【正文】 小波變換去噪算法中分解層數(shù)對(duì)去噪效果的影響?????????? 34 小波變換去噪算法中小波基對(duì)去噪效果的影響??????????? 35 本 章 小結(jié)??????????????????????????????? 37 5 結(jié)論 參考文獻(xiàn)? ???????????????????????????? 39 致謝??????????????????????????????? 41 1 緒論 引言 圖像是人類傳遞信息的主要媒介。是反映自然界客觀事物的，是人類認(rèn)識(shí)世界和自我的重要途徑。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，原來(lái)靠手工完成的圖像處理現(xiàn)在可以完 全依靠計(jì)算機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn)，為了使計(jì)算機(jī)可以直接對(duì)圖像進(jìn)行自動(dòng)處理，必須對(duì)圖像進(jìn)行數(shù)字化，從此數(shù)字圖像處理技術(shù)也隨之應(yīng)運(yùn)而生。 一般情況下采集到的數(shù)字圖像是含有噪聲的。圖像在生成和傳輸?shù)倪^(guò)程中灰受到各種噪聲的干擾，對(duì)信號(hào)的處理、傳輸和存儲(chǔ)造成極大的影響。對(duì)于這種“污染”，如果信噪比 SNR 低于一定水平，就會(huì)影響圖像場(chǎng)景內(nèi)容的表示，直接導(dǎo)致圖像質(zhì)量的下降。對(duì)于圖像在采集、獲取過(guò)程造成的“污染”，我們雖然盡量提高硬件設(shè)備以獲取質(zhì)量更高的圖像，但圖像傳感器的截止頻率總是有一定的，受硬件水平和價(jià)格的限制，且圖像在編碼和傳輸過(guò)程中造成的“污染”，必需采取有效的降噪技術(shù)才能 提高圖像的質(zhì)量。取出或減輕在獲取數(shù)字圖像中的噪聲稱為圖像去噪。 對(duì)圖像進(jìn)行去噪最初主要是在空域內(nèi)進(jìn)行的，圖像空域去噪方法很多，主要是通過(guò)各種濾波器對(duì)圖像進(jìn)行去噪。為了進(jìn)一步提高去噪的效果，在變換域中進(jìn)行降噪處理成為有效的方法，圖像變換 域去噪就是對(duì)圖像進(jìn)行某一種變換，然后將圖像從時(shí)域變換到變換域中，再對(duì)變換域中的圖像變換系數(shù)按照某種方法進(jìn)行處理，最后再對(duì)處理后的系數(shù)按照某種方法進(jìn)行反變換，這樣就實(shí)現(xiàn)了將圖像去除圖像噪聲的目的。不同的變換方法在變換域得到的系數(shù)都是有不同特點(diǎn)的，根據(jù)系數(shù)的特點(diǎn)合理的處理變換系數(shù)再通過(guò)反變換將圖像還原到時(shí)域，往往就可以有效地達(dá)到去除噪聲的目的。小波變換具有多分辨率分析的 特點(diǎn)，在時(shí)域、頻域都具有較強(qiáng)的表征信號(hào)局部特征的能力，因此基于小波分析的圖像去噪技術(shù)已成為圖像去噪的一個(gè)重要方法。最后往往還要在組成多維圖像信號(hào)，而圖像噪聲也將同樣受到這樣的分解和合成。 （ 4）“椒鹽”噪聲 此種噪 聲很多，例如在圖像切割過(guò)程中引起的黑圖像上的白點(diǎn)、白圖像上的黑點(diǎn)噪聲等，還有在變換域引入的誤差，在圖像反變換時(shí)引入的變換噪聲等。這些噪聲一般都是簡(jiǎn)單的加性噪聲，不會(huì)隨著圖像信號(hào)的改變而改變。圖像去噪效果的評(píng)價(jià)。這是因?yàn)橐粋€(gè)圖像經(jīng)過(guò)去噪處理后所還原圖像的質(zhì)量好壞，對(duì)于人們判斷去噪方法的優(yōu)劣有很重要的意義。目前由于對(duì)人的視覺系統(tǒng)性質(zhì)還沒有充分的理解，對(duì)人的心理因素還沒有找到定量分析方法。另一類是圖像質(zhì)量的客觀評(píng)價(jià)。一種折衷的方法是在衡量圖像“去噪”算法的優(yōu)劣時(shí)，將主觀與客觀兩種標(biāo)準(zhǔn)結(jié)合起來(lái)考慮。它只是一種定性的方法，沒有定量的標(biāo)準(zhǔn)，而且受到觀察者的主觀因素的影響，評(píng)價(jià)結(jié)果有一定的不確定性。