【正文】 圖 26 Db2 （ 5） Meyer 小波 Meyer 小波的小波函數(shù) ??x? 是在頻域中定義， Meyer 小波是具有緊 支撐的正交 小波。 Daubechies 小波研究基于小波的 2 的整數(shù)次冪的整數(shù)冪變換條件。 其波形如圖 25 所示。 Marr 小波 函數(shù)就是高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)， 其 表達(dá)式 為 ： ? ? ? ? 22 21 tett ???? 其波形如圖 24 所示。最早的小波 Haar 小波是由一組相互正交歸一化函數(shù)，即 Haar 函數(shù)導(dǎo)出，具有緊支撐正交小波函數(shù)，其定義如下：? ????????????????o th e rxxx0,121,1,210,1? 圖 23 所示為 Haar 波的函數(shù)圖像。 ghjS 2?2? 1?jW1?jS gh2?2?1?jW1?jS jS （ a） （ b） 圖 22 常用小波函數(shù)介紹 小波分析理論在該領(lǐng)域的一個非常重要的問題是，小波基的選擇，及一個最優(yōu)小波基的選取，從而優(yōu)化圖像處理。 該算法被稱為 Mallat 算法 [16]。 定理 [15] ? ?jZj WRL ???2 證明 ： 由于 ? ?0lim ??????? nnjZj VV， 則： jjnjj WVWVWWVWV ??????????? ?????????? 11221110 下面 用 ?jV 表示 jV 在 ??RL2 中的正交補， 故： ?????? ?????? 111 jjjjjjj VWVVVVV ，所以 ZjVWV jjj ???? ??? ,1 又 因為 ? ?RLVjZj 2??? 而 ??jV 在 ??RL2 中稠密， ? ? ? ?0lim ????? ?????? nnjZjj VVV 所以 ?? ?? jo VWV 0 jjnjnj WVWVWW?????? ???????? 010210 這就證明了 ? ? jZjjjjj WWWVVRL ???????? ???????? ???????? ???? 01002 蘭州交通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文） 所以 定理 實現(xiàn)了 對 ??RL2 的正交分解 。 因為 1?? jj VV ，又 因 ? ? 10 VVx ??? ， 所以 一定存在 唯一的序列 ? ? ? ?RLh Zkk 2?? 使得 ? ? ? ?kxhx k k ?? ?????? 22 ?? （ 214） 式 中 ， ? ? ? ? ? ? ? ?dxkxxkxxhk ???? ?????2222, ???? ， 序列 kh 為離散濾波器 ， 稱 式 （ 214）是 雙尺度方程 蘭州交通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文） 對（ 214） 同一時間雙方對傅里葉變換，有： ? ? ??????? ??????? 221 ^2/^ ???? ?ikk k eh （ 215） 令 ? ? ?? ikk kehh????????^ ，則 ? ? ????????????? 2221 ^^^ ????? h （ 216）[5] 定理 [3] 若 ? ? ? ?RLx 2?? 是一個尺度函數(shù)， 則 ???^h 滿足頻域正交條件的等價形式 為 ： ? ? ? ? 22^2^ ??? ??? hh （ 217） ??RL2 的正交分解 因為 1?? jj VV ， 則 令 jW 是 jV 在 1?jV 中的正交補，即 jjj WVV ???1 ， 則存在 ??RL2 空間中的小波函數(shù) ? ?kxjjkj ?? 22 2/, ?? 為 jW 的標(biāo)準(zhǔn)正交基 。 1?jV jV 1?jV0V 圖 21 定理 若 ??x? 的平移族 ? ?? ? zkkx ??? 