【正文】 定義如下： ( , ) xys i j f f? ? ? ? 19 = ( 1 , 1 ) 2 ( 1 , ) ( 1 , 1 ) ( 1 , ) 2 ( 1 , ) ( 1 , 1 )f i j f i j f i j f i j f i j f i j? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?+ ( 1 , 1 ) 2 ( , 1 ) ( 1 , 1 ) ( 1 , 1 ) 2 ( , 1 ) ( 1 , 1 )f i j f i j f i j f i j f i j f i j? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 它的卷積算子為： 1 0 1: 2 0 21 0 1x f?????????? 1 2 1: 0 0 01 0 1y f? ? ???????? 選擇適當(dāng)?shù)拈T限 TH，如果 (, )Ri j TH，則 (, )ij 為階躍狀邊緣點(diǎn)， ? ?(, )Ri j 即為邊緣圖像。檢測(cè)垂直和水平邊緣的效果好于斜向邊緣，其優(yōu)點(diǎn)是定位精度高，缺點(diǎn)是對(duì)噪聲敏感。 4． 2． 2 Roberts 邊緣檢測(cè)算子 Roberts 邊緣檢測(cè)算子根據(jù)任意一對(duì)相互垂直方向上的差分可用來計(jì)算梯度的原理，采用對(duì)角線方向相鄰兩像素之差，即： ( , ) ( 1 , 1 )x f f i j f i j? ? ? ? ? ( , 1 ) ( 1, )y f f i j f i j? ? ? ? ? （ 43） 有了 yf? ， xf? 后，可以根據(jù)下式計(jì)算出 Roberts 的梯度幅度值 (, )Ri j ： 22( , ) xyR i j f f? ? ? ? 或 ( , ) xyR i j f f? ? ? ? （ 44） 它們的卷積算子為： 10:01x f ??? ???? 01:10y f ??? ????? （ 45） 選擇合適的門限 TH，如果 (, )Ri j TH，則 (, )ij 為階躍狀邊緣點(diǎn)， ? ?(, )Ri j 即為邊緣圖像。根據(jù)灰度迅速變化處一階導(dǎo)數(shù)達(dá)到最大值原理，就必然要求差分方向與邊緣方向垂直，也就要通過對(duì)各個(gè)不同方向求一階導(dǎo)數(shù)的最大值來檢測(cè)邊緣。但是，用這種方法就必須使差分的方向與邊緣方向垂直，這就需要對(duì)圖像的不同方向都進(jìn)行差分運(yùn)算，實(shí) 際上增加了運(yùn)算的復(fù)雜性。 18 4． 2 常用的邊緣檢測(cè)算子 4． 2． 1 差分邊緣檢測(cè)方法 可以利用像素灰度的一階導(dǎo)數(shù)在灰度急劇變化處得到峰值來進(jìn)行奇異點(diǎn)的檢測(cè)。為了簡便，也可以將 ( , )exy 定義為偏導(dǎo)數(shù) ,xyff的絕對(duì)值之和，如下： ( , )exy ? ( , ) ( , )xyf x y f x y? （ 42） 人們根據(jù)這些理論提出了許多算法，現(xiàn)在比較常用的邊緣檢測(cè)方法有差分檢測(cè)法、Roberts 邊緣檢測(cè)算子、 Sobel 算子、 Prewitt【 14】 算子、 Robinson 算子、 Laplace 算子、Canny 算子 【 15】 和 LOG 算子 【 16】 等等?？梢杂洠? ( , ) fff x y i jxy??? ? ? （ 41） 為圖像的梯度， ( , )f xy? 中包含局部灰度的變化信息。我們將邊緣定義為圖像中灰度發(fā)生急劇變化的區(qū)域邊界，它的變化情況可以用圖像灰度分布的梯度來反映，因此我們可以用局部圖像微分的方法來獲得邊緣檢測(cè)算子 。因此，邊界檢測(cè)必須包含兩方面的內(nèi)容：首先要提取出反映灰度變化的邊緣點(diǎn)，然后去除某些邊界點(diǎn)或替補(bǔ)某些缺失點(diǎn)，使得這些點(diǎn)能夠連成一條完整的直線。所以， 應(yīng)將局部邊緣聚合到一副圖像中，使其中只出現(xiàn)對(duì)應(yīng)于存在的物體或圖像部分的邊緣鏈。基于邊緣的分割依賴于邊緣檢測(cè)算子找到的圖像邊緣，這些邊緣顯示了圖像在紋理、色彩和灰度等方面的不連續(xù)的位置。本章首先討論了傳統(tǒng)的基于分割的邊緣檢測(cè)方法；然后對(duì)幾種經(jīng)典的邊緣算子進(jìn)行理論分析，并對(duì)各自的特點(diǎn)做出了比較和評(píng)價(jià)；最后介紹 Canny 連續(xù)準(zhǔn)則及其算法。 