國(guó)際上通行的有 5級(jí)評(píng)分的質(zhì)量尺度和妨礙尺度 [3]，如表 所示。在有些情況下，也可以提供一組標(biāo)準(zhǔn)圖像作為參考，幫助觀察者對(duì)圖像質(zhì)量做出合適的評(píng)價(jià)。 客觀評(píng)價(jià) 盡管主觀對(duì)去噪后圖像質(zhì)量的評(píng)價(jià)是比較權(quán)威的方式，但是在一些研究場(chǎng)合，或者由于試驗(yàn)條件的限制，也希望對(duì)去噪圖像質(zhì)量有一個(gè)定量的客觀描述。對(duì)于彩色圖像逼真度的定量表示是一個(gè)十分復(fù)雜的問題[3]。合理的測(cè)量方法應(yīng)和主觀實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致，而且要求簡(jiǎn)單易行。 （ 3）峰值信噪比： （ ） 式中表示處理后的圖像的灰度，表示原始圖像的灰度，表示圖像像素的個(gè)數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，峰值信噪比是圖像處理中最常用的圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)的客觀標(biāo)準(zhǔn)。近些年來(lái)，小波理論得到了非常迅速的發(fā)展，基于小波分析的圖像去噪技術(shù)也隨著小波理論的不斷完善取得了較好的效果。后來(lái)，人們根據(jù)信號(hào)與噪聲在小波變換下模極大值在各尺度上的不同傳播特性，提出了基于模極大值去噪的基本思想?！靶〔ㄊ湛s”被 Donoho 和 Johnstone 證明 是在極小化極大風(fēng)險(xiǎn)中最優(yōu)的去噪方法，但在這種方法中最重要的就是確定閾值。從這之后的小波去噪方法也就轉(zhuǎn)移到從閾值函數(shù)的選擇或最優(yōu)小波基的選擇出發(fā)來(lái)提高去噪的效果。這些方法均取得了較好的效果，對(duì)小波去噪的理論和應(yīng)用奠定了一定的基礎(chǔ)。但如何采取一定的技術(shù)消除圖像噪聲的同時(shí)保留圖像細(xì)節(jié)仍是圖像預(yù)處理中的重要課題。 主要工作 小波理論雖經(jīng)過(guò)多年發(fā)展，并取得了許多非常重要的研究成果。本文在前人提出的有關(guān)小波應(yīng)用的基礎(chǔ)上，展開更加系統(tǒng)、深入的分析和研究。 第一章為緒論，首先簡(jiǎn)單介紹了圖像去噪的意義，噪聲的特性和圖像質(zhì)量的評(píng)價(jià)方法。 第二章主要介紹連續(xù)小波變換、離散小波變換、小波變換性質(zhì)和多分辨分析。 第三章主要對(duì)傳統(tǒng)的去噪方法進(jìn)行了總結(jié)和對(duì)比，主要列舉了空域?yàn)V波法和頻域低通濾波法，指出其去噪的不足。 第五章為結(jié) 束語(yǔ)，對(duì)全文加以總結(jié)。傅立葉分析為信號(hào)的時(shí)域描述和頻域描述之間的相互轉(zhuǎn)換建立了橋梁，其實(shí)質(zhì)是將信號(hào)分解成不同頻率的正弦信號(hào)的疊加，從而刻畫出信號(hào)的頻率結(jié)構(gòu)分布。然而很多非平穩(wěn)信號(hào)，如音樂、語(yǔ)音信 號(hào)等它們的頻域特性都隨著時(shí)間的變化而改變，也就很難表示出這些信號(hào)在任一時(shí)刻附近的頻率特征。為了盡可能的反映頻域特征隨時(shí) 空 間的變化，前人做了很多探索，將時(shí) 空 、頻兩域結(jié)合起來(lái)對(duì)信號(hào)予以描述，提出了時(shí)頻局部化分析方法，如短時(shí)傅立葉變換，也稱窗口傅立葉變換，特別是 Dennis Gabor 選擇 Gauss 函數(shù)作為最佳窗口函數(shù)，即著名的 Gabor 變換。但由于窗口傅立葉變換所定義的窗函數(shù)的大小和形狀均與時(shí)間和頻率無(wú)關(guān)而保持不變，所以窗口傅立葉變換只是單一分辨率的分析。 針對(duì)這種情況，在 20 世紀(jì) 80 年代興起的小波分析是一種窗口面積固定但形狀可變的時(shí)頻局 部化分析方法，即具有對(duì)信號(hào)的自適應(yīng)性。特別是近年來(lái)，小波變換作為一種數(shù)學(xué)理論和方法在科學(xué)技術(shù)和工程界引起了越來(lái)越多的關(guān)注和重視。 