【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 點(diǎn)是有相當(dāng)多的參數(shù)需要估計(jì)。比如一個(gè)VAR模型含有三個(gè)變量，最大滯后期,則有個(gè)參數(shù)需要估計(jì)。當(dāng)樣本容量較小時(shí)，多數(shù)參數(shù)的估計(jì)量誤差較大（5） 無約束VAR模型的應(yīng)用之一是預(yù)測(cè)。由于在VAR模型中每個(gè)方程的右側(cè)都不含有當(dāng)期變量，這種模型用于預(yù)測(cè)的優(yōu)點(diǎn)是不必對(duì)解釋變量在預(yù)測(cè)期內(nèi)的取值做任何預(yù)測(cè)。（VAR）的檢驗(yàn) 判斷一個(gè)變量的變化是否是另一個(gè)變量變化的原因，是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的常見問題。Granger提出一個(gè)判斷因果關(guān)系的檢驗(yàn)——Granger因果檢驗(yàn)。Granger判斷變量是否是變量變化的原因，是看現(xiàn)在的能在多大程度上是被過去的解釋，在加入的滯后值后，對(duì)的解釋程度是否提高。如果與的相關(guān)系數(shù)在統(tǒng)計(jì)上是顯著的，或者對(duì)的預(yù)測(cè)有所幫助，就可以認(rèn)為是由Granger引起的。 在一個(gè)二元k階的VAR模型中 (22) 當(dāng)且僅當(dāng)系數(shù)矩陣中的系數(shù)全部為0時(shí)，變量不能Granger引起，等價(jià)于變量外生于變量。這時(shí)，判斷Granger原因的直接方法是利用檢驗(yàn)來檢驗(yàn)下述聯(lián)合檢驗(yàn)：至少存在一個(gè)使得其統(tǒng)計(jì)量為： （23）如果大于的臨界值，則拒絕原假設(shè)；否則接受原假設(shè)：不能Granger引起，其中。是式（）中方程的殘差平方和： （24）是不含的滯后變量，即如下方程的殘差平方和： （25）則有 （27）在滿足高斯分布的假設(shè)下，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量式（）具有精確的分布。如果回歸模型形式如式（）的VAR模型，一個(gè)漸進(jìn)等價(jià)檢驗(yàn)刻有下式給出： (28)注意，服從自由度為的分布。如果大于的臨界值，則拒絕原假設(shè)；否則接受原假設(shè)：不能Granger引起。而且Granger因果檢驗(yàn)的任何一種搞檢驗(yàn)結(jié)果都和滯后長(zhǎng)度的選擇有關(guān)，并對(duì)處理序列非平穩(wěn)的方法選擇結(jié)果極其敏感。VAR模型中一個(gè)重要的問題就是滯后階數(shù)的確定。在選擇滯后階數(shù)時(shí)，一方面想使滯后階數(shù)足夠大，以便能完整反映所構(gòu)造模型的動(dòng)態(tài)特征。但是另一方面，滯后階數(shù)越大，需要估計(jì)的參數(shù)也就越多，模型的自由度就減少。所以通常進(jìn)行選擇時(shí)，需要綜合考慮，既要有足夠數(shù)目的滯后項(xiàng)，又要有足夠數(shù)目的自由度。事實(shí)上，這是VAR模型的一個(gè)缺陷，在實(shí)際中常常會(huì)發(fā)現(xiàn)，將不得不限制滯后項(xiàng)的數(shù)目，使它少于反映模型動(dòng)態(tài)特征所應(yīng)有的理想數(shù)目。下面介紹幾種確定滯后階數(shù)的檢驗(yàn)方法。 確定滯后階數(shù)的LR（似然比）檢驗(yàn)LR（Likelihood Ratio)檢驗(yàn)方法，從最大的滯后階數(shù)開始，檢驗(yàn)原假設(shè)：在滯后階數(shù)為時(shí)，系數(shù)矩陣中至少有一個(gè)元素顯著不為0。（Wald）統(tǒng)計(jì)量如下： （28）式中是可選擇的其中一個(gè)方程中的參數(shù)個(gè)數(shù)：，是外生變量的個(gè)數(shù)，是內(nèi)生變量個(gè)數(shù)，和分別表示滯后階數(shù)（）和的VAR模型的殘差協(xié)方差矩陣的估計(jì)， （29）式中是維殘差列向量，可以選擇是否做自由度調(diào)整，如果不做自由度調(diào)整，則式（29）不減。注意，式（28）使用的是Sims（1980）小樣本調(diào)整用的（），而不是用T。從最大滯后階數(shù)開始，比較LR統(tǒng)計(jì)量和5%水平下的臨界值，當(dāng)時(shí)，拒絕原假設(shè)，表示統(tǒng)計(jì)量顯著，此時(shí)表示增加滯后值能夠顯著增大極大似然的估計(jì)值；否則，接受原假設(shè)。