng)險管理的潛在虧損這些優(yōu)點，但要準(zhǔn)確計量并非易事，因為它與資產(chǎn)收益的概率分布和波動性有關(guān)，經(jīng)多種實證研究表明，金融數(shù)據(jù)有明顯的尖峰厚尾、波動性積聚等特征，產(chǎn)生這類現(xiàn)象的其中一個重要原因是條件方差的時 變性。另外，仿真取樣的個數(shù)仍受限于歷史資料 的天數(shù)，若某些風(fēng)險因子并無市場資料或歷史資料的天數(shù)太少時，仿真的結(jié)果可能不具代表性， 容易產(chǎn)生 較大 誤差。 歷史模擬法將各種風(fēng)險因素綜合考慮，得到一個統(tǒng)一的指標(biāo)，相對也比較簡單。 對傳統(tǒng) VaR 計算方法的評價 在上 面一小節(jié)已經(jīng)對 VaR 主要 的幾種傳統(tǒng)方法概念進行的簡單的介紹， 這 幾種 傳統(tǒng) 方法 各有 優(yōu)劣， 其中 蒙特卡羅 方法 的模擬精度較高， 但 比較復(fù)雜， 而且 近年來，越來越多的研究發(fā)現(xiàn)：一方面，金融資產(chǎn)收益率時間序列的分布并不滿足 正態(tài) 假設(shè)，具有顯著地尖峰厚尾特性 ； 另一方面，其波動具有明顯的聚集和 時變 特征，并且還具有杠桿 效應(yīng)。 利用 該方法 進行 VaR，往往 需要 估計收益分布 的參數(shù)值，故此得名參數(shù)法。 參數(shù)法 參數(shù) 法（ 又 稱方差 — 協(xié) 方差法 ）是 常用 的 方法之一。它利用一個隨機過程及相關(guān)參數(shù)，模擬出成千上萬種各個風(fēng)險因子的可能變化情況及其對應(yīng)的投資組合價值。 Delta 正態(tài)法是最容易實現(xiàn)也是現(xiàn)實中用得最多的方法。該方法的本質(zhì)是用收益率的歷史分布來代替收益率的真實分布，以此來求得資產(chǎn)組合的 VaR 值。 歷史模擬法 應(yīng)用歷史模擬法計算 VaR 不需要對資產(chǎn)組合收益的分布做出假設(shè)。例如 假設(shè) 收益數(shù)據(jù)的歷史變化對未來構(gòu)成直接影響，通過金融資產(chǎn)收益的 歷史分布特征來估計，提出了 VaR 計算 的 歷史模擬法 。 計算 VaR 的方法 VaR 的 計算中，未來收益的分布是描述金融資產(chǎn) 自身特征 的關(guān)鍵 因素 ，是進行 VaR計算 的前提條件，也是整個 VaR 風(fēng)險價值 度量方法研究的重點 和 難點。 在計算 VaR 時 ， 首先使用市場因子當(dāng)前的價格水平 ， 利用定價公式對投資組合進行估值 （ 逐日結(jié)算 ）； 然后預(yù)測市場因子未來一系列可能價格水平 （ 為一概率分布 ）， 并對投資組合重新估值 ； 在此基礎(chǔ)上計算投資組合的價值變化 ， 由此得到投資組合的損益分布 ； 最后通過設(shè)置持有期和置信水平求出投資組合的 VaR 值 。 楊川陵：基于 GARCH 和 VaR 的證券投資基金市場風(fēng)險模型 12 VaR 的計算方法 VaR 的計算原理 VaR 為特定時間內(nèi)市場因子變動引起的潛在損失提供了 一種可能性估 計， 其核心在于構(gòu)