17 第四章 圖像的邊緣檢測(cè) 所謂邊緣是指其周圍像素灰度有變化的那些像素的集合，它是由灰度的不連續(xù)來反映的。它可以進(jìn)一步細(xì)化為多個(gè)研究方向：圖片處理、模式識(shí)別、景物分析、圖像理解、光學(xué)處理等等。由于在實(shí)際中，信號(hào)絕大多數(shù)是非 穩(wěn)定的，而小波分析正是適用于非穩(wěn)定信號(hào)的處理工具。 總的來說，小波分析的應(yīng)用是與小波分析的理論研究緊密聯(lián)系在一起的。 小波分析是近 20年發(fā)展起來的新興科學(xué)，作為一種快速、高效、高精度的近似方法，給許多學(xué)科的研究領(lǐng)域帶來了新的思想。 對(duì)得到的新小波系數(shù) W? 進(jìn)行逆小波變換，得到去噪后的圖像。 Donoho 等人提出了一種典型的閾值選取方法，在理論上給出并證明了閾值與噪聲的方差成正比，記 n 為小波分解次數(shù)，則有： 2logn??? （ 324） 可以總結(jié)出基于小波變換的閾值去噪法的步驟如下： 選擇合適的小波，對(duì)所給的信號(hào)進(jìn)行小波變換，得到小波變換系數(shù) W。 軟閾值化與硬閾值化是對(duì)超過閾值的小波系數(shù)進(jìn)行縮減的兩種主要方法。給定一個(gè)閾值 ? ，所有絕對(duì)值小于 ? 的小波系數(shù)歸為噪聲，將其值用 0 代替；超過 ? 的小波系數(shù)的值，被縮減后再重新取值。如果一個(gè)信號(hào)能量集中于變換域少數(shù)小波系數(shù)上，那么它們的取值必然大于在變換域內(nèi)能量分散的大量信號(hào)和噪聲的小波系數(shù)，這種情況下就可以用閾值方法。 c：硬閾值方法或軟閾值方法。 b：基于相關(guān)性：首先對(duì)含噪信號(hào)做小波變換，然后計(jì)算相鄰尺度間小波系數(shù)的相關(guān)性，根據(jù)相關(guān)性的大小區(qū)別小波系數(shù)的類型，做出取舍，最后進(jìn)行重構(gòu)。 小波去噪的方法，大致有如下幾種： a：基于小波變換極大值原理。 c：基波選擇的靈活性。 b：多分辨性。 小波去噪 【 12】 的成功主要是因?yàn)樾〔ㄗ儞Q有如下的特點(diǎn)： a：低熵性。噪聲對(duì)圖像處理十分重要，它影響圖像的輸入、采集、處理的各個(gè)環(huán)節(jié)，如果噪聲不能很好的抑制，必然影響處理的全過程和輸出結(jié)果。而對(duì)于一個(gè)圖像，表現(xiàn)它的最主要的 部分是低頻部分，所以最簡單的壓縮方法是利用小波分解，去掉圖像中的高頻部分而保留低頻。 一個(gè)圖像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子圖像，不同分辨率的子圖像對(duì)應(yīng)的頻率是不同的。它具有壓縮速度快、壓縮比高、壓縮后能保持信號(hào)與圖像的相關(guān)特征不變等特點(diǎn)，且在傳輸中可以抗干擾。根據(jù)解碼后的數(shù)據(jù)跟原始數(shù)據(jù)是否 完全一致將圖像壓縮方法分為無失真編碼和有失真編碼。壓縮就是想法去掉各種冗余，保留真正有用的信息。值得一提的是，基于小波變換的圖像壓縮的部分算法已融入 JPEG2020 標(biāo)準(zhǔn) 【 6】 中。小波變換由于具有良好的時(shí)域局部化性能，有效的克服了 Fourier 變換在處理非平穩(wěn) 的復(fù)雜圖像信號(hào)時(shí)的局限性，因而在圖像壓縮領(lǐng)域 受 到了廣泛的重視。本小節(jié)簡單介紹一下小波分析在圖像處理的應(yīng)用?，F(xiàn)在，對(duì)于性質(zhì)穩(wěn)定不變的信號(hào)，處理的理想工具仍然是 Fourier 變換。注意到小波變換的定義式（ 39），式（ 318）正好是式（ 39）中 1 2 , 2kka b n??的情形，這時(shí)，小波系數(shù)變成： , 1, ( ) ( , )22k n k n kknd f W f???? （ 321） 3． 3 小波分析在圖像處理中的應(yīng)用 由于圖像在人們的日常生活中無處不在，對(duì)圖像的處理隨之也成為當(dāng)代科學(xué)技術(shù)工作的重要部分。 3． 2． 3 小波級(jí)數(shù) 首先，從正交小波的定義開始，記： 2, ( ) 2 ( 2 ) , ,kkkn t t n k n Z??? ? ? （ 317） 一個(gè)小波 2( ) ( )t L R? ? 稱為一個(gè)正交小波，如果 ? ?,kn? 