【文章內(nèi)容簡介】 是原因之一．　　（3）有關(guān)公式　?、倩￠L 　　② 　?。?）例題分析　　【例1】下列站個角中哪幾個是第二象限角？　?。?） 　　（2） 　?。?） 　　（4）9　?。?）－4　　（6） 解：（1） 　?。?） 　　（3） 　?。?） 　?。?） 　　（6） 從而可知（2）（4）（5）所給的角在Ⅱ象限．點評：①用弧度制表示終邊相同的角的方法 　?、诎岩唤腔癁?形式，其中 從而可判斷角所在象限．　　③在同一問題求解過程中，兩種單位不能混用，如 寫法不妥．【例2】（1）把 化為 ， ， 的形式是（ ）　　A． 　　B． 　　C． 　D． （2）在半徑不等的兩個圓內(nèi)，1弧度的圓心角（ ）　　A．所對弧長相等　　　　　　B．所對的弦長相等　　C．所對弧長等于各自半徑　　D．所對的弧長為 解：∵ 　　∴ 　　∴選D．（2）由弧度制定義，知半徑為 的圓上，1弧度的弧長應(yīng)等于半徑 ，故選 ．【例3】填空　?。?）在 內(nèi)找出與 終邊相同的角______________．　　（2）圓的弧長等于該圓內(nèi)接正三角形的邊長，則該弧所對的圓心角的弧度數(shù)是________________．　?。?）在扇形 中， ，弧長為1，則此扇形內(nèi)切圓的面積____________．解：（1）與 終邊相同角，設(shè)為 ．令 　　∴所求角為： ．　　（2）設(shè)圓半徑為 ，則內(nèi)接正三角形邊長為 ，當弧長 時，其所對圓心角 ．　?。?）如圖2，設(shè)扇形半徑為 ，內(nèi)切圓半徑為 ，則由 　　∵ 　　∴ 3．練習反饋　　（1） ＝___________弧度； ＝____________弧度；－10弧度_________度　?。?）與 終邊相同的角是__________，它們是第__________象限角，其中最小正角為__________，最大負角為___________．參考答案：　?。?） ； ； 　?。?） ；它們是第三象限角；最小正角為 ，最大負角為 ．4．總結(jié)提煉　?。?） （度） ； 這里， 為任一角度制角， 為任一實數(shù)（弧度）　?。?）有了弧度制，實現(xiàn)了角度集與實數(shù)集合之間的一一對應(yīng)，對應(yīng)法則是正比例函數(shù) ．（ 為角度集合中元素， 為實數(shù)集中元素）．　?。?）弧度制的引入，使得有關(guān)公式表達式簡單，運算為常規(guī)的十進制．　?。?）任一角 的弧度的絕對值為 ，也就是說，對于任意角的度量，其弧度要把符號和絕對值分開求．課時作業(yè)1．若 ， ， ，則 的終邊位置關(guān)系是（ ）　　A．重合　B．關(guān)于原點對稱　C．關(guān)于 軸對稱　D．關(guān)于 軸對稱2．如果弧度的圓心角所對的弦長為2，那么這個圓心角所對的弧長是（ ）　　A．　　B．　　C．　　D． 3．地球赤道的半徑是6370㎞，所以赤道上 的弧長是_________（㎞）4．一條鐵路在轉(zhuǎn)彎處成圓弧形，圓弧的半徑為2㎞，一列火車用每小時30㎞的速度通過，10秒間轉(zhuǎn)過幾度？5．半徑為 的扇形，其周長為 ，則扇形中所含弓形的面積是多少？6．角 和角 的和是1弧度，差為 ，則 和 的弧度數(shù)分別是多少？參考答案：1．C； 2．C； 3．㎞； 4．因為圓弧半徑為 ， ， 走過弧長為 ，由公式 ；5． ；　　6． ， 板書設(shè)計弧度制（二）1．正、負、零角的弧度制意義2．角度集合與實數(shù)集間一一對應(yīng)3．例1例2例3練習反饋小結(jié)典型例題例1 將下列各角化成 ，且 的形式，并指出它們是第幾象限角：（1） ；（2） ．分析 先把 化成 的形式，再用弧度制表示．