構(gòu)成 0V 空 間 的 標(biāo)準(zhǔn) 正 交基 ， 即 ：? ? ? ? mndxnxmx ??? ????????的充要條件是 ? ? 12 2^ ????????kk??? 。較小的規(guī)模，把更多的信息，那么信息的觀察。所以，它更多的是信息。 事實上，如果它是物體的尺度 j 的眼睛觀察到的，和對象實際上是三維物體的兩側(cè)，當(dāng)規(guī)模增大到 J + 1。在大尺度空間，對應(yīng)于遠(yuǎn)鏡頭觀察目標(biāo)，只看到目標(biāo)，而在小尺度空間，對應(yīng)于最后一個鏡頭的觀察，可以在目標(biāo)表的一小部分。 多分辨分析 多分辨率分析的基本思 路 是，目標(biāo)可以從粗到細(xì)的在每個尺度的規(guī)模由大變小。 施工方法不僅提供了一個正交 MRA 小波是比較簡單的，但它也提供了理論基礎(chǔ)，快速算法正交小波變換 ..但多采樣濾波器的想法，巧合的是，小波變換和數(shù)字濾波理論相結(jié)合。 若 ? ? ? ?RLxf 2? ， 則 ??xf 的離散小波變換定義為 ： ? ? ? ? ? ?dxkxxffkjfW jjkj ??? ?????22, 2/, ??? （ 212） 其 相應(yīng)的 逆變換為 ： ? ? ? ? ? ?kxkjfWxf jjj k ?? ? ?????? ????? 22, 2/ ?? （ 213） 定義 [3]函數(shù) ? ? ? ?RLx 2?? ，若存在二常數(shù) ???? BA0 ，使得 ? ? BA j j ?? ?????? ? 2^ 2 ?? （ 214） 蘭州交通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文） 那么稱 ??x? 為二進(jìn)小波 。因而 離散后的函數(shù)??xba,? 變?yōu)?? ?? ? Zjbkaxaa jjj ?? ? ,0002/0 ? 在實際 運用 中，我們通常取 0a =2， 0b =1，這時 ??xba,? 變?yōu)?? ?? ?kxjj ?22 2/ ? ， 這時 記? ? ? ?? ?kxx jjkj ?? 22 2/, ?? ，稱為 ??xba,? 為離散小波。 [10] 離散小波變換 之前我們 定義的 連續(xù)小波基函數(shù) ： ? ? ?????? ?? a bxaxab ?? 1 （ 211） 式中， 由于 冗余信息連續(xù)小波變換系數(shù)的量是多余的， 但 在某些情況下，連續(xù)小波變換是有用的（例如在圖像去噪和特征提取， 數(shù)據(jù)恢復(fù)，連續(xù)小波變換的計算和存儲成本，以獲得更好的結(jié)果 ，因此，我們希望在不丟失原始信號，因此變換，為了解決這個問題，一個離散的，消除或減少冗余的最大范圍內(nèi)， 適用于數(shù)字計算機處理 。 內(nèi)積定理 ： 對 于 ? ? ? ?RLxf 2? ， 則 有 ? ? ? ?22, RLbafW ?? ，并且對 ? ? ? ? ? ?RLxgxf 2, ? ，會有 ： ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?xgxfCbagWbafw , ??? ? （ 29） （ 4） 能量關(guān)系 ： 當(dāng)內(nèi)積定理中的信號 為 ? ? ? ?xgxf ? 這個時 ，內(nèi)積定理 就可以 變?yōu)?：? ? ? ? dxxfCdbbafWdaa 220 2,1 ??? ?????????? ??? （ 210） 蘭州交通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文） 同時稱 式（ 210）為能量關(guān)系。 小波函數(shù)的可容許它是否滿足條件（ 21），存在逆變換。 它們是 一組函數(shù)系列，這組函數(shù)系列是 由同一母函數(shù) ??x? 