【正文】 = （515）下面，討論一下基數(shù)B樣條的兩尺度關(guān)系。由基數(shù)B樣條的定義可知： （513）這樣，便很容易求出、和的分段表達式?，F(xiàn)在，討論一下B樣條的定義及一些性質(zhì)。5．2 基數(shù)樣條空間和B樣條基數(shù)樣條空間【19】指的是具有等距節(jié)點的多項式樣條函數(shù)空間。因此，對不同大小的S值，可以得到不同尺度下的劇變點，這就是多尺度邊緣檢測，相當(dāng)于小波分解后對不同頻率的信號進行檢測。由于是平滑函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，所以二維二進小波變換的兩個分量等價于信號被平滑后的梯度矢量的兩個分量，即為： （57）在上式中有尺度，稱為二進尺度。我們令： （53）并定義小波變換的兩個分量： （54）任意的的二進制小波變換定義為如下函數(shù)族： （55）為了保證小波變換的完備性和穩(wěn)定性，還必須滿足下面的條件：存在兩個正常數(shù)A和B，對，使得 （56）上式中，和分別表示和的傅里葉變換。梯度矢量的方向指出了圖像灰度值變化最快的方向。此外，因物體大小有差別，它們的邊緣也就有不同的尺度。本章也是全文的核心，通過研究小波多尺度變換，提出了用改進的B樣條函數(shù)作為小波函數(shù)，對圖像進行多尺度的邊緣檢測【18】。小波變換能夠?qū)D像分解成多種尺度成分，并對大小不同的尺度采用相應(yīng)的時域或空域取樣步長，因此能夠捕捉到任何微小的細節(jié)。而這個梯度又可以利用二元函數(shù)在此點處兩個正交方向上的方向?qū)?shù)來求，即為： （417）而邊緣的方向可以由下式計算： （418）然后，用閾值操作檢測其局部最大值就可得出檢測結(jié)果。由于求導(dǎo)和求卷積是可以結(jié)合的，所以可以先用高斯函數(shù)濾波，然后再求導(dǎo)，即 （416） 顯然，上式可以看成是先用高斯濾波器進行平滑，再求梯度?？偠灾辛诉@三個準則的數(shù)學(xué)表達式，尋找最優(yōu)濾波器的問題就轉(zhuǎn)化為泛函約束優(yōu)化問題,為計算帶來了很大的方便。因為越小定位越準確，所以定位準則的數(shù)學(xué)表達式為： （411）我們要找到函數(shù)，使得下式達到最大值： （412）（3）在理想情況下，用濾波器對噪聲響應(yīng)的兩個最大值之間的距離來近似濾波器對一個邊緣點的長度。經(jīng)過濾波后，邊緣點處的信號響應(yīng)為： （47）而噪聲響應(yīng)的平方根為： （48）于是，Canny第一個準則的數(shù)學(xué)表達式為： （49）（2）定位準則。三準則的數(shù)學(xué)表達式如下：（1）好的檢測結(jié)果。最為重要的是，Canny給出了這3個準則的數(shù)學(xué)表達式【17】，使得尋找給定條件下最優(yōu)算子轉(zhuǎn)化為泛函優(yōu)化問題，從而為最優(yōu)濾波器的選擇開辟了更有效的道路。即標示出的邊緣位置要和圖像上真正的邊緣位置充分接近。即為對邊緣的檢測錯誤率要盡量低，表現(xiàn)在：一方面在圖像上有邊緣的地方不應(yīng)該沒有；另一方面也不要出現(xiàn)本來圖像上沒有的虛假邊緣。由于上面的原因，Laplace算子很少直接用于檢測邊緣，而主要應(yīng)用于已知邊緣的像素后，確定該像素是在圖像的暗區(qū)或明區(qū)一邊。實現(xiàn)Laplace運算的幾種模板如下： 由于Laplace算子是一種二階導(dǎo)數(shù)算子，因此對噪聲特別敏感。因為它只用一個模板，并且不必綜合各模板的值。4．2．5 Robinson邊緣檢測算子Robinson邊緣檢測算子也是一種邊緣樣板算子，其算法和Prewitt邊緣檢測算子相似，不同的是8個樣板，如下： 選擇適當(dāng)?shù)拈T限TH，如果TH，則為階躍狀邊緣點，即為邊緣圖像。依次用邊緣樣板去檢測圖像，與被檢測區(qū)域最為相似的樣板給出最大值，然后用這個最大值作為算子的輸出值，這樣可以將邊緣檢測出來。4．2．4 Prewitt邊緣檢測算子Prewitt邊緣檢測算子是一種邊緣樣板算子。它對噪聲具有平滑作用，能夠得到較為準確的邊緣信息。