【文章內(nèi)容簡介】 點是有相當(dāng)多的參數(shù)需要估計。比如一個VAR模型含有三個變量，最大滯后期,則有個參數(shù)需要估計。當(dāng)樣本容量較小時，多數(shù)參數(shù)的估計量誤差較大（5） 無約束VAR模型的應(yīng)用之一是預(yù)測。由于在VAR模型中每個方程的右側(cè)都不含有當(dāng)期變量，這種模型用于預(yù)測的優(yōu)點是不必對解釋變量在預(yù)測期內(nèi)的取值做任何預(yù)測。（VAR）的檢驗 判斷一個變量的變化是否是另一個變量變化的原因，是計量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的常見問題。Granger提出一個判斷因果關(guān)系的檢驗——Granger因果檢驗。Granger判斷變量是否是變量變化的原因，是看現(xiàn)在的能在多大程度上是被過去的解釋，在加入的滯后值后，對的解釋程度是否提高。如果與的相關(guān)系數(shù)在統(tǒng)計上是顯著的，或者對的預(yù)測有所幫助，就可以認(rèn)為是由Granger引起的。 在一個二元k階的VAR模型中 (22) 當(dāng)且僅當(dāng)系數(shù)矩陣中的系數(shù)全部為0時，變量不能Granger引起，等價于變量外生于變量。這時，判斷Granger原因的直接方法是利用檢驗來檢驗下述聯(lián)合檢驗：至少存在一個使得其統(tǒng)計量為： （23）如果大于的臨界值，則拒絕原假設(shè)；否則接受原假設(shè)：不能Granger引起，其中。是式（）中方程的殘差平方和： （24）是不含的滯后變量，即如下方程的殘差平方和： （25）則有 （27）在滿足高斯分布的假設(shè)下，檢驗統(tǒng)計量式（）具有精確的分布。如果回歸模型形式如式（）的VAR模型，一個漸進(jìn)等價檢驗刻有下式給出： (28)注意，服從自由度為的分布。如果大于的臨界值，則拒絕原假設(shè)；否則接受原假設(shè)：不能Granger引起。而且Granger因果檢驗的任何一種搞檢驗結(jié)果都和滯后長度的選擇有關(guān)，并對處理序列非平穩(wěn)的方法選擇結(jié)果極其敏感。VAR模型中一個重要的問題就是滯后階數(shù)的確定。在選擇滯后階數(shù)時，一方面想使滯后階數(shù)足夠大，以便能完整反映所構(gòu)造模型的動態(tài)特征。但是另一方面，滯后階數(shù)越大，需要估計的參數(shù)也就越多，模型的自由度就減少。所以通常進(jìn)行選擇時，需要綜合考慮，既要有足夠數(shù)目的滯后項，又要有足夠數(shù)目的自由度。事實上，這是VAR模型的一個缺陷，在實際中常常會發(fā)現(xiàn)，將不得不限制滯后項的數(shù)目，使它少于反映模型動態(tài)特征所應(yīng)有的理想數(shù)目。下面介紹幾種確定滯后階數(shù)的檢驗方法。 確定滯后階數(shù)的LR（似然比）檢驗LR（Likelihood Ratio)檢驗方法，從最大的滯后階數(shù)開始，檢驗原假設(shè)：在滯后階數(shù)為時，系數(shù)矩陣中至少有一個元素顯著不為0。（Wald）統(tǒng)計量如下： （28）式中是可選擇的其中一個方程中的參數(shù)個數(shù)：，是外生變量的個數(shù)，是內(nèi)生變量個數(shù)，和分別表示滯后階數(shù)（）和的VAR模型的殘差協(xié)方差矩陣的估計， （29）式中是維殘差列向量，可以選擇是否做自由度調(diào)整，如果不做自由度調(diào)整，則式（29）不減。注意，式（28）使用的是Sims（1980）小樣本調(diào)整用的（），而不是用T。