每次減少一個(gè)滯后數(shù)，直到拒絕原假設(shè)。 AIC信息準(zhǔn)則和SC準(zhǔn)則實(shí)際研究中，大家比較常用的方法還有AIC（Akaike Information Criterion）信息準(zhǔn)則和SC（Schwarz Criterion）信息準(zhǔn)則，SC信息準(zhǔn)則有時(shí)又稱為BIC（Bayes Information Criterion）信息準(zhǔn)則，其計(jì)算方法可由下式給出： (210) （211）式中在VAR模型(21)中是被估計(jì)的參數(shù)的總數(shù)，是內(nèi)生變量個(gè)數(shù)，T是樣本長(zhǎng)度，是外生變量的個(gè)數(shù)，是滯后階數(shù)。通過假定服從多元正態(tài)（高斯）分布計(jì)算對(duì)數(shù)似然值： （212）需要注意的是，一些參考文獻(xiàn)通過不同的方法來定義AIC和SC。AIC和SC信息準(zhǔn)則要求他們的值越小越好。在利用這些準(zhǔn)則建立一個(gè)初步的模型后，還必須檢驗(yàn)它的恰當(dāng)性，這與單變量模型的診斷性檢驗(yàn)類似，如分析模型的過度擬合及殘差序列的交叉相關(guān)性等。 脈沖響應(yīng)函數(shù)在實(shí)際應(yīng)用中，由于VAR模型是一種非理論性的模型，它無需對(duì)變量作任何先驗(yàn)性約束，因此在VAR模型時(shí)，往往不分析一個(gè)變量的變化對(duì)另一個(gè)變量的影響如何，而是分析當(dāng)一個(gè)誤差項(xiàng)發(fā)生變化，或者說模型受到某種沖擊時(shí)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)影響，這種分析方法稱為脈沖響應(yīng)函數(shù)方法（impulse response function, IRF）。本節(jié)簡(jiǎn)單介紹脈沖響應(yīng)函數(shù)的基本思想。用時(shí)間序列模型來分析影響關(guān)系的一種思路，是考慮擾動(dòng)項(xiàng)的影響是如何傳播到各變量的。下面先根據(jù)兩變量的VAR（2）模型來說明脈沖響應(yīng)函數(shù)的基本思想。 （213）式中，是參數(shù)，擾動(dòng)項(xiàng)，假定是具有下面這樣性質(zhì)的白噪聲向量：， 對(duì)于 （214）， 對(duì)于 假定上述系統(tǒng)從0期開開始始活動(dòng)，且設(shè)，又設(shè)于第0期給定了擾動(dòng)項(xiàng)，并且其后均為0，即（），稱此為第0期給以脈沖，下面討論和的響應(yīng)，時(shí)：，將其結(jié)果代入式（213），時(shí)：，再把此結(jié)果代入式（213），時(shí)：，繼續(xù)這樣計(jì)算下去，設(shè)求得結(jié)果為:稱為由的脈沖引起的的響應(yīng)函數(shù)。同樣所求得稱為由的脈沖引起的的響應(yīng)函數(shù)。當(dāng)然，第0期的脈沖反過來，從，出發(fā)，可以求出由的脈動(dòng)沖引起的的響應(yīng)函數(shù)和的響應(yīng)函數(shù)。因?yàn)橐陨线@樣的脈沖響應(yīng)函數(shù)明顯地捕捉到?jīng)_的效果，所以同用于計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的沖擊乘數(shù)分析是類似的。 方差分解 方差分解（variance deposition）是通過分析每一個(gè)結(jié)構(gòu)沖擊對(duì)內(nèi)生變量變化的貢獻(xiàn)度，進(jìn)一步評(píng)價(jià)不同結(jié)構(gòu)沖擊的重要性。所以，方差分析給出了對(duì)模型中的變量產(chǎn)生影響的每個(gè)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的相對(duì)重要性的信息。脈沖響應(yīng)函數(shù)描述的是隨著時(shí)間的推移，模型中的各變量對(duì)沖擊是如何反應(yīng)的，對(duì)變量間的影響關(guān)系做出了細(xì)致的描述，而由Sims與1980年提出的方差分解方法，可以將變量間的影響關(guān)系定量的，粗糙的反映出來。根據(jù)式（215） （215）各括號(hào)中的內(nèi)容是第個(gè)擾動(dòng)項(xiàng)從無限過去到現(xiàn)在時(shí)點(diǎn)對(duì)影響的總和。