特別是使用大的鄰域時，抗噪性能會更好，但缺點是這樣會相應(yīng)的增加計算量，而且得出的邊緣會比較粗。因此，Sobel算子的定義如下： =+它的卷積算子為： 選擇適當(dāng)?shù)拈T限TH，如果TH，則為階躍狀邊緣點，即為邊緣圖像。檢測垂直和水平邊緣的效果好于斜向邊緣，其優(yōu)點是定位精度高，缺點是對噪聲敏感。4．2．2 Roberts邊緣檢測算子Roberts邊緣檢測算子根據(jù)任意一對相互垂直方向上的差分可用來計算梯度的原理，采用對角線方向相鄰兩像素之差，即： （43）有了，后，可以根據(jù)下式計算出Roberts的梯度幅度值： 或 （44）它們的卷積算子為： （45）選擇合適的門限TH，如果TH，則為階躍狀邊緣點，即為邊緣圖像。根據(jù)灰度迅速變化處一階導(dǎo)數(shù)達到最大值原理，就必然要求差分方向與邊緣方向垂直，也就要通過對各個不同方向求一階導(dǎo)數(shù)的最大值來檢測邊緣。但是，用這種方法就必須使差分的方向與邊緣方向垂直，這就需要對圖像的不同方向都進行差分運算，實際上增加了運算的復(fù)雜性。4．2 常用的邊緣檢測算子4．2．1差分邊緣檢測方法可以利用像素灰度的一階導(dǎo)數(shù)在灰度急劇變化處得到峰值來進行奇異點的檢測。為了簡便，也可以將定義為偏導(dǎo)數(shù)的絕對值之和，如下： （42）人們根據(jù)這些理論提出了許多算法，現(xiàn)在比較常用的邊緣檢測方法有差分檢測法、Roberts邊緣檢測算子、Sobel算子、Prewitt【14】算子、Robinson算子、Laplace算子、Canny算子【15】和LOG算子【16】等等?？梢杂洠? （41）為圖像的梯度，中包含局部灰度的變化信息。我們將邊緣定義為圖像中灰度發(fā)生急劇變化的區(qū)域邊界，它的變化情況可以用圖像灰度分布的梯度來反映，因此我們可以用局部圖像微分的方法來獲得邊緣檢測算子。因此，邊界檢測必須包含兩方面的內(nèi)容：首先要提取出反映灰度變化的邊緣點，然后去除某些邊界點或替補某些缺失點，使得這些點能夠連成一條完整的直線。所以，應(yīng)將局部邊緣聚合到一副圖像中，使其中只出現(xiàn)對應(yīng)于存在的物體或圖像部分的邊緣鏈?；谶吘壍姆指钜蕾囉谶吘墮z測算子找到的圖像邊緣，這些邊緣顯示了圖像在紋理、色彩和灰度等方面的不連續(xù)的位置。本章首先討論了傳統(tǒng)的基于分割的邊緣檢測方法；然后對幾種經(jīng)典的邊緣算子進行理論分析，并對各自的特點做出了比較和評價；最后介紹Canny連續(xù)準則及其算法。第四章 圖像的邊緣檢測所謂邊緣是指其周圍像素灰度有變化的那些像素的集合，它是由灰度的不連續(xù)來反映的。它可以進一步細化為多個研究方向：圖片處理、模式識別、景物分析、圖像理解、光學(xué)處理等等。由于在實際中，信號絕大多數(shù)是非穩(wěn)定的，而小波分析正是適用于非穩(wěn)定信號的處理工具?？偟膩碚f，小波分析的應(yīng)用是與小波分析的理論研究緊密聯(lián)系在一起的。小波分析是近20年發(fā)展起來的新興科學(xué)，作為一種快速、高效、高精度的近似方法，給許多學(xué)科的研究領(lǐng)域帶來了新的思想。對得到的新小波系數(shù)進行逆小波變換，得到去噪后的圖像。Donoho等人提出了一種典型的閾值選取方法，在理論上給出并證明了閾值與噪聲的方差成正比，記為小波分解次數(shù)，則有： （324）可以總結(jié)出基于小波變換的閾值去噪法的步驟如下：選擇合適的小波，對所給的信號進行小波變換，得到小波變換系數(shù)W。軟閾值化與硬閾值化是對超過閾值的小波系數(shù)進行縮減的兩種主要方法。給定一個閾值，所有絕對值小于的小波系數(shù)歸為噪聲，將其值用0代替；超過的小波系數(shù)的值，被縮減后再重新取值。如果一個信號能量集中于變換域少數(shù)小波系數(shù)上，那么它們的取值必然大于在變換域內(nèi)能量分散的大量信號和噪聲的小波系數(shù)，這種情況下就可以用閾值方法。c：硬閾值方法或軟閾值方法。b：基于相關(guān)性：首先對含噪信號做小波變換，然后計算相鄰尺度間小波系數(shù)的相關(guān)性，根據(jù)相關(guān)性的大小區(qū)別小波系數(shù)的類型，做出取舍，最后進行重構(gòu)。