【正文】 13g(k)——高通濾波器系數(shù)，且滿足 ()1()kgh??式(216)就是著名的 Mallat 分解算法。0多分辨分析也稱為多尺度分析或多尺度逼近，滿足上面條件的多分辨也稱為由尺度函數(shù) φ生成的多分辨分析。2()設(shè) 是空間 的一個閉子空間列， 被稱為 的一個多分辨{}jZV?2(){}jZV?2()LR分析，如果 滿足下面四個條件j121. 一致單調(diào)性 1,jjVZ???2. 漸近完全性 2{0}()jjZIULR??3. 伸縮規(guī)則性 1(),j jftftV??4. 正交基存在性 存在 ，使得 是 的標(biāo)準(zhǔn)正交基。 多分辨分析及其與濾波器組的關(guān)系1988 年 在構(gòu)造正交小波基時提出了多分辨分析的概念，從空間的概念上形象地說明了小波的多分辨率特性，將此之前的所有正交小波基的構(gòu)造法統(tǒng)一起來，給出了正交小波的構(gòu)造方法以及正交小波的快速算法，即 Mallat 算法。在連續(xù)小波離散化過程中，對于一些專門選擇的適當(dāng)?shù)?0,()mnabx?和 能構(gòu)成 L2 (R)空間中的正交基，特別是當(dāng)選擇 a0 = 2,b0 = 1 時，存在具有非常好的時頻局域性質(zhì)的 ψ，使得/2,()()mnxxn???構(gòu)成 L2 (R)的正交基。由此可得離散化形式的小波 [25]： )()(002/0, nbxaxmnm???? 212 而且如果 ,)n構(gòu)成了一個框架，即對于全部 2()fLR?，22 2,||(||mnAffxBf????? 213 其中，A0, B ?。為方便起見，離散化過程中限定 a 為正實數(shù)，故允許條件變?yōu)?[25]： 0220|()||()|Cdd??????????????? 211選擇ma，其中 Z?且 01a?，通常為了方便選擇。計算機(jī)只能處理離散信號，因此，小波變換除了具有完美的連續(xù)變換形式外，還必須具有離散形式，從而使之借助于計算機(jī)方便、快捷地應(yīng)用于實際系統(tǒng)的信號分析。只有當(dāng)函數(shù) ()x?滿足允許性條件時， ()x才構(gòu)成小波母函數(shù)，相應(yīng)的小波變換才能反演。母小波 ()x?在進(jìn)行伸縮與平移變換時，始終保持中心頻率與帶寬的比值 Q 為恒定值，即具有常數(shù) Q 的特性。從連續(xù)小波變換的定義可以看出，當(dāng)尺度 a 較小時， ,()abx?在時間域內(nèi)收縮，在頻域內(nèi)伸展，此時信號在較密集的一組基下展開，因此小尺度下的連續(xù)小波變換可以用來分析信號的細(xì)節(jié)特征；反之，當(dāng)尺度 a 較大時， ,()ab在時間域內(nèi)伸展，在頻域內(nèi)收縮，此時信號在較稀疏的一組基下展開，因此大尺度下的連續(xù)小波變換可以用來分析信號的概貌。重建核方程說明： (1)不是 ab 平面內(nèi)的任意 WT都可以作為小波變換，它必須滿足重建核方程；(2)連續(xù)小波變換是有冗余的，即 ab 平面內(nèi)任意一點總與該平面上其他點相關(guān)聯(lián)。由允許條件可知 在頻域滿足 (0)?，即 ()x?在頻域是帶通的；在時域，一般要求 ()x?滿足正則性條件 (),1,pxdKn?????? 26而且，n 越大越好，因此 ()x?在時域也具有局域化的特點。 ()x?必須滿足下面的條件，稱為允許條件 [25]：2|()|Cd?????????? 25()是 x的傅氏變換。圖 4 雙通道正交鏡像濾波器組 連續(xù)小波變換 對于任意平方可積函數(shù) 2()ftLR?，其連續(xù)小波變換定義 [25]為：,1(,)()abWTabfxdC?????? 23其中， 稱為母小波， ,()ab為 x?的伸縮平移系 ,()abx?的共扼函數(shù)，,()abx稱為分析小波，是按,1{()|,0}|xR???? 24進(jìn)行伸縮平移得到的。上述過程為分解過程。