【正文】 期函數(shù)。當(dāng)信號在時域內(nèi)為局域信號時，其頻域表達(dá)一定是貫穿整個頻率軸的。反之亦然。1946 年，Garbor 提出用窗函數(shù) g (x )限制傅氏變換的范圍，得到短時傅氏變換：? 131(,()2jxSTFfxged??????????其反變換為： 14 2()(,)jxRfxSTe????短時傅氏變換把時域信號變換為時頻域信號，是一種時頻分析方法，適當(dāng)選擇 g(x )可以把時頻平面均勻地劃分為柵格，獲得較好的時域或頻域局域特性。由于短時傅氏變換在全時頻平面內(nèi)的分辨率始終不變，所以根據(jù)不確定性原理 [29]： 15 14tf??A不確定性原理限制了時頻能量的同時集中，短時傅氏變換只能或在時域或在頻域內(nèi)獲得局域特性，而不可能同時在時頻兩域內(nèi)均獲得好的局域特性。由于信號處理領(lǐng)域經(jīng)常要分析信號的奇異性，因此 Garbor 變換仍不能很好地滿足要求 [27]。小波變換克服了 Garbor 變換的不足，其基本思想是按一個確定函數(shù) (x)的伸縮平移系：? 16,1{()()|,0}|abxbxaR?????把信號展開。圖 2 給出了小波變換對于時頻平面的分割情況。與短時傅氏變換時頻分辨率變化示意相對比明顯可以看出小波變換相對于短時傅氏變換的優(yōu)點(diǎn)，即隨頻率變化而改變自身的支撐域和中心頻率。1998 年 Sweldens 提出了單依托時間域構(gòu)造小波的 Lifting 方法并同 Daubechies 等一起用之于小波變換。小波變換的基本特點(diǎn)是能進(jìn)行多尺度下的時頻分析，通過對數(shù)據(jù)在不同尺度下分解，從分解結(jié)果中提取數(shù)據(jù)的特征，或通過對時頻分解結(jié)果處理并進(jìn)行重構(gòu)從而達(dá)到信號處理的目的。這一階段，國外有關(guān)小波的專著不斷的介紹到中國來，國際國內(nèi)的許多期刊和學(xué)報都陸續(xù)刊登了不少有關(guān)小波分析及其應(yīng)用的文章。近年來，小波理論在電力系統(tǒng)中得到了越來越廣泛的應(yīng)用，其特點(diǎn)是理論與應(yīng)用同時進(jìn)行。下面從幾個方面來敘述小波理論在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用情況。(2)小波理論在微機(jī)保護(hù)中的應(yīng)用小波理論在電力系統(tǒng)應(yīng)用的一個突出的領(lǐng)域，就是微機(jī)保護(hù)中的應(yīng)用，這主要是因?yàn)槲C(jī)保護(hù)集成了數(shù)字濾波、快速算法以及故障檢測與診斷等各個方面。(3)小波理論在電能質(zhì)量中的應(yīng)用小波理論在電能質(zhì)量方面的應(yīng)用包括檢測電網(wǎng)的電壓、電流、頻率是否超出規(guī)定的范圍、檢測電能質(zhì)量擾動以及對電能質(zhì)量數(shù)據(jù)壓縮等幾個方面。(4)小波理論在電力設(shè)備故障診斷中的應(yīng)用在電力設(shè)備發(fā)生故障時，一般會伴有高次諧波、突變分量或是頻率的變化，應(yīng)用小波變換基本原理，對這些暫態(tài)信號進(jìn)行分析，可以做到對電力系統(tǒng)中主要設(shè)備包括發(fā)電機(jī)、電動機(jī)、變壓器等的故障在線診斷。7第 2 章 濾波器組及小波分析理論基礎(chǔ) 濾波器組基礎(chǔ)及雙通道數(shù)字信號處理從時間上來考慮，濾波器組理論出現(xiàn)的要比連續(xù)小波變換來得晚，濾波器組理論與小波變換的聯(lián)系主要應(yīng)歸功與 Mallat 在八十年代后期所做的工作。數(shù)字濾波器在時域上是通過使用卷積的方法實(shí)現(xiàn)的，如一下式所示： 2110Nnniiyxh???其中:x 為輸入信號，y 為輸出信號，h 為濾波器系數(shù)，N 為濾波器系數(shù)的個數(shù)。卷積矩陣是一個右循環(huán)矩陣，每一行均為前一行的右移。對于低通和高通濾波器，過渡帶的陡度、通帶和阻帶的平直度是非常重要的設(shè)計要求和限制。