點線面之間的位置關(guān)系的知識點總結(jié)(編輯修改稿)
2025-07-19 02:00 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 直線BD1與AC所成的角為90176。.[例4] a和b為異面直線，則過a與b垂直的平面( ). A．有且只有一個 B．一個面或無數(shù)個 C．可能不存在 D．可能有無數(shù)個錯解：A.錯因：過a與b垂直的平面條件不清.正解：C.[例5] 在正方體A1B1C1D1－ABCD中，E、F分別是棱AB、BC的中點，O是底面ABCD的中點．求證：EF垂直平面BB1O．證明： 如圖,連接AC、BD，則O為AC和BD的交點．∵E、F分別是AB、BC的中點，∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥AC．∵B1B⊥平面ABCD,AC平面ABCD∴AC⊥B1B，由正方形ABCD知：AC⊥BO，又BO與BB1是平面BB1O上的兩條相交直線，∴AC⊥平面BB1O(線面垂直判定定理)∵AC∥EF，∴ EF⊥平面BB1O． [例6]如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1 中，E 是BB1 的中點，O 是底面正方形ABCD 的中心，求證：OE 平面ACD1 ．分析：本題考查的是線面垂直的判定方法．根據(jù)線面垂直的判定方法，要證明OE 平面ACD1 ，只要在平面ACD1 內(nèi)找兩條相交直線與OE 垂直．證明：連結(jié)B1D 、A!D 、BD ，在△B1BD 中， ∵E,O 分別是B1B 和DB 的中點， ∴EO∥B1D ． ∵B1A1 面AA1D1D ， ∴DA1 為DB1 在面AA1D1D 內(nèi)的射影． 又∵AD1A1D ， ∴AD1DB1 ． 同理可證B1DD1C ． 又∵AD1，AD1,D1C 面ACD1 ， ∴B1D 平面ACD1 ． ∵B1D∥OE ， ∴OE 平面ACD1 ． 點評：要證線面垂直可找線線垂直，這是立體幾何證明線面垂直時常用的轉(zhuǎn)化方法．在證明線線垂直時既要注意三垂線定理及其逆定理的應(yīng)用，也要注意有時是從數(shù)量關(guān)系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的應(yīng)用．[例7]．如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中,點N在BD上, 點M在B1C上,且CM=DN,求證:MN∥平面AA1B1B.證明：,作ME∥BC,交BB1于E,作NF∥AD,交AB于F,連EF則EF平面AA1B1B.ME=NF又ME∥BC∥AD∥NF,MEFN為平行四邊形,MN∥EF. MN∥平面AA1B1B.,連接并延長CN交BA延長線于點P,連B1P,則B1P平面AA1B1B. ∽,又CM=DN,B1C=BD,∥B1P. B1P平面AA1B1B, MN∥平面AA1B1B.,作MP∥BB1,交BC于點P,連NP. MP∥BB1, BD=B1C,DN=CM, NP∥CD∥∥面AA1B1B.MN∥平面AA1B1B.點、線、面之間的位置關(guān)系單元測試 第1題. 下列命題正確的是（ ）Ａ．經(jīng)過三點確定一個平面Ｂ．經(jīng)過一條直線和一個點確定一個平面Ｃ．四邊形確定一個平面Ｄ．兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面答案：Ｄ．第2題. 如圖，空間四邊形中，，分別是，，的中點．求證：四邊形是平行四邊形．答案：證明：連接．因為是的中位線，所以，且．同理，且．因為，且．所以四邊形為平行四邊形．第3題. 如圖，已知長方體中，，．（１）和所成的角是多少度？（２）和所成的角是多少度？答案：（１）；（２）．第4題. 下列命題中正確的個數(shù)是（ ）若直線上有無數(shù)個點不在平面內(nèi)，則．若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的任意一條直線
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