該兩帶分析濾波器組由具有典型低通和高通頻率響應(yīng)的濾波器 H0(Z)和 H1(Z)組成。經(jīng)過子帶濾波器濾波后的信號較未做子帶濾波器濾波的信號更易于壓縮編碼。逆過程是：每個經(jīng)過處理的子帶信號通過增采樣，再通過一個 L 帶合成濾波器組，輸出結(jié)果為生成一個最初輸入信號 X [n]的逼近信號。在該編碼策略中，從圖 3 中可以看出，輸人信號 X[n]通過一個 L 帶分析濾波器組被分解成一系列相鄰頻帶上的窄帶信號，這些窄帶信號通過減采樣獲得子帶信號?；谡荤R像濾波器組的子帶編碼策略是一個常用的數(shù)字信號壓縮法，該方法利用信號能量在頻帶上的不規(guī)則分布通過在各頻率子帶上分解信號并按某種編碼策略處理子帶信號來有效實現(xiàn)對該信號的壓縮編碼。 在實際應(yīng)用中，現(xiàn)實生活中模擬信號經(jīng)過模數(shù)轉(zhuǎn)換后得到數(shù)字信號，這些數(shù)字信號或存儲在一個容量有限的存儲介質(zhì)中以供日后使用或經(jīng)過一個有限帶寬的通道傳輸出去。本文中只考慮兩帶濾波器組的情況，即濾波器組只具有一個低通濾波器和一個高通濾波器。一個低通濾波器和一個高通濾波器可以簡單地構(gòu)成一個濾波器組，低通濾波器和高通濾波器的截止頻率均為頻帶寬度的一半。 數(shù)字濾波器組是一系列數(shù)字濾波器的組合，它把組成信號的各個頻率分量分解成不同的子信號，每個子信號占有信號全部頻率范圍的一個子帶。濾波器系數(shù)可由各種設(shè)計方法得到，不同的濾波器因而具有不同的性質(zhì)。卷積也可以用矩陣來描述，此時信號寫為向量的形式，如式 22 所示 221011210[] nnn xhy ?? ???????????? ? ? 上式中只表示了濾波器長度為 2 的情況，矩陣中空白處表示 0。數(shù)字信號及數(shù)字濾波器是較為人熟知的。(5)小波理論在負(fù)荷預(yù)測中的應(yīng)用將小波變換與人工智能及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，可在電力系統(tǒng)負(fù)荷預(yù)測中得到很好的應(yīng)用。本文正是研究小波理論在壓縮電力系統(tǒng)諧波引起的畸變信號數(shù)據(jù)中的應(yīng)用。因此小波理論在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用研究，在微機(jī)全面提高中得到了最完美的體現(xiàn)。(1)小波理論在電力設(shè)備狀態(tài)監(jiān)視中的應(yīng)用在電力系統(tǒng)中，相當(dāng)一部分電氣故障都是由于不同原因所導(dǎo)致的絕緣劣化和損壞而引起的，而絕緣劣化和損壞，往往首先表現(xiàn)為絕緣內(nèi)部和表明局部放電，6因此，通過監(jiān)視局部放電的性質(zhì)和強弱，可以了解絕緣損壞程度，從而判斷電力設(shè)備進(jìn)一步故障的可能性，做好預(yù)防和解決措施，大大減少電力設(shè)備的故障率。在理論方面，主要是尋求最優(yōu)小波函數(shù)與快速算法；在應(yīng)用方面，則集中在電力系統(tǒng)故障信號分析與處理上，包括突變信號和故障診斷。第二階段是小波理論在電力系統(tǒng)領(lǐng)域中應(yīng)用的廣泛研究，在這一階段，在進(jìn)行理論研究的同時，也出現(xiàn)了很多應(yīng)用研究。相對于傳統(tǒng)的傅氏變換，它具有以下特點：(1)可以同時在多尺度下進(jìn)行信號分析(2)在時、頻域可以同時具有較好的局域性(3)對信號的局部突變較敏感 小波分析在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用情況 [14]小波理論在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用研究主要分為以下倆個階段第一階段：1994 年——1997 年第二階段：1998 年——至今在第一階段，主要是小波理論在電力系統(tǒng)領(lǐng)域中應(yīng)用的提出及其基于小波理論的電力系統(tǒng)中應(yīng)用的小規(guī)模研究。