從最大滯后階數(shù)開始，比較LR統(tǒng)計量和5%水平下的臨界值，當(dāng)時，拒絕原假設(shè)，表示統(tǒng)計量顯著，此時表示增加滯后值能夠顯著增大極大似然的估計值；否則，接受原假設(shè)。每次減少一個滯后數(shù)，直到拒絕原假設(shè)。 AIC信息準(zhǔn)則和SC準(zhǔn)則實際研究中，大家比較常用的方法還有AIC（Akaike Information Criterion）信息準(zhǔn)則和SC（Schwarz Criterion）信息準(zhǔn)則，SC信息準(zhǔn)則有時又稱為BIC（Bayes Information Criterion）信息準(zhǔn)則，其計算方法可由下式給出： (210) （211）式中在VAR模型(21)中是被估計的參數(shù)的總數(shù)，是內(nèi)生變量個數(shù)，T是樣本長度，是外生變量的個數(shù)，是滯后階數(shù)。通過假定服從多元正態(tài)（高斯）分布計算對數(shù)似然值： （212）需要注意的是，一些參考文獻(xiàn)通過不同的方法來定義AIC和SC。AIC和SC信息準(zhǔn)則要求他們的值越小越好。在利用這些準(zhǔn)則建立一個初步的模型后，還必須檢驗它的恰當(dāng)性，這與單變量模型的診斷性檢驗類似，如分析模型的過度擬合及殘差序列的交叉相關(guān)性等。 脈沖響應(yīng)函數(shù)在實際應(yīng)用中，由于VAR模型是一種非理論性的模型，它無需對變量作任何先驗性約束，因此在VAR模型時，往往不分析一個變量的變化對另一個變量的影響如何，而是分析當(dāng)一個誤差項發(fā)生變化，或者說模型受到某種沖擊時對系統(tǒng)的動態(tài)影響，這種分析方法稱為脈沖響應(yīng)函數(shù)方法（impulse response function, IRF）。本節(jié)簡單介紹脈沖響應(yīng)函數(shù)的基本思想。用時間序列模型來分析影響關(guān)系的一種思路，是考慮擾動項的影響是如何傳播到各變量的。下面先根據(jù)兩變量的VAR（2）模型來說明脈沖響應(yīng)函數(shù)的基本思想。 （213）式中，是參數(shù)，擾動項，假定是具有下面這樣性質(zhì)的白噪聲向量：， 對于 （214）， 對于 假定上述系統(tǒng)從0期開開始始活動，且設(shè)，又設(shè)于第0期給定了擾動項，并且其后均為0，即（），稱此為第0期給以脈沖，下面討論和的響應(yīng)，時：，將其結(jié)果代入式（213），時：，再把此結(jié)果代入式（213），時：，繼續(xù)這樣計算下去，設(shè)求得結(jié)果為:稱為由的脈沖引起的的響應(yīng)函數(shù)。同樣所求得稱為由的脈沖引起的的響應(yīng)函數(shù)。當(dāng)然，第0期的脈沖反過來，從，出發(fā)，可以求出由的脈動沖引起的的響應(yīng)函數(shù)和的響應(yīng)函數(shù)。因為以上這樣的脈沖響應(yīng)函數(shù)明顯地捕捉到?jīng)_的效果，所以同用于計量經(jīng)濟(jì)模型的沖擊乘數(shù)分析是類似的。 方差分解 方差分解（variance deposition）是通過分析每一個結(jié)構(gòu)沖擊對內(nèi)生變量變化的貢獻(xiàn)度，進(jìn)一步評價不同結(jié)構(gòu)沖擊的重要性。所以，方差分析給出了對模型中的變量產(chǎn)生影響的每個隨機(jī)擾動項的相對重要性的信息。脈沖響應(yīng)函數(shù)描述的是隨著時間的推移，模型中的各變量對沖擊是如何反應(yīng)的，對變量間的影響關(guān)系做出了細(xì)致的描述，而由Sims與1980年提出的方差分解方法，可以將變量間的影響關(guān)系定量的，粗糙的反映出來。根據(jù)式（215） （215）各括號中的內(nèi)容是第個擾動項從無限過去到現(xiàn)在時點對影響的總和。