這一系列濾8波器的通帶合在一起覆蓋整個頻率軸，因而這些濾波器是互補(bǔ)的。一個信號通過該濾波器組可以得到兩個新的信號，其一占有低半頻率范圍，其一占有高半頻率范圍。濾波器組中低通和高通濾波器按不同條件設(shè)計可以獲得不同的性質(zhì)，其中，兩通道正交鏡像濾波器組在數(shù)字信號處理中有著普遍應(yīng)用。數(shù)字信號壓縮處理方法漸漸被用于提高存儲或傳輸?shù)男?。圖 3 基本 L 帶子帶濾波策略 子帶編碼的一個簡化框圖如圖 3 所示。接下來，對子帶信號可以進(jìn)行某種處理，以取得信號處理的某種效果。子帶編碼的目的是在分解與重構(gòu)之間做必要的壓縮處理操作。雙通道正交鏡像濾波器組的典型結(jié)構(gòu)框圖如圖 4 所示，輸人信號 X[n]首先通過一個兩帶分析濾波器組得到窄帶信號 V0[n]及 V1[n]。窄帶信號 V0[n]及 V1[n]9再按系數(shù) 2 減采樣得到子帶信號 U0[n]及 U1[n]。逆過程即重構(gòu)過程則首先是子帶信號 U0[n]及 U1[n]按系數(shù) 2 增采樣得到窄帶信號，再通過一個由具有低通和高通頻率響應(yīng)的濾波器 G0(Z)和 G1(Z)組成01[]Vn及兩帶合成濾波器組并相加得到重構(gòu)信號 Y[n]。其中 a 為尺度因子，b 為時間因子。 由此可見，只有滿足允許性條件的函數(shù)才可以作為連續(xù)小波。小波變換還必須滿足重建核方程 [25]，即：100 00(,)(,),)daWTbTbKabd?????? 27其中 00,1(,)()abaKabxdC??? 28 稱為重建核，它反映了 0,ab與 ,()abx?的關(guān)聯(lián)程度。正因?yàn)檫B續(xù)小波變換是冗余的，才可以在對 a 和 b 進(jìn)行離散化時，得到信息不丟失的變換結(jié)果，也才能實(shí)現(xiàn)二進(jìn)小波變換及其反變換。形象地講，小波變換具有變焦作用，是“數(shù)學(xué)顯微鏡”。 小波變換的反變換問題也就是函數(shù) f (x)的重構(gòu)問題。連續(xù)小波反變換的定義為 [25]： ,201()()(abdafxWTxdC?????? 29 離散小波變換 由于現(xiàn)代計算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，盡管信號分析的理論工作并不完全依賴于計算機(jī)來完成，但將信號分析理論應(yīng)用實(shí)際上時，卻離不開計算機(jī)的參與。在連續(xù)小波變換中考慮的是函數(shù)族111/2,()|()abxbxa??? 210 其中 ,0,R???且 ， ()x?滿足允許條件。選擇 manb0?，其中Z?,b0 0 可以保證離散化了的小波可以覆蓋整個軸線。則從 ,(()mnnZfx??來重構(gòu) f 是可能的。到目前為止，已有多種正交基被構(gòu)造出來，這些正交基在時間和頻率上都具有非常好的局域化性質(zhì)。多分辨分析的基本思想是先在 的某個子空間中建立基底，然后利用簡單的2()LR伸縮和平移變換，把子空間的基底擴(kuò)充到 中。其中0()?{()}kZt???0Vφ稱為尺度函數(shù)， 為逼近空間。{}jZV?如果平方可積函數(shù)空間 的一系列閉子空間 是 的一個多分辨2()LR{}jZV?2()LR率分析，若 為尺度函數(shù)， 為 j 尺度空間 的規(guī)范2()t?/2,()()jjkttk???jV正交基，空間 為 在 中的正交補(bǔ)空間，即 ，小波函數(shù)jWjV1j? 1jjjW??為小波空間 的規(guī)范正交基，則這種子空間可以分解為：/2,()()jjkttk???j121JJJJVL?????對任意信號 ，都可以用多分辨率分解為()xtLR? 2141/200() ())Jjjjkkxtcdtk????????式中 J——分解的層數(shù)；——尺度系數(shù)；0()c——小波系數(shù)。初始的尺度系數(shù) 可由信號 x(t)直接采樣獲得。j下面考慮相反的過程，即重構(gòu)過程。在電氣工程術(shù)語中，上兩式稱為精確重構(gòu)子帶編碼的分析與合成過程。