經(jīng)過近十年的發(fā)展，小波變換已逐漸成為信號分析領(lǐng)域的一個重要工具。 5圖 2 小波變換的時頻分辨率1988 年和 1989 年，Daubechies 和 Mallat 等人的工作使小波變換在理論上和實際應(yīng)用方面有了突破性進(jìn)展，并使之逐漸成為現(xiàn)代信號處理領(lǐng)域的一個熱門課題 [25]?？梢钥闯觯寒?dāng)頻率的分辨率較高時，時域的分辨率較低；而隨著頻率分辨率的降低，時域的分辨率則逐步提高。1986 年，Meyer 構(gòu)造出了具有一定衰減性的光滑函數(shù) ψ(x)，其二進(jìn)制伸縮平移系為： 17/2,{()()|,}jjjkxxkjZ??它構(gòu)成平方可積函數(shù)空間的規(guī)范正交基。4圖 1 短時傅利葉變換的時頻分辨率Garbor 變換的不足在于其窗函數(shù)在變換過程中始終保持不變。例如在分析奇異信號( 一般為信號的高頻部分)時，要求柵格的頻率間隔較小，根據(jù)不確定性原理，相應(yīng)的時間間隔則應(yīng)較大，即在時域內(nèi)應(yīng)有較多采樣點，這必然帶來樣本獲取難度、分析計算量大等問題。?如圖 1 所示，時頻平面被窗函數(shù)均勻地分割成小的窗口，無論在時域還是頻域，窗口的大小都是均勻的。傅氏變換的這一不足給信號分析帶來諸多不便。例如時域沖擊函數(shù)，僅在 t=0 時有非零值，而其傅氏變換為 1，在頻域范圍內(nèi)是貫穿整個頻率軸的。因此決定了傅氏變換不可能在時域和頻域同時獲得良好的局域特性。如果信號是經(jīng)過線性變換復(fù)合而成的復(fù)雜信號，則其傅氏變換可以方便地通過原信號的傅氏變換經(jīng)過簡單代數(shù)運算得到；反之，復(fù)雜的傅氏變換如果是經(jīng)過線性變換，則要獲得其對應(yīng)的時域信號，也可以通過原信號經(jīng)過簡單代數(shù)運算得到；(2)該變換把時域卷積(頻域卷積)變換為頻域卷積(時域卷積)，這使得分析信號的傳遞過程變得十分簡單。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為： 111()()2jxFfed?????????逆變換為： 12()()jxfxFe?????f (x)與 F( )之間的相互轉(zhuǎn)換具有完美的對稱形式。較為系統(tǒng)的理論是 Morlet 和 Grossman 于 1984 年在分析地球物理信號時作為一種信號分析的數(shù)學(xué)工具提出來的 [1]。近年來小波變換已飛速發(fā)展成為信號分析、圖像處理、語音信號處理及其它學(xué)科廣泛應(yīng)用的工具之一。(7)在電壓嚴(yán)重不平衡時，會使對于電壓過零點有嚴(yán)格要求的某些直流電機(jī)發(fā)生故障。其中短時電壓改變是指由于系統(tǒng)中發(fā)生故障或較大負(fù)載變換所引起節(jié)點電壓方均根值在短時間內(nèi)隨時間改變的現(xiàn)象，包括電壓驟升、電壓驟降以及瞬時中斷等現(xiàn)象；暫態(tài)現(xiàn)象通常是指暫態(tài)過電壓，可分為脈沖暫態(tài)和振蕩暫態(tài)兩類。電力系統(tǒng)中電能質(zhì)量問題主要分為穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)兩大類。而與 IEEE 相反，IEC 并沒有采用電能質(zhì)量這個術(shù)語，而是提出“EMC”(電磁兼容)術(shù)語，強調(diào)設(shè)備與設(shè)備之間的相互作用和影響，以及電源與設(shè)備之間的相互作用和影響，并在此基礎(chǔ)上制定出一系列相關(guān)電磁兼容標(biāo)準(zhǔn)。但實際上，不同廠家和不同設(shè)備對電源特性的要求可能相去甚遠(yuǎn)。例如電力部門可能把電能質(zhì)