求其方差，假定無序列相關(guān)，則 （216）就是把第個擾動項對第個變量從無限過去到現(xiàn)在時點的影響，用方差加以評價的結(jié)果。 假定擾動項向量的協(xié)方差矩陣是對角陣，則的方差是上述方差的k項簡單和。 （217） 的方差可以分解成k種不相關(guān)的影響，各個擾動項對的相對方差貢獻(xiàn)率定義為 （218） 相對方差貢獻(xiàn)率（relative variance contribution, RVC）是根據(jù)第個變量基礎(chǔ)沖擊的方差對的方差的相對貢獻(xiàn)度來觀測個變量對第變量的影響。在模型滿足平穩(wěn)性的條件下，隨著德增大呈幾何級數(shù)性的衰減，所以可以只取有限的項，得到近似的相對方差貢獻(xiàn)率（RVC）： （219）具有如下性質(zhì)：（1） （220） （2） (221)如果大時，意味著第個變量對第變量的影響大。相反，如果小時，意味著第個變量對第變量的影響小。 Johansen協(xié)整檢驗和和向量誤差修正模型Johansen的1988年及在1990年與Juselius一起提出的以VAR模型為基礎(chǔ)的檢驗回歸系數(shù)的方法，是一種進(jìn)行多變量協(xié)整檢驗較好的方法。協(xié)整的定義如下：維向量的分量間被稱為d，b階協(xié)整，記為，如果滿足：（1），要求的每個分量；（2）存在非零向量，使得。簡稱是協(xié)整的，向量又稱為協(xié)整向量。下面介紹JJ檢驗的基本思想。首先建立一個VAR（p）模型， （222）其中，，都是非平穩(wěn)的變量；是一個確定的維外生向量，代表趨勢項、常數(shù)項等確定性項；是k維誤差向量。將式（20）差分變換，得到： （223）其中， （224）經(jīng)過差分，式（223）中的，（）都是變量構(gòu)成的向量，所以只要是的向量，即，，之間具有協(xié)整關(guān)系，就能保證是平穩(wěn)過程。變量，，之間是否具有協(xié)整關(guān)系主要要依賴于矩陣的秩。設(shè)的秩為，則存在三種情況：。（1），顯然只有當(dāng)，，都是變量時，才能保證是變量構(gòu)成的向量。這與已知矛盾，所以必然有。（2），意味著，此時式（21）中的各項都是變量，不需要討論，，之間是否具有協(xié)整關(guān)系。（3），表示存在個協(xié)整組合，其余個仍是關(guān)系。此時可分解成兩個階矩陣和的乘積： （225）其中，將式（225）代入（223），得到： （226）其中為協(xié)整向量矩陣，為協(xié)整向量的個數(shù)。這種將的協(xié)整檢驗變成對矩陣的分析問題，就是Johansen協(xié)整檢驗的基本原理。當(dāng)變量之間存在協(xié)整關(guān)系時，可以由自回歸分布滯后模型導(dǎo)出誤差修正模型。在VAR模型中的每個方程都是一個自回歸分布滯后模型，所以可以認(rèn)為VEC模型是含有楞整約束的VAR模型，多應(yīng)用于具有協(xié)整關(guān)系的非平穩(wěn)時間序列建模。如果式（222）的所包含的個過程存在協(xié)整關(guān)系，則不包含外生變量的式（226）可寫為:， （227）每個方程的誤差項都具有平穩(wěn)性。一個協(xié)整體系有多種表示形式，用誤差修正模型表示是當(dāng)前處理這個問題的普遍方法，即： （228）其中的每一個方程都是一個誤差修正模型。是誤差修正項，反映變量之間的長期均衡關(guān)系，系數(shù)向量反映變量之間的均衡關(guān)系偏離長期均衡狀態(tài)時，將其調(diào)整到均衡狀態(tài)的調(diào)整速度。3 極值理論極值理論是次序統(tǒng)計學(xué)的一個分支，主要處理嚴(yán)重背離分布均值的統(tǒng)計數(shù)據(jù)。