【正文】 A3 AAD3 ADA3 ADD3 DDD3 共 47 頁 第 12 頁 的等價表示為 121 ?? ?? njnjnj UUU Zj? ； ??Zn () 定義（小波包） 由式（ ）構造的序列 ? ?)(tun （其中 ??Zn ）稱為由基函數 )(0tu = )(t?確定的正交小波包。當 n=0 時，以上兩式直接給出 ?????????????ZkkZkkktugtuktuhtu)2()()2()(0100 () 與在多分辨分析中， )()( tt ?? 和 滿足雙尺度方程： ?????????????ZkkZkkktgtktht)2()()2()(???? ? ?? ? 22lglhZkkZkk ???? () 相比較， )(0tu 和 )(1tu 分別退化為尺度函數 )(t? 和小波基函數 )(t? ?，F在，我們希望幾擬議部對小波 子空間 jW 按照二進制分式進行頻率的細分，以達到提高頻率分辨率的目的。 小波包的定義 在多分辨分析中，jzj WRL ???)(2 ,表明多分辨分析是按照不同的尺度因子 j 把Hilbert 空間 )(2RL 分解為所有子空間 )( ZjWj ? 的正交和的。 關于小波包分析的理解，我們這里以一個三層的分解進行說明，其小波包分解樹如圖 AA2 DA2 AD2 DD2 A1 D1 S 共 47 頁 第 11 頁 圖 小波包分解樹 圖 中， A 表示低頻， D 表示高頻，末尾的序號數表示小波分解 的層樹（也即尺度數）。多分辨分析可以對信號進行有效的時頻分解，但由于其尺度是按二進制變化的，所以在高頻頻段其頻率分辨率較差，而在低頻頻段其時間分辨率較差，即對信號的頻帶進行指數等間隔劃分（具有等Q 結構）。除了連續(xù)小波 (CWT)、離散小波 (DWT)，還有小波包（ Wavelet Packet）和多維小波。不過這時尺度因子已經改變。近似部分代表了信號的主要特征。最有效的計算方法是 s． Mallat 于 1988年發(fā)展的快小波算法 (又稱塔式算法 )。 實際計算中不可能對全部尺度因子值和位移參數值計算 CWTa,b 值，加之實際的觀測信號都是離散的，所以信號處理中都是用離散小波變換 (DwT)。所以對應的離散小波函數 )(, tkj? 共 47 頁 第 10 頁 即可寫作 )()()(002/00 002/0, kbtaaa bkatat jjjjjkj ???? ??? ??? () 而離散化小波變換系數則可表示為 ???? ???? kjkjkj fdtttfC ,* , ,)()( ?? () 其重構公式為 ? ???? ???? )()( , tCCtf kjkj ? () C是一個與信號無關的常數。這一點與我們以前習慣的時間離散化不同。因此，有必要討論連續(xù)小波 )(, tba? 和連續(xù)小波變換 ),( baWf 的離散化。例如，在二維時，可定義 ))(()( 11, a btRatba ?? ?? ?? ?? () 這里， 2,0 Rba ?? ， ???????? ?? ?? ??? c ossin sinc osR，相容條件變?yōu)? ?? ??? ? ?? ????? 20 202 )s i n,c os(?)2( drrrdrC () 該等式對應的重構公式為 ? ????? 0 20 ,31 ),(2 ? ?? ??? dbaWdbadaCf bafR () 對于高于二維的情況，可以給出類似的結論。 高維連續(xù)小波變換 對 )1)(()( 2 ?? nRLtf n ，公式 ? ???? ??? ?? dadba btbaWaCtf f )(),(11)( 2 ?? () 存在幾種擴展的可能性，一種可能性是選擇小波 )()( 2 nRLtf ? 使其為球對稱，其傅立葉變換也同樣球對稱， )()(? ???? ? () 并且其相容性條件變?yōu)? 共 47 頁 第 9 頁 ??? ?? tdttC 0 22 )()2( ??? () 對所有的 )(, 2 ngLgf ? 。 （ 2）小波變換的核函數即小波函數 )(, tba? 存在許多可能的選擇（例如，它們可以是非正交小波、正交小波、雙正交小波，甚至允許是彼此線性相關的）。 