求其方差，假定無序列相關(guān)，則 （216）就是把第個(gè)擾動(dòng)項(xiàng)對(duì)第個(gè)變量從無限過去到現(xiàn)在時(shí)點(diǎn)的影響，用方差加以評(píng)價(jià)的結(jié)果。 假定擾動(dòng)項(xiàng)向量的協(xié)方差矩陣是對(duì)角陣，則的方差是上述方差的k項(xiàng)簡(jiǎn)單和。 （217） 的方差可以分解成k種不相關(guān)的影響，各個(gè)擾動(dòng)項(xiàng)對(duì)的相對(duì)方差貢獻(xiàn)率定義為 （218） 相對(duì)方差貢獻(xiàn)率（relative variance contribution, RVC）是根據(jù)第個(gè)變量基礎(chǔ)沖擊的方差對(duì)的方差的相對(duì)貢獻(xiàn)度來觀測(cè)個(gè)變量對(duì)第變量的影響。在模型滿足平穩(wěn)性的條件下，隨著德增大呈幾何級(jí)數(shù)性的衰減，所以可以只取有限的項(xiàng)，得到近似的相對(duì)方差貢獻(xiàn)率（RVC）： （219）具有如下性質(zhì)：（1） （220） （2） (221)如果大時(shí)，意味著第個(gè)變量對(duì)第變量的影響大。相反，如果小時(shí)，意味著第個(gè)變量對(duì)第變量的影響小。 Johansen協(xié)整檢驗(yàn)和和向量誤差修正模型Johansen的1988年及在1990年與Juselius一起提出的以VAR模型為基礎(chǔ)的檢驗(yàn)回歸系數(shù)的方法，是一種進(jìn)行多變量協(xié)整檢驗(yàn)較好的方法。協(xié)整的定義如下：維向量的分量間被稱為d，b階協(xié)整，記為，如果滿足：（1），要求的每個(gè)分量；（2）存在非零向量，使得。簡(jiǎn)稱是協(xié)整的，向量又稱為協(xié)整向量。下面介紹JJ檢驗(yàn)的基本思想。首先建立一個(gè)VAR（p）模型， （222）其中，，都是非平穩(wěn)的變量；是一個(gè)確定的維外生向量，代表趨勢(shì)項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)等確定性項(xiàng)；是k維誤差向量。將式（20）差分變換，得到： （223）其中， （224）經(jīng)過差分，式（223）中的，（）都是變量構(gòu)成的向量，所以只要是的向量，即，，之間具有協(xié)整關(guān)系，就能保證是平穩(wěn)過程。變量，，之間是否具有協(xié)整關(guān)系主要要依賴于矩陣的秩。設(shè)的秩為，則存在三種情況：。（1），顯然只有當(dāng)，，都是變量時(shí)，才能保證是變量構(gòu)成的向量。這與已知矛盾，所以必然有。（2），意味著，此時(shí)式（21）中的各項(xiàng)都是變量，不需要討論，，之間是否具有協(xié)整關(guān)系。（3），表示存在個(gè)協(xié)整組合，其余個(gè)仍是關(guān)系。此時(shí)可分解成兩個(gè)階矩陣和的乘積： （225）其中，將式（225）代入（223），得到： （226）其中為協(xié)整向量矩陣，為協(xié)整向量的個(gè)數(shù)。這種將的協(xié)整檢驗(yàn)變成對(duì)矩陣的分析問題，就是Johansen協(xié)整檢驗(yàn)的基本原理。當(dāng)變量之間存在協(xié)整關(guān)系時(shí)，可以由自回歸分布滯后模型導(dǎo)出誤差修正模型。在VAR模型中的每個(gè)方程都是一個(gè)自回歸分布滯后模型，所以可以認(rèn)為VEC模型是含有楞整約束的VAR模型，多應(yīng)用于具有協(xié)整關(guān)系的非平穩(wěn)時(shí)間序列建模。如果式（222）的所包含的個(gè)過程存在協(xié)整關(guān)系，則不包含外生變量的式（226）可寫為:， （227）每個(gè)方程的誤差項(xiàng)都具有平穩(wěn)性。一個(gè)協(xié)整體系有多種表示形式，用誤差修正模型表示是當(dāng)前處理這個(gè)問題的普遍方法，即： （228）其中的每一個(gè)方程都是一個(gè)誤差修正模型。是誤差修正項(xiàng)，反映變量之間的長(zhǎng)期均衡關(guān)系，系數(shù)向量反映變量之間的均衡關(guān)系偏離長(zhǎng)期均衡狀態(tài)時(shí)，將其調(diào)整到均衡狀態(tài)的調(diào)整速度。3 極值理論極值理論是次序統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)分支，主要處理嚴(yán)重背離分布均值的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。