傳統(tǒng)上，極值理論被用來預(yù)測海嘯、地震等自然災(zāi)害。最近，極值理論被廣泛應(yīng)用于金融、保險、以及因特網(wǎng)交通管理。極值，從統(tǒng)計學(xué)意義上講，是指某一時刻的隨即過程的最大值和最小值，通常位于金融收益分布的尾部。這些極值的產(chǎn)生可能于許多因素有關(guān)，例如金融市場上的極值，可能與正常的價值回歸有關(guān)，也可能與非常時期的股票市場、債券市場、或者外匯市場的沖擊有關(guān)。 極值理論主要研究的是極值分布及其特性，尤其是分布的尾部特征。從實踐的觀點看，研究金融收益分布的尾部的重要意義在于能夠幫助我們估計極值的運動規(guī)律，一旦知道了尾部特征，我們就可以應(yīng)用風(fēng)險測量的工具進(jìn)一步分析可能的極值運動。 BLOCK方法與廣義極值分布 廣義極值分布（GEV）設(shè)是獨立同分布的隨機(jī)變量序列，且。令，其中，若存在序列，使得正規(guī)化的極值滿足：。為一非退化的分布函數(shù)。稱為分布的最大吸引域，記為。Fisher和Tippett定理（1928）[233]指出，與序列的原始分布無關(guān)，必為下面三種分布族之一：Gumbel: Fr233。chet （31）Weibull: 使得Fisher定理成立的分布族很廣泛，Gnedenko（1943）[76]指出若分布的尾部呈現(xiàn)冪法則衰減，則在Fr233。chet的吸引域內(nèi)。以冪律衰減的分布尾部包括Pareto、Cauchy、Studentt等分布，這些分布是典型的胖尾分布（Fattailed Distribution），一般來說，對于金融時間序列而言，胖尾是存在的，即極值分布一般收斂于Fr233。chet分布。在Weibull分布吸引域的分布函數(shù)是瘦尾分布（尾部依指數(shù)衰減），金融時間序列一般不具備此特征。在Gumbel分布吸引域的包括正態(tài)、指數(shù)、Gamma、對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)，僅僅對數(shù)正態(tài)分布略有一點胖尾特征。Mises（1936）[234]、Jenkinson（1955）[77]建議將三種分布用GEV分布統(tǒng)一表達(dá)，即正規(guī)化的極值服從分布： （32）一般情況下，引入位置參數(shù)和尺度參數(shù)，將極值的漸近分布表示為： （33）其中，，對應(yīng)Gumbel分布，對應(yīng) Fr233。chet分布，對應(yīng)Weibull分布。為分布形狀參數(shù)，為尾部指數(shù)。 廣義極值分布參數(shù)的極大似然點估計方法Longin（1996，2000）[89, 90]提出了參數(shù)的極大似然估計方案，設(shè)是收益序列，令，將序列分成個不交叉的長度均為的等長子序列。記。此過程即為BLOCK分塊過程，以產(chǎn)生用于計算極值分布的樣本序列，假定其是序列。分布的密度函數(shù)為： 則對數(shù)似然函數(shù)為： (34)Richard L. Smith（1985）[235]指出，僅當(dāng)時，極大似然估計成立，對金融時間序列來說，一般是成立的，所以應(yīng)用極大似然估計是可行的。 尾部及分位數(shù)的估計VaR(Value at Risk )按字面意思解釋就是“處于風(fēng)險狀態(tài)的價值”，即在市場正常情況下，在一定置信水平下和一定期間內(nèi)，某一金融工具或投機(jī)組合在未來資產(chǎn)價格波動下所面臨的最大潛在損失值。VaR方法用數(shù)學(xué)語言表達(dá)為: (35)其中：為持有期間，為風(fēng)險因素(如：利率、匯率和價格等)，為置信水平。在任意時間指標(biāo)，我們關(guān)注的是在接下來的的時間段中