是 2()LR的一個(gè)規(guī)范正交基，即： , , , , , , ( ) ( ) , , , ,k n l m k n l m k l n mt t dt k m n l Z? ? ? ? ? ????? ? ?? （ 318） 而且，每個(gè) 2()f L R? 都能寫成： ,( ) ( )k n k nknf t d t?????? ? （ 319） 13 上面的定理中，對(duì) 2, ( )f g L R? ， , ( ) ( )f g f t g t dt???? ?表示空間 2()LR的內(nèi)積，而()gt 表示函數(shù)的復(fù)共軛。這時(shí)，相應(yīng)的離散族為： 2200, 0 0 0 00( ) ( ) ( )mm m mmn mt n b at a a a t n ba? ? ?? ? ??? ? ? （ 315） 相應(yīng)的離散小波變換為： ,( ) ,m n m nW f f? ?? （ 316） 要用函數(shù)的離散小波變換 , ()mnWf? 數(shù)值 穩(wěn)定的重構(gòu) ()ft ，就需要離散族 ? ?, ()mnt? 是2()LR空間的一個(gè)框架或一個(gè)基。因此，選取 0maa? ， 00mb nba? ，其中 ,mn取遍 Z，而 001, 0ab??是固定的。對(duì)于固定的伸縮步長 0 1a? ，可選取 0maa? ， mZ? ，為不失其一般性可假定 0 1a? （或 0 1a? ）。 0ab tbt a a b R aa??? ?? ? ? （ 314） 這時(shí)，用函數(shù) f(t)的連續(xù)小波變換就可以重構(gòu)函數(shù)，我們知道，這種重構(gòu) 是 冗余的。 如果 ? 為一個(gè)基小波，它定義了一個(gè)連續(xù)小波變換 ? ?( , )W f a b? ，則 對(duì)于任何2()f L R? 和 f 的連續(xù)點(diǎn) tR? ，有： , 21( ) [ ( ) ( , ) ] ( )ab daf t W f a b t d bCa?? ???? ? ? ?? ?? （ 313） 上式便是由 ? ?( , )W f a b? 重構(gòu) f(t)的公式。以后再講到小波 的時(shí)候，若無特別聲明，指的就是基小波。下面介紹如何用小波變換 ? ?( , )W f a b? 重構(gòu) f(t)： 首先，假定 2()LR?? ，為了由連續(xù)小波變換式（ 310）重構(gòu) f(t)，需要 ()t? 滿足12 容性條件： 1 2? ()C w w? ?????? ? ?? （ 312） 基小波的 定義：如果 2()LR?? 并且滿足（ 312）的條件，則稱 ? 為一個(gè)基小波。為了研究的需要，上式也常記為 ? ?( , )W f a b? 。下面主要討論小波變換的定義和一些性質(zhì)。由于函數(shù)族 ? ?, ()abt? 是由 ()t? 生成的，所以有時(shí)將其稱為母小波。 0ab tbt a a b R aa??? ?? ? ? （ 39） 在式中： a為尺度參數(shù)， b為位移參數(shù)，這時(shí)我們有 2 22 12, ( ) ( ) ( )ab tbt a d t t d ta? ? ? ????? ? ? ??? ? ??? （ 310） 即 小 波經(jīng)（ 39）式的 方程 伸縮和平移后的函數(shù)的范數(shù)等于原來小波的范數(shù)。 下面給出一些小波的例子。還有，由積分的幾何意義可以看出 ()t? 的圖像與 x軸所夾的上半部分的面積與下半部分面積 是 相等的。 下面 簡述一下小波在直觀上的特點(diǎn)。以后提到信號(hào) f(t)都是指它是能量有限的。因?yàn)檫@些特點(diǎn)，小波分析可以探測(cè)正常信號(hào)中的瞬態(tài)，并展示其頻率成分，被稱為“數(shù)學(xué)顯微鏡”，廣泛應(yīng)用于各個(gè)時(shí)域分析領(lǐng)域。但是它的時(shí)域區(qū)分度只能依賴于大小不變的時(shí)間窗，這對(duì)于某些瞬態(tài)信號(hào)來說還是不夠精確的?？偠灾?， 傳統(tǒng)傅里葉分析將一段較長的時(shí)間內(nèi)的信號(hào)看作從以前到未來信號(hào)一直按照此規(guī)律周期性變化，并分析信號(hào)的頻率成分 ；而Gabor 變換在要分析的信號(hào)上提取出信號(hào)中的每一個(gè)小段 (長度自己定 )，將此小段進(jìn)行兩端周期性延拓，并對(duì)這樣的信號(hào)進(jìn)行傳統(tǒng)傅里葉分析，得到此小段內(nèi)信號(hào)的頻率特性，平移原有分析信號(hào)中小段的位置，得到整個(gè)要分析信號(hào)在每個(gè)小范圍內(nèi)頻率成分。 離散 Gabor 變換定義為： ,( )(