傳統(tǒng)上，極值理論被用來預(yù)測(cè)海嘯、地震等自然災(zāi)害。最近，極值理論被廣泛應(yīng)用于金融、保險(xiǎn)、以及因特網(wǎng)交通管理。極值，從統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上講，是指某一時(shí)刻的隨即過程的最大值和最小值，通常位于金融收益分布的尾部。這些極值的產(chǎn)生可能于許多因素有關(guān)，例如金融市場(chǎng)上的極值，可能與正常的價(jià)值回歸有關(guān)，也可能與非常時(shí)期的股票市場(chǎng)、債券市場(chǎng)、或者外匯市場(chǎng)的沖擊有關(guān)。 極值理論主要研究的是極值分布及其特性，尤其是分布的尾部特征。從實(shí)踐的觀點(diǎn)看，研究金融收益分布的尾部的重要意義在于能夠幫助我們估計(jì)極值的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，一旦知道了尾部特征，我們就可以應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量的工具進(jìn)一步分析可能的極值運(yùn)動(dòng)。 BLOCK方法與廣義極值分布 廣義極值分布（GEV）設(shè)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且。令，其中，若存在序列，使得正規(guī)化的極值滿足：。為一非退化的分布函數(shù)。稱為分布的最大吸引域，記為。Fisher和Tippett定理（1928）[233]指出，與序列的原始分布無關(guān)，必為下面三種分布族之一：Gumbel: Fr233。chet （31）Weibull: 使得Fisher定理成立的分布族很廣泛，Gnedenko（1943）[76]指出若分布的尾部呈現(xiàn)冪法則衰減，則在Fr233。chet的吸引域內(nèi)。以冪律衰減的分布尾部包括Pareto、Cauchy、Studentt等分布，這些分布是典型的胖尾分布（Fattailed Distribution），一般來說，對(duì)于金融時(shí)間序列而言，胖尾是存在的，即極值分布一般收斂于Fr233。chet分布。在Weibull分布吸引域的分布函數(shù)是瘦尾分布（尾部依指數(shù)衰減），金融時(shí)間序列一般不具備此特征。在Gumbel分布吸引域的包括正態(tài)、指數(shù)、Gamma、對(duì)數(shù)正態(tài)分布函數(shù)，僅僅對(duì)數(shù)正態(tài)分布略有一點(diǎn)胖尾特征。Mises（1936）[234]、Jenkinson（1955）[77]建議將三種分布用GEV分布統(tǒng)一表達(dá)，即正規(guī)化的極值服從分布： （32）一般情況下，引入位置參數(shù)和尺度參數(shù)，將極值的漸近分布表示為： （33）其中，，對(duì)應(yīng)Gumbel分布，對(duì)應(yīng) Fr233。chet分布，對(duì)應(yīng)Weibull分布。為分布形狀參數(shù)，為尾部指數(shù)。 廣義極值分布參數(shù)的極大似然點(diǎn)估計(jì)方法Longin（1996，2000）[89, 90]提出了參數(shù)的極大似然估計(jì)方案，設(shè)是收益序列，令，將序列分成個(gè)不交叉的長(zhǎng)度均為的等長(zhǎng)子序列。記。此過程即為BLOCK分塊過程，以產(chǎn)生用于計(jì)算極值分布的樣本序列，假定其是序列。分布的密度函數(shù)為： 則對(duì)數(shù)似然函數(shù)為： (34)Richard L. Smith（1985）[235]指出，僅當(dāng)時(shí)，極大似然估計(jì)成立，對(duì)金融時(shí)間序列來說，一般是成立的，所以應(yīng)用極大似然估計(jì)是可行的。 尾部及分位數(shù)的估計(jì)VaR(Value at Risk )按字面意思解釋就是“處于風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)的價(jià)值”，即在市場(chǎng)正常情況下，在一定置信水平下和一定期間內(nèi)，某一金融工具或投機(jī)組合在未來資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)下所面臨的最大潛在損失值。VaR方法用數(shù)學(xué)語言表達(dá)為: (35)其中：為持有期間，為風(fēng)險(xiǎn)因素(如：利率、匯率和價(jià)格等)，為置信水平。在任意時(shí)間指標(biāo)，我們關(guān)注的是在接下來的的時(shí)間段中