經(jīng)伸縮和平移后得到的 。 2）波動性： 若設(shè) ????^ 在點 0?? 連續(xù)，則由容許性條件得 ： ? ? ? ? 00^ ????????? dxx （ 22） 連續(xù)小波函數(shù) 定義 ： 將小波母函數(shù) ??x? 進(jìn)行伸縮和平移， 設(shè)置收縮系數(shù) 為 a（即比例 因子） ，平移系數(shù) 為 b， 使 張力的作用轉(zhuǎn)換功能 后 的函數(shù)為 ??xba,? ， 則有 ? ? ?????? ?? ? a bxaxba ?? 21, ， a0, Rb? （ 23） 稱 ??xba,? 為依賴于參數(shù) a， b 的小波 基 函數(shù) 。 [1] 根據(jù)定義 ，小波函數(shù)有兩個特點 ： 1）小： 他們有一個緊定套緊湊型或時域逼近知道 ..定義的任何空間能力受理條件能滿足 MRAM 作為母小波（包括真實或復(fù)雜的功能，隨著緊湊的支持或無緊湊等功能的支持。 本文詳細(xì)介紹了小波分析的基本理論， 這些理論的研究奠定了基礎(chǔ)。 2. 小波 變換 分析的基本理論 小波分析是目前一個新的領(lǐng)域是應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程學(xué)，功能強大的工具的非平穩(wěn)信號分析與處理的一個迅速發(fā)展的學(xué)科，經(jīng)過不斷探索許多學(xué)者和研究的基板，它是由小波定位功能的形式，同時保留基于傅立葉分析小波分析的優(yōu)勢， 許多特殊的性質(zhì)和優(yōu)點，以及具有小波分析是比較合理的頻率表示子帶和多分辨率分析。 第五章：研究內(nèi)容的全文，全文的創(chuàng)新；對 這篇文章中 的 有些 不全面的研究， 產(chǎn)生了 許多想法 和建議。 第二章 ： 小波變換理論進(jìn)行了介紹，并對圖像進(jìn)行小波變換的描述，這為圖像的小波去噪在下面的章節(jié)中，奠定了理論基礎(chǔ) 第三章 ： 小波閾值收縮法，閾值的選擇和功能的降噪效果，和硬閾值和軟閾值進(jìn)行說明。 本文的主要工作 基于小波變換理論，小波閾值去噪 法和小波圖像進(jìn)行了研究。雖然小波變換和小波去噪，小波變換可以保持邊緣，由于其多分辨率特征 ..因為后小波變換，在圖像的大振幅特性的小波系數(shù)，與相鄰之間的規(guī)模有很強的相關(guān)性，以方便圖像信號特征提取和保護(hù)。這個小波去噪可通過在圖 12 所示的流程圖來表示，實際上，低通濾波器和特征提取的組合，可以看出。 因此，小波空間，以便找到從實際信號空間，并降低噪音的原始信號的最佳恢復(fù)最優(yōu)小波函數(shù)測繪。 因此，提出的解決方法是自適應(yīng)閾值選擇擴張的正態(tài)分布和有色噪聲，對電流噪聲 問題的基礎(chǔ)上，近年來，基于小波閾值的小波變換算法，噪聲去除方法 ,仍然非常有的，總是已經(jīng)更新方法， 也可以看到，人的研究不僅具有閾值的價值和功能，研究方向已經(jīng)轉(zhuǎn)向限制獲取信號的先驗信息， 為了找到優(yōu)越的噪聲降低更適當(dāng)?shù)拈撝祷蜷撝凳噶浚⑹褂迷撔畔?。然而，這些方法，因為它是和基于噪聲分布的獨立性假設(shè)，因為大多數(shù)的那些閾值收縮方法開發(fā)的，如果使用這些方法的非高斯白噪聲，降噪效果不是很理想。另一方面，由于jobnstone 和 Donohoti 提出的這個 系數(shù)是 有著 非常嚴(yán)重的 “殺 ”的趨勢，許多學(xué)者研究了閾值的選取問題，并給出了確定的閾值選取方法的多種。然而，在實踐中，前知道噪聲水平這個問題是不可能的， marraten GCV（廣義交叉驗證杰森等人的方法，需要知道噪音的大小的先驗知識不是。 1992 年，多諾霍和約翰斯通提出的小波收縮方法（小波收縮），并提出了小波收縮閾值和上閾值縮水最佳漸近小波。如果情況是在小波系數(shù)比的閾值濾波算法的閾