小波分析的產(chǎn)生 [12] 小波分析的思想最早出現(xiàn)在 1910 年 Haar 提出了小波規(guī)范正交基。 1946 年， Gabor 提出窗口 Fourier 變換，對(duì) Fourier 變 換 的 不 足 起 到 了 一 定 的 彌 補(bǔ) 作 用 。 1965 年， Calderon 給 出了再生公式。 1975 年， Calderon 用他早先提出的再生公式給出了的原子分解，其形式已接近小波展開。 1984 年， Morlet 在分析地震波的局部性時(shí)，發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的 Fourier 變換不具有時(shí) 頻局部性，很難達(dá)到實(shí)際需要，因此他首先提出了小波分析的概念，并用于信號(hào)分解中。 1985 年， Meyer 創(chuàng)造性地構(gòu)造出了規(guī)范正交基，后被 稱為 Meyer 基。后來(lái)信號(hào)分析專家 Mallat 提出了多分辨分析的概念，給出了構(gòu)造正交小波基的一般方法，并以多分辨分析為基礎(chǔ)提出了著名的快速小波算法―― Mallat 算法。通過(guò)小波分析，可以將各種交織在一起的由不同頻率組成的混合信號(hào)分解成不同頻率的塊信號(hào)，能夠有效地解決諸如數(shù)值分析、信號(hào)分析、圖像處理、量子理論、地震勘探、語(yǔ)音識(shí)別、計(jì)算機(jī)視覺、 CT 成像、機(jī)械故障 診斷等問題。 小波變換 連續(xù)小波變換 [13， 14] （ 1）連續(xù)小波基函數(shù) 所謂小波 Wavelet ，即存在于一個(gè)較小區(qū)域的波。 根據(jù)小波函數(shù)的定義，小波函數(shù)一般在時(shí)域具有緊支集或近似緊支集，即函數(shù)的非零值定義域具有有限的范圍，這即所謂“小”的特點(diǎn) 。 將小波母函數(shù)進(jìn)行伸縮和平移，設(shè)其伸縮因子 亦稱尺度因子 為，平移因子為，并記平移伸縮后的函數(shù)為，則 : （ ） 并稱為參數(shù)和小波基函數(shù)。 定義小波母函數(shù)的窗口寬度為，窗口中心為，則可以求得連續(xù)小波基函數(shù)的窗口中心及窗口寬度分別為： （ ） 設(shè) 是的傅立葉變換，頻域窗口中心為，窗口寬度為，的傅立葉變換為，則有 : （ ） 所以此時(shí)頻域窗口中心及窗口寬度分別為： （ ） 由此可見，連續(xù)小波的時(shí)、頻窗口中心和寬度均是尺度因子的函數(shù)，均隨著的變化而伸縮，并且還有 （ ） 即連續(xù)小波基函數(shù)的窗口面積是不變的，這正是 Heisenberg 測(cè)不準(zhǔn)原理。 圖 小波基函數(shù)的相平面 （ 2）連續(xù)小波變換 將空間的任意函數(shù)在小波基下進(jìn)行展開，稱其為函數(shù)的連續(xù)小波變換 CWT，變換式為： （ ） 當(dāng)小波的容許性條件成立時(shí)，其逆變換為： （ ） 其中為的容許性條件?？梢娦〔ㄗ儞Q對(duì)函數(shù)在小波基上的展開具有多分辨率的特性，這種特性正是通過(guò)縮放因子和平移因子來(lái)得到的。連續(xù)小波變換具有以下重要性質(zhì)： ① 線性性：一個(gè)多分量信號(hào)的小波變換等于各個(gè)分量的小波變換之和。 ③ 伸縮共變性：若的小波變化為，則的小波變換為。 ⑤ 冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的 冗余度〔 redundancy〕，小波變換的冗余性也是自相似性的直接反映，它主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面： 1）由連續(xù)小波變換恢復(fù)原信號(hào)的重構(gòu)分式不是唯一的。 2）小波變換的核函數(shù)即小波基函數(shù)并不是唯一的，即存在許多可能的選擇（如：它們可能是非正交小波，正交小波，雙正交小波，甚至允許是彼此線性相關(guān)的 。它的選擇應(yīng)滿足定義域是緊支撐的，即在一個(gè)很小的區(qū)間之外，函數(shù)值為零，函數(shù)具有速降 特性，以便獲得空間局域化。