小波去噪的方法，大致有如下幾種：a：基于小波變換極大值原理。c：基波選擇的靈活性。b：多分辨性。小波去噪【12】的成功主要是因為小波變換有如下的特點： a：低熵性。噪聲對圖像處理十分重要，它影響圖像的輸入、采集、處理的各個環(huán)節(jié)，如果噪聲不能很好的抑制，必然影響處理的全過程和輸出結(jié)果。而對于一個圖像，表現(xiàn)它的最主要的部分是低頻部分，所以最簡單的壓縮方法是利用小波分解，去掉圖像中的高頻部分而保留低頻。一個圖像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子圖像，不同分辨率的子圖像對應(yīng)的頻率是不同的。它具有壓縮速度快、壓縮比高、壓縮后能保持信號與圖像的相關(guān)特征不變等特點，且在傳輸中可以抗干擾。根據(jù)解碼后的數(shù)據(jù)跟原始數(shù)據(jù)是否完全一致將圖像壓縮方法分為無失真編碼和有失真編碼。壓縮就是想法去掉各種冗余，保留真正有用的信息。值得一提的是，基于小波變換的圖像壓縮的部分算法已融入JPEG2000標準【6】中。小波變換由于具有良好的時域局部化性能，有效的克服了Fourier變換在處理非平穩(wěn)的復(fù)雜圖像信號時的局限性，因而在圖像壓縮領(lǐng)域受到了廣泛的重視。本小節(jié)簡單介紹一下小波分析在圖像處理的應(yīng)用?，F(xiàn)在，對于性質(zhì)穩(wěn)定不變的信號，處理的理想工具仍然是Fourier變換。注意到小波變換的定義式（39），式（318）正好是式（39）中的情形，這時，小波系數(shù)變成： （321）3．3 小波分析在圖像處理中的應(yīng)用由于圖像在人們的日常生活中無處不在，對圖像的處理隨之也成為當(dāng)代科學(xué)技術(shù)工作的重要部分。3．2．3小波級數(shù)首先，從正交小波的定義開始，記： （317）一個小波稱為一個正交小波，如果是的一個規(guī)范正交基，即： （318）而且，每個都能寫成： （319）上面的定理中，對，表示空間的內(nèi)積，而表示函數(shù)的復(fù)共軛。這時，相應(yīng)的離散族為： （315）相應(yīng)的離散小波變換為： （316）要用函數(shù)的離散小波變換數(shù)值穩(wěn)定的重構(gòu)，就需要離散族是空間的一個框架或一個基。因此，選取，其中取遍Z，而是固定的。對于固定的伸縮步長，可選取，為不失其一般性可假定（或）。3．2．2離散小波變換在連續(xù)小波變換中，考慮： （314）這時，用函數(shù)f(t)的連續(xù)小波變換就可以重構(gòu)函數(shù)，我們知道，這種重構(gòu)是冗余的。給小波再加上一個容性條件（312）后，一個函數(shù)就能用連續(xù)小波變換式（311）重構(gòu)。相應(yīng)的，式（311）成為關(guān)于該基小波的連續(xù)小波變換。我們知道，在Fourier變換中有時域中的Fourier變換和頻率中的逆Fourier變換。3．2．1連續(xù)小波變換設(shè)，則稱： （311）為連續(xù)小波變換（常簡稱小波變換）。以下是幾種常見的小波函數(shù)的坐標圖像 圖31 Gauss小波 圖32 shannon小波 圖33 meyer小波3．2 小波變換小波變換【10】是對Fourier變換、Gabor變換的進一步延伸。所以式（39）中的又稱為規(guī)范化因子。下面給出一些小波的例子。還有，由積分的幾何意義可以看出的圖像與x軸所夾的上半部分的面積與下半部分面積是相等的。下面簡述一下小波在直觀上的特點。以后提到信號f(t)都是指它是能量有限的。因為這些特點，小波分析可以探測正常信號中的瞬態(tài)，并展示其頻率成分，被稱為“數(shù)學(xué)顯微鏡”，廣泛應(yīng)用于各個時域分析領(lǐng)域。但是它的時域區(qū)分度只能依賴于大小不變的時間窗，這對于某些瞬態(tài)信號來說還是不夠精確的?？偠灾?，傳統(tǒng)傅里葉分析將一段較長的時間內(nèi)的信號看作從以前到未來信號一直按照此規(guī)律周期性變化，并分析信號的頻率成分；而Gabor變換在要分析的信號上提取出信號中的每一個小段(長度自己定)，將此小段進行兩端周期性延