【文章內容簡介】 上面的問題解答： 設投資決策變量為 則投資總額為，投資總收益。因為該公司至少要對一個工程投資，并且總的投資金額不能超過總資金 ，故其限制條件應為 ,另外，由于(=)只能取0或1，所以還有 =0，=1，…，.最佳投資方案應是以最少的投資從而獲得總最大的收益方案，所以這個最佳投資決策問題歸結為極大化總收益和總投資之比，在總資金以及決策變量(取0或取1)的限制條件下。因此，其數學模型為 ， 上面例題是在一組等式或不等式的約束下，求一個函數的最大值（或最小值）問題，其中至少有一個非線性函數，這類問題稱之為非線性規(guī)劃問題?？筛爬橐话阈问剑浩渲校?[,…]為上述模型的決策變量，成為目標函數，(=1,…,p)和(=1,…,q)成為約束函數。另外(=1,…,p)成(=1,…,q)稱為不等式的約束。對于一個實際問題，在把它歸結成非線性規(guī)劃問題時，一般要注意如下幾點：(1)確定供選方案：首先要收集同問題有關的資料以及數據，在全面熟悉問題的基礎上，再確問題的可供選擇的方案是認什么，并用一組變量來表示它們。(2)提出追求目標：經過分析資料，根據實際需要和可能，提出要追求極小化或極大化的目標。并且利用各種科學和技術原理或規(guī)律，把它表示成與數學相關的關系式。 (3)給出價值標準：在提出要追求的目標之后，要確立所考慮目標的“好”或“不好”的判斷標準，并用某種數量關系形式來判定它。 (4)尋求限制條件：由于所追求的目標通常都要在一定條件下取得極小化或極大化目的，因此還需要尋找出問題的所有約束條件，這些條件通常用變量之間的一些等式或不等式來表示。 目標函數：其中為常數。限制條件：二次函數的圖象是一條拋物線，具有對稱性，并且這一函數在實數域上的單調性是有增有減的。運用二次函數的有關知識解決實際問題，是比較常見的問題之一，例如求銷售利潤的最值問題、幾何圖形變換中建立函數關系式的問題、以拋物線形為基礎的實際問題都需要在實際的情景中去理解、分析所給的一系列數據，舍棄與解題無關的因素，建立數學模型。有關二次函數的應用問題按照是否需要建立平面直角坐標系可以分為兩類，一類不需要建立平面直角坐標系，這類題目關鍵是要求出二次函數的解析式，二次函數的解析式分為頂點式，一般式和交點式，要根據實際問題所給的條件選擇合適的解析式，接著只需運用二次函數的主要性質 ,如單調性、奇偶性、對稱性、最值等，必要時結合二次函數圖形求解出函數模型。另一類就是必須建立平面直角坐標系。這類題呈現的方式主要是以拋物線為基礎的實際問題，如拱橋問題，首先要將拱橋抽象為拋物線，然后結合實際問題中的條件，建立坐標系求出拋物線的解析式。平面直角坐標系選擇的一般原則是使得出的二次函數的解析式最簡單，因此要學會巧妙地選擇直角坐標系的位置。綜上可知不管是哪類二次函數模型題最終都是通過二次函數解析式來解決問題的。 三角函數模型能夠用三角函數表達的數學模型即三角函數模型。比如正弦函數的解析式可表示為，其余五個三角函數的解析式與正弦函數類似。三角函數最顯著的性質就是周期性和對稱性，因此三角函數模型通常是用來描述客觀世界中具有周期性變化現象的數學模型。在數學和其他學科領域中，三角函數模型具有非常廣泛的應用,它是高中數學乃至高等數學的重要基礎知識之一。將實際問題轉化為與三角函數有關的問題，常見的形式有：求出三角函數的解析式；畫出三角函數的圖像以及利用函數的性質進行解題。這類題型常常與航海、測量角度、擺動、振動等問題聯系在一起，也會涉及一些幾何圖形，題中常會出現坡度、仰角、俯角、視角、方向角和方位角等術語。解三角函數模型常出現的情形是：實際問題抽象后，已知量與未知量集中在一個、兩個甚至幾個三角形中，再使用正弦定理、余弦定理或三角函數的相關性質如周期性、最值、單調性、對稱性等解題。為了解題方便，應盡量將已知或未知量集中在一個三角形中，而且通常設角為變量，之后再建立解三角形的數學模型。當然三角函數模型并不是只局限于以角為自變量，生活中許多實際問題中的事物之間也存在三角函數關系，這時就需要利用三角函數模型才能得以解決。 指數和對數函數模型在數學中指數函數模型是指一類能用指數函數表達的數學模型，形如的函數叫做指數函數。類似地，對數函數模型：指能用對數函數表達的函數模型，形如的函數叫做對數函數。由于指數函數與對數函數互為反函數，在這里不妨將兩者放在一起討論?？紤]底數時的情況：指數函數增長的特點是隨著自變量的增大函數值增大的速度越來越快，而對數函數增長的特點恰恰相反，它隨著自變量的增大，函數值增加的速度越來越小[6]。對應地，當時，也可以得出相似的結論，只不過此時兩個函數都是單調遞減的。在一定程度上指數函數、對數函數是具有相似性的，但是相似之中又存在某些差異，致使二者在實際問題中的應用也有所區(qū)別。由于指數函數這種爆炸性增長方式的特點，使得指數函數模型多適用于細胞分裂、人口增長、銀行利潤增長、銀行儲蓄等經濟生活和社會生活問題中。而對數函數的增長方式常被形象地稱為能量漸失，因此在價格與利潤，收入與成本、人口等生產、生活及航天等領域對數函數模型有著比較廣泛的應用。有關這兩個函數模型構造的應用題中，題型一般可以分為給定函數模型和不給定函數模型這兩類。如果是給定函數模型的題目難度一般不是很大，只需能夠應用這兩種函數的性質，套用相關公式，對問題進行定量分析就行了。如果是不給定函數模型的題目，就需要先建立相關函數模型。在建立函數模型方面，有的可以通過分步驟找規(guī)律得出函數關系式，有的則須通過題目所給數據進行繪制部分函數圖象，由圖象的直觀性以及已知的熟悉的函數圖象來猜測可能是哪種函數模型，比如處理人口問題時，就必須先根據題目所給的數據繪出部分圖像，看看類似于學過的哪種函數的圖像，將可能的這幾種函數進行誤差比較，最后確定出具體的誤差最小的那個函數。要注意的是建立的函數模型與實際數據可能還會有一點點誤差，但這是不可避免的，這樣的模型稱之為近似模型。例2 有按復利計算利息的一種儲蓄，設本金為1000元，%。不計利息稅。（1）計算10期后的本利和是多少？（2）計算存款幾期后本利和超過2000元？問題解析 這是一道