也就是說(shuō)，小波應(yīng)具有振蕩性，而且是一個(gè)迅速衰減的函數(shù)。對(duì)于變量超過(guò)一個(gè)的函數(shù)來(lái)說(shuō)，這個(gè)變換的維數(shù)也將增加。 離散小波變換 [15] 計(jì)算機(jī)中的圖像信息是以離散信號(hào)形式存放的，所以需要將連續(xù)小波變換離散化。需要注意的是這里的離散化都是針對(duì)連續(xù)的尺度因子和連續(xù)平移因子的，而不是針對(duì)時(shí)間的。 （ 1）尺度與位移的離散化 對(duì)連續(xù)小波基函數(shù)尺度因子和平移因子進(jìn)行離散化可以得到離散小波變換，從而減少小波變換系數(shù)的冗余度。該二進(jìn)尺度分解的原理在二十世紀(jì)三十年代由 Littlewood 和 Paley 在數(shù)學(xué)上進(jìn)行了研究證明。 多分辨率分析與濾波器組 Mallat 在構(gòu)造正交小波基時(shí)提出了多分辨率分析（ MultiResolution Analysis）的概念，從空間概念上形象地說(shuō)明了小波的多分辨率特性，并將在此之前的所有正交小波基的構(gòu)造法統(tǒng)一起來(lái)，給出了正交小波的構(gòu)造方法以及正交小波的快速算法―― Mallat 算法。 小波變換是一種多分辨率分析的有利工具。尺度函數(shù)的傅里葉變換具有低通濾波的特性，小波函數(shù)的傅里葉變換具有高通濾波特性。則可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行不同尺度下的分解。 圖 嵌套的多分辨率子空間 假設(shè)原信號(hào)的頻率空間為，經(jīng)第一級(jí)分解后被分解成兩個(gè)子空間：低頻的和高頻的；經(jīng)第二級(jí)分解后被分解成低頻的和高頻的。由離散小波框架可得到子空間的以下特性： （ ） 這一結(jié)果表明：分辨率為 20 1 的多分辨率分析子空間可以用有限個(gè)子空間來(lái)逼近。圖中假設(shè)原信號(hào)的總歸一頻帶為，從圖中可以看出，被逐級(jí)分解后各子空間所占頻帶的變化情況： 、。設(shè)和分別為理想的低通和理想的高通濾波器，利用其對(duì)原 始信號(hào) x n （其正半軸歸一頻帶在 之間）的多分辨分解可表示為如圖 所示的樹形分解。正是因?yàn)槿绱耍瑘D中在濾波后才可以加入降 2 采樣，降 2 采樣的目的是為了尋求各級(jí)濾波器的一致性。這是因?yàn)榍耙患?jí)的輸出經(jīng)過(guò)了降采樣，而濾波器的設(shè)計(jì)是根據(jù)歸一頻率進(jìn)行的。第二級(jí) H0 的真實(shí)頻帶雖是，但其歸一頻率仍然是，因?yàn)榈诙?jí)輸入的采樣間隔是 2Ts，所以有。如果直接采用若干個(gè)帶通特性不同的帶通濾波器將原始信號(hào) x n 分解到多個(gè)不同的頻帶、?，因各個(gè)濾波器均不相同，因此其設(shè)計(jì)和計(jì)算量都較大，而且，隨著分解級(jí)數(shù)的增加計(jì)算量將成比例增加。樹形分解適應(yīng)由粗到精的多分辨率分析的過(guò)程。 上述信號(hào)經(jīng)過(guò)分解后也可得以重建，其重建過(guò)程是分解過(guò)程的逆過(guò)程：每一支路先進(jìn)行升采樣（即在輸入序列的每?jī)蓚€(gè)相鄰樣本間補(bǔ)一個(gè)零，使數(shù)據(jù)長(zhǎng)度增加一倍），從而恢復(fù)降采樣前序列的長(zhǎng)度；其次作相應(yīng)的低通或高通濾波；然后再對(duì)相應(yīng)級(jí)上濾波后的兩支路進(jìn)行求和。以上的分析從子空間、頻率空間的角度闡明了多分辨率分析的概念，同時(shí)，分析了多分辨率分析和濾波器組之間的密切關(guān)系。 設(shè)是的一個(gè)多分辨率分析，則可以證明，張量空間：構(gòu)成的一個(gè)多分辨率分析，并且二維多分辨率分析的二維尺度函數(shù)為 式中：是尺度函數(shù) 一維 。對(duì)于每一個(gè) ,函數(shù)系構(gòu)成的規(guī)范正交基，這里下標(biāo) j， n， m 的含義是： （ ） 我們將稱為的可分離多分辨率分析。 如果是一維多分辨率分析的正交小波基，則二維多分辨率分析的三個(gè)小波函數(shù)為： （ ） 對(duì)于每一個(gè)，它們的整數(shù)平