【文章內(nèi)容簡介】 上面的問題解答： 設(shè)投資決策變量為 則投資總額為，投資總收益。因為該公司至少要對一個工程投資，并且總的投資金額不能超過總資金 ，故其限制條件應(yīng)為 ,另外，由于(=)只能取0或1，所以還有 =0，=1，…，.最佳投資方案應(yīng)是以最少的投資從而獲得總最大的收益方案，所以這個最佳投資決策問題歸結(jié)為極大化總收益和總投資之比，在總資金以及決策變量(取0或取1)的限制條件下。因此，其數(shù)學(xué)模型為 ， 上面例題是在一組等式或不等式的約束下，求一個函數(shù)的最大值（或最小值）問題，其中至少有一個非線性函數(shù)，這類問題稱之為非線性規(guī)劃問題?？筛爬橐话阈问剑浩渲校?[,…]為上述模型的決策變量，成為目標(biāo)函數(shù)，(=1,…,p)和(=1,…,q)成為約束函數(shù)。另外(=1,…,p)成(=1,…,q)稱為不等式的約束。對于一個實際問題，在把它歸結(jié)成非線性規(guī)劃問題時，一般要注意如下幾點：(1)確定供選方案：首先要收集同問題有關(guān)的資料以及數(shù)據(jù)，在全面熟悉問題的基礎(chǔ)上，再確問題的可供選擇的方案是認(rèn)什么，并用一組變量來表示它們。(2)提出追求目標(biāo)：經(jīng)過分析資料，根據(jù)實際需要和可能，提出要追求極小化或極大化的目標(biāo)。并且利用各種科學(xué)和技術(shù)原理或規(guī)律，把它表示成與數(shù)學(xué)相關(guān)的關(guān)系式。 (3)給出價值標(biāo)準(zhǔn)：在提出要追求的目標(biāo)之后，要確立所考慮目標(biāo)的“好”或“不好”的判斷標(biāo)準(zhǔn)，并用某種數(shù)量關(guān)系形式來判定它。 (4)尋求限制條件：由于所追求的目標(biāo)通常都要在一定條件下取得極小化或極大化目的，因此還需要尋找出問題的所有約束條件，這些條件通常用變量之間的一些等式或不等式來表示。 目標(biāo)函數(shù)：其中為常數(shù)。限制條件：二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，具有對稱性，并且這一函數(shù)在實數(shù)域上的單調(diào)性是有增有減的。運用二次函數(shù)的有關(guān)知識解決實際問題，是比較常見的問題之一，例如求銷售利潤的最值問題、幾何圖形變換中建立函數(shù)關(guān)系式的問題、以拋物線形為基礎(chǔ)的實際問題都需要在實際的情景中去理解、分析所給的一系列數(shù)據(jù)，舍棄與解題無關(guān)的因素，建立數(shù)學(xué)模型。有關(guān)二次函數(shù)的應(yīng)用問題按照是否需要建立平面直角坐標(biāo)系可以分為兩類，一類不需要建立平面直角坐標(biāo)系，這類題目關(guān)鍵是要求出二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的解析式分為頂點式，一般式和交點式，要根據(jù)實際問題所給的條件選擇合適的解析式，接著只需運用二次函數(shù)的主要性質(zhì) ,如單調(diào)性、奇偶性、對稱性、最值等，必要時結(jié)合二次函數(shù)圖形求解出函數(shù)模型。另一類就是必須建立平面直角坐標(biāo)系。這類題呈現(xiàn)的方式主要是以拋物線為基礎(chǔ)的實際問題，如拱橋問題，首先要將拱橋抽象為拋物線，然后結(jié)合實際問題中的條件，建立坐標(biāo)系求出拋物線的解析式。平面直角坐標(biāo)系選擇的一般原則是使得出的二次函數(shù)的解析式最簡單，因此要學(xué)會巧妙地選擇直角坐標(biāo)系的位置。綜上可知不管是哪類二次函數(shù)模型題最終都是通過二次函數(shù)解析式來解決問題的。 三角函數(shù)模型能夠用三角函數(shù)表達(dá)的數(shù)學(xué)模型即三角函數(shù)模型。比如正弦函數(shù)的解析式可表示為，其余五個三角函數(shù)的解析式與正弦函數(shù)類似。三角函數(shù)最顯著的性質(zhì)就是周期性和對稱性，因此三角函數(shù)模型通常是用來描述客觀世界中具有周期性變化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科領(lǐng)域中，三角函數(shù)模型具有非常廣泛的應(yīng)用,它是高中數(shù)學(xué)乃至高等數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)知識之一。