小波變換的冗余性事 實上也是自相似性的直接反映，它主要表現在以下兩個方面： （ 1）由連續(xù)小波變換恢復原信號的重構分式不是唯一的。 連續(xù)小波變換具有以下重要性質： （ 1）線性性：一個多分量信號的小波變換等于各個分量的小波變換之 和 （ 2）平移不變性：若 f（ t）的小波變換為 ),( baWf ，則 )( ??tf 的小波變換為),( ??baWf （ 3）伸縮共變性：若 f（ t）的小波變換為 ),( baWf ，則 f（ t）的小波變換為0),(1 ?ccbcaWc f ， （ 4）自相似性：對應不同尺度參數 a 和不同平移參數 b 的連續(xù)小波變換之間是自相似的。值得指出的是，一個小波的對偶小波一般不是唯一的，然而，在實際應用中，我們又總是希望它們是唯一對應的。這意味著，為了滿足完全重構條件式， )(??? 在原點必須等于 0，即 0)()0(? ?? ???? dtt?? () 為了使信號重構的實現在數值上是穩(wěn)定的，處理完全重構條件外，還要求小波 )(t? 的傅立葉變化滿足下面的穩(wěn)定性條件： ???? ? ?? BA j 2)2(? ?? () 式中 0〈 A? B〈 ? 從穩(wěn)定性條件可以引出一個重要的概念。其中 a為伸縮因子， b為平移因子。將母函數 )(t? 經伸縮和平移后得 )(1)(, a btatba ?? ?? 0。尺度越大，采用越大的時間窗，尺度越小，采用越短的時間窗，即尺度與頻率成反比。 共 47 頁 第 7 頁 小波變換 小波變換提出了變化的時間窗，當需要精確的低頻信息時，采用長的時間窗，當需要精確 的高頻信息時，采用短的時間窗。因此，短時傅立葉變換用來分析平穩(wěn)信號猶可，但對非平穩(wěn)信號，在信號波形變化劇烈的時刻，主頻是高頻，要求有較高的時間分辨率（即 ? 要?。?，而波形變化比較平緩的時刻，主頻是低頻，則要求有較高的頻率分辨率（即 ? 要?。?。很顯然，希望 ? 和 ? 都非常小，以便有更好的時頻分析效果，但還森堡測不準原理指出 ? 和 ? 是互相制約的，兩者不可能同時都任意?。ㄊ聦嵣希??? ? 21 ，且僅當 22 24/11)( ??? tetg ?為高斯函數時，等號成立） 由此可見，短時傅立葉變換雖然在一定程度上克服了標準傅立葉不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在著自身不可克服的缺陷，即當窗函數 g(t)確定后，矩形窗口的形狀就確定了， ? ， ? 只能改變窗口在相平面上的位置，而不能改變窗口的形狀。因此， g（ t）往往被稱之為窗口函數， ),( ??S 大致反映了 f（ t）在時刻 ? 時、頻率為 ? 的“信號成分”的相對含量。在這個變換中， tje? 起著頻限的作用， g(t)起著時限的作用。短時傅立葉變換的基本思想是：把信號劃分成許多小的時間間隔，用傅立葉變換分析每一個時間間隔，以便確定該時間間隔存在的頻率。這就是所謂的時頻分析法，也稱為時頻局部化方法。 在實際的信號處理過程中，尤其是對非平穩(wěn)信號的處理中，信號在任一時刻附近的頻域特征都很重要。而其傅立葉譜是信號的統(tǒng)計特性，從其表達式中也可以看出，它是整個時間域內的積分，沒有局部 化分析信號的功能，完全不具備時域信息，也就是說，對于傅立葉譜中的某一頻率，不知道這個頻率是在什么時候產生的。 雖然傅立葉變換能夠將信號的時域特征和頻域特征聯系起來，能分別從信號的時域和頻域觀察，但卻不能把二者有機地結合起來。這些特性是信號 共 47 頁 第 6 頁 的最重要部分。但是 ,傅立葉變換有著嚴重的缺點：變換之后使信號失去了時間信息，它不能告訴人們在某段時間里發(fā)生了什么變化。對很多信號來說， 傅立葉 分析非常有用。由于變換域的作用空間比較特殊，不同于以往的空域處理方法 .因此可以實現許多在空間域中無法完成或是很難實現的處理，廣泛應用于濾波、壓縮編碼等方面。圖像數字化是將一個圖像和變換為適合計算機處理的形式的第一步；圖像編碼技術可用于傳輸和存儲圖像；圖像增強復原是圖像處理的最 后目的，也可以為進一步的處理作準備；通過圖像分割得到的圖像特征可以作為最后結果，也可以作為下一步圖像分析的基礎。 