得到兩0()nZc?個序列接著作減采樣即保留序列中偶（奇）項(xiàng)。多分辨分析從細(xì)密到稀疏的分解及重構(gòu)過程可由圖 5 描述。從本章內(nèi)容可以看出： (1)通過基本數(shù)學(xué)理論分析，清楚了小波分析是目前時間頻率分析的最佳工具。(2)離散形式小波變換的存在，使得小波分析可以借助于計算機(jī)方便、快捷地應(yīng)用于實(shí)際系統(tǒng)的信號分析。14(4)正交小波基的存在以及多分辨分析的因人為離散小波變換的快速實(shí)現(xiàn)開辟了道路。離散小波變換等價于濾波器組的級聯(lián)實(shí)現(xiàn)。無疑，縮短待傳送信息長度的縮略法以及別的一些方法都曾在每個人類社會形態(tài)中存在使用過。Shannon 創(chuàng)立了面向有損和無損數(shù)據(jù)壓縮的智能學(xué)科，為尖端的理論向一般的普遍應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)，其成效是斐然的。像圖像壓縮標(biāo)準(zhǔn) JPEG2022 中快速小波變換的應(yīng)用。 當(dāng)前的數(shù)據(jù)壓縮方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到某些特殊數(shù)據(jù)源的潛在結(jié)構(gòu)所要求的最終極限。而且，數(shù)據(jù)簡潔描述實(shí)質(zhì)上是一個遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出壓縮概念的問題。反過來，這對于別的重要應(yīng)用如數(shù)據(jù)分類、去噪、內(nèi)插等也是很有用的。諧波分析在理論上多次給出 [16]：在解決某些涉及到無窮維函數(shù)類特征化的問題時，可以通過尋找基于某種幾何類推的新的函數(shù)描述，通過這些類推的定量實(shí)現(xiàn)，通過范數(shù)等值結(jié)果，取得突破進(jìn)展。從數(shù)據(jù)壓縮角度看，理論諧波分析所取得的進(jìn)展是非常令人感興趣的。當(dāng)然，二次型的對角化在數(shù)據(jù)壓縮和高斯過程變換編碼的聯(lián)系中有著重要意義。 通常變換編碼由三個步驟組成： (1)首先變換到頻域 (2)把變換結(jié)果分成均勻的子帶 (3)對所得子帶應(yīng)用簡單的編碼策略香農(nóng)的損失率函數(shù) R(D)理論在理論上有力地促進(jìn)了變換編碼的應(yīng)用。獨(dú)立高斯變量序列的編碼可以用編碼無記憶源的方法來有效實(shí)現(xiàn)。在實(shí)際中，一系列因素促成了變換編碼的成功和得到普遍認(rèn)同。而且變換編碼使用了具有快速算法的酉矩陣，從而在計算復(fù)雜度和編碼性能間取得了非常理想的折衷，即對于一定的成本如運(yùn)算量、運(yùn)行時間、存儲器容量等，變換編碼在性能上都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了別的方法。考慮長度為 N 的由零均值隨機(jī)變量構(gòu)成的向量 X = [X0X1 Λ XN1]T和作變換T 后所得到的隨機(jī)變量構(gòu)成的向量 Y=[Y0Y1 Λ X N1]T也即 Y=T?X。既然 RX是對稱且正半定的，所以其具有非負(fù)特征值的一全組特征向量。很明顯，用 TKL對 X 作變換將會對角化 RY []TTKLKLXER?? 32 KLT 在均方誤差(MSE)意義上滿足最好的線性逼近性質(zhì)。 然而，在現(xiàn)實(shí)中存在的往往是非高斯的清況。對于一個不連續(xù)的對象，其小波變換在不連續(xù)處出現(xiàn)大系數(shù)，在小尺度上，其小波變換在遠(yuǎn)離不連續(xù)處的地卞出現(xiàn)小系數(shù)。小波變換隱含了這樣的性質(zhì)即：比較稀疏尺度上的系數(shù)表示了整體的構(gòu)造情況，而精密尺度上的系數(shù)則反映了不連續(xù)性質(zhì)。在特征化函數(shù)類上，傅利葉變換已經(jīng)證明并不適合。即： ||()