將實際問題轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)有關(guān)的問題，常見的形式有：求出三角函數(shù)的解析式；畫出三角函數(shù)的圖像以及利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題。這類題型常常與航海、測量角度、擺動、振動等問題聯(lián)系在一起，也會涉及一些幾何圖形，題中常會出現(xiàn)坡度、仰角、俯角、視角、方向角和方位角等術(shù)語。解三角函數(shù)模型常出現(xiàn)的情形是：實際問題抽象后，已知量與未知量集中在一個、兩個甚至幾個三角形中，再使用正弦定理、余弦定理或三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)如周期性、最值、單調(diào)性、對稱性等解題。為了解題方便，應(yīng)盡量將已知或未知量集中在一個三角形中，而且通常設(shè)角為變量，之后再建立解三角形的數(shù)學(xué)模型。當(dāng)然三角函數(shù)模型并不是只局限于以角為自變量，生活中許多實際問題中的事物之間也存在三角函數(shù)關(guān)系，這時就需要利用三角函數(shù)模型才能得以解決。 指數(shù)和對數(shù)函數(shù)模型在數(shù)學(xué)中指數(shù)函數(shù)模型是指一類能用指數(shù)函數(shù)表達(dá)的數(shù)學(xué)模型，形如的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)。類似地，對數(shù)函數(shù)模型：指能用對數(shù)函數(shù)表達(dá)的函數(shù)模型，形如的函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)。由于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，在這里不妨將兩者放在一起討論。考慮底數(shù)時的情況：指數(shù)函數(shù)增長的特點是隨著自變量的增大函數(shù)值增大的速度越來越快，而對數(shù)函數(shù)增長的特點恰恰相反，它隨著自變量的增大，函數(shù)值增加的速度越來越小[6]。對應(yīng)地，當(dāng)時，也可以得出相似的結(jié)論，只不過此時兩個函數(shù)都是單調(diào)遞減的。在一定程度上指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)是具有相似性的，但是相似之中又存在某些差異，致使二者在實際問題中的應(yīng)用也有所區(qū)別。由于指數(shù)函數(shù)這種爆炸性增長方式的特點，使得指數(shù)函數(shù)模型多適用于細(xì)胞分裂、人口增長、銀行利潤增長、銀行儲蓄等經(jīng)濟(jì)生活和社會生活問題中。而對數(shù)函數(shù)的增長方式常被形象地稱為能量漸失，因此在價格與利潤，收入與成本、人口等生產(chǎn)、生活及航天等領(lǐng)域?qū)?shù)函數(shù)模型有著比較廣泛的應(yīng)用。有關(guān)這兩個函數(shù)模型構(gòu)造的應(yīng)用題中，題型一般可以分為給定函數(shù)模型和不給定函數(shù)模型這兩類。如果是給定函數(shù)模型的題目難度一般不是很大，只需能夠應(yīng)用這兩種函數(shù)的性質(zhì)，套用相關(guān)公式，對問題進(jìn)行定量分析就行了。如果是不給定函數(shù)模型的題目，就需要先建立相關(guān)函數(shù)模型。在建立函數(shù)模型方面，有的可以通過分步驟找規(guī)律得出函數(shù)關(guān)系式，有的則須通過題目所給數(shù)據(jù)進(jìn)行繪制部分函數(shù)圖象，由圖象的直觀性以及已知的熟悉的函數(shù)圖象來猜測可能是哪種函數(shù)模型，比如處理人口問題時，就必須先根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)繪出部分圖像，看看類似于學(xué)過的哪種函數(shù)的圖像，將可能的這幾種函數(shù)進(jìn)行誤差比較，最后確定出具體的誤差最小的那個函數(shù)。要注意的是建立的函數(shù)模型與實際數(shù)據(jù)可能還會有一點點誤差，但這是不可避免的，這樣的模型稱之為近似模型。例2 有按復(fù)利計算利息的一種儲蓄，設(shè)本金為1000元，%。不計利息稅。（1）計算10期后的本利和是多少？（2）計算存款幾期后本利和超過2000元？問題解析 這是一道