上述圖像處理的內容往往是互相有聯系的。 (6)圖像分割 ： 將圖像劃分為一些互不重疊的區(qū)域。 (4)圖像平滑：可以減小噪聲，且對圖像恰當平滑，能使圖像特征得到較好保護， 共 47 頁 第 5 頁 使其更加明顯。 (3)圖像增強 ： 使圖像清晰或將其轉換為更適合人或機器分析的形式。將圖像數字化的設備有各種掃描儀與數字化儀。根據應用鄰域的不同要求，可以將圖像處理技術劃分為許多分支，其中比較重要的分支有： (1)圖像數字化 ： 通過取樣與量化過程將圖像變換成便于計算機處理的數字形式。 圖像處理技術 圖像處理的基礎是數學，最主要的任務就是各種算法的設計和實現 。到目前為止，圖像處理在圖像通訊、辦公自動化系統(tǒng)、地理信息系統(tǒng)、醫(yī)療設備、衛(wèi)星照片傳輸及分析和工業(yè)自動化領域的應用越來越多。 數字圖像處理從一幅或是一批圖像的最簡單的處理，如特征增強、去噪、平滑等基本的圖像處理技術，到圖像的特征分析和提取，進而產生對圖像的正確理解或者遙感圖像的解譯，最后的步驟可以是通過 專家的視覺解譯，也可以是在圖像處理系統(tǒng)中通過一些知識庫而產生的對圖像的理解。因此圖像成為心理學、生理學、計算機科學等諸多領域研究視覺的有效工具，同時圖像處理成為一門多學科交叉的綜合性學科。 數字圖像處理是一門較年輕的學科，盡管其發(fā)展歷史不長， 但它己受到廣泛的關注。數字圖像處理是將一幅圖像變?yōu)榱硪环涍^修改 (改進 )的圖像的表示。本論文涉及到的圖像處理都是指數字圖像的處理。 圖像處理 (Image Processing)是將圖像 轉換為一個數字矩陣存放在計算機中，并采用一定的算法對其進行處理?？茖W研究和統(tǒng)計表明，人類從外界獲得的信息約有 共 47 頁 第 4 頁 75%來自于視覺系統(tǒng)，也就是說人類的大部分信息都是從圖像中獲得的。總而言之，隨著計算機技術的日益發(fā)展，圖像處理技術將日益完善，圖像處理的應用范圍將越加深入和廣泛。 隨著科技進步以及人類需求的多樣化的發(fā)展，多學科的交叉、融合已是現代科學發(fā)展的突出特點和必然途徑，而圖像處理科學又是一門與國計民生緊密相連的一門應用科學，它的發(fā)展與應用與我國的現代化建設聯系密切，影響深遠。 (3) 硬件芯片研究，將圖像處理的眾多功能固化在芯片上將會有更加廣闊的應用領域。 圖像處理技術未來發(fā)展大致可歸納為如下四 點 : 共 47 頁 第 3 頁 (1) 圖像處理的發(fā)展將向著高速、高分辨率、立體化、多媒體化、智能化和標準化方向發(fā)展。 隨著計算機的廣泛使用，各種專用或通用的圖像處理系統(tǒng)已經開始普及。 (4) 圖像處理技術在軍事、政法等方面也有廣泛的應用。 (3) 在工業(yè)方面，先進的工業(yè)機器人的應用，就是建立在圖象處理、模式識別和人工智能基礎上。 (2) 在生物醫(yī)學領域中，應用數字圖像處理技術對心電、腦電、超聲波及各種放射性圖像進行自動分析，對細胞、染色體等顯微圖像 進行自動檢測。此后，隨著計算機的使用和空間技術的發(fā)展，圖像處理技術得到迅速地發(fā)展和完善，并成功地應用在許多領域。 圖像處理的應用以及發(fā)展動向： 從六十年代起，隨著電子計算機 技術的發(fā)展，數字圖像處理獲得了飛躍的發(fā)展。 (3)MATLAB 數學函數庫 :MATLAB 擁有龐大的函數庫 ,這些函數都是由諸如加法、三角函數、復數算法等 MATLAB 的基本函數或命令所組成 ,其中有矩陣求逆、特征值、貝塞爾 (Bessel) 函數、快速傅里葉 (Fourier) 變換等較為復雜的運算函數。 (2)MATLAB 工作環(huán)境 :為用戶提供各種分析、模擬、計算的工具 ,用戶也可以用MATLAB 設計自己的專用工具 ,為此 MATLAB 提供了編寫程序的控制、調試、擴充工具。 MATLAB 由如下幾個方面組成 : (1)MATLAB 語言 :這是一種適合于矩陣運算的高級語言 ,它具有函數、數據結構、輸入 / 輸出、面向對象 (O