解（1）∵ ，　　∴ 與 角的終邊相同，又∵ 是第一象限角，　　∴ 是第一象限角．（2）∵ ，∴ 與 角的終邊相同．　　又∵ 是第三象限角，∴ 是第三象限角．　　說明 用弧度制表示終邊相同角 時， 是 的偶數(shù)倍，而不是整數(shù)倍．同時， 為弧度，不能寫成 的形式．例2 若弧度為2的圓心角所對的弦長為2，則這個圓心角所夾扇形的面積是（ ）　　A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D． 分析 由扇形的面積公式 知，要求扇形的面積，只需求出扇形的半徑 即可．　　解 如圖，過點 作 于 ，延長 ，交 于 ，則　　 ＝ ＝ ，且 ．　　在 中， ．　　∴扇形的面積 ．故選C．例3 集合 ， ，則有（ ）．　　A．　B． 　C． 　D． 　　分析 對集合 中的整數(shù) 依次取0，1，2，3，得角 ， ， ， ， ， ， 角的終邊相同．故選 ．例4　　如圖，用弧度制表示下列終邊落在陰影部分的角的集合（不包括邊界）．　　 解（1）按逆時針方向，在區(qū)間 上與角 終邊相同的角為 ，故所求集合為： ．　　（2）圖中第三象限部分可看成是由第一象限的陰影部分繞原點旋轉(zhuǎn) 弧度而成的，故所求集合可表示為： ．　　說明 當兩區(qū)域的邊界互為反向延長線時，只用一個式“ ”就可以表示．　?。?）所求集合為： ．例5 已知兩角的和為1弧度，且兩角的差為 ，求這兩個角各是多少弧度．　　分析 設(shè)兩角的弧度數(shù)分別是 、 ，通過列方程組，就可以求出 、 ，但要注意單位的統(tǒng)一．　　解 設(shè)兩角的弧度數(shù)分別是 、 ，因為 ，　　則依題意，得 ，解之得 　　即所求兩角的弧度數(shù)分別為 ， ．擴展資料紙扇能否按照黃金比例設(shè)計？　　在炎炎夏日，用紙扇驅(qū)走悶熱，無疑是最環(huán)好的方法．扇在美觀設(shè)計上，可考慮用料、圖案和形狀．若從數(shù)學角度看，我們能否利用黃金比例（）去設(shè)計一把富美感的的白紙扇？　　在設(shè)計紙扇張開角（ ）時，可考慮從一圓形（半徑為 ）分割出來的扇形的面積（ ）與剩余面積（ ）的比值．若假設(shè)這比值等于黃金比例，便可以找出 ． 若 ， 以弧度表示． 則　 ． （精確至最接近的 ）． 除了找市面上的紙扇去量度其張開的角度外，我們更可自制不同形狀的紙扇，去測試一下 接近 的設(shè)計是否最美．探究活動旋轉(zhuǎn)的風車　　一個大風車的半徑為8m，12分鐘旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點離地面2m（如圖所示），求風車翼片的一個端點離地面距離 （米）與時間 （分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系（用弧度制求解）． 　　解：首先考慮建立直角坐標系，以最低點的切線作為 軸，最低點作為坐標原點，如圖建立直角坐標系．　　那么，風車上翼片端點所在位置 可由函數(shù) 、 來刻畫，而且 ．　　所以，只需要考慮 的表示達．又設(shè) 的初始位置在最低點即 ．　　在 中， ， ．　　而　 ，所以 ， ， ．習題精選一、選擇題1． 的值是（ ）．　　A． 　　B． 　　C． 　　D． 2．一條弦長等于半徑的 ，則此弦所對圓心角（ ）．　　A．等于 弧度　　　　B．等于 弧度　　C．等于 弧度　　　　D．以上都不對3．把 化為 的形式是（ ）．　　A． 　　B． 　　C． 　　D． 4．扇形的周期是16，圓心角是2弧度，則扇形面積是（ ）．　　A． 　　　　B． 　　　　C．16　　　　D．32二、填空題1． 度； 弧度．2．半徑為2的圓中，長為2的弧所對的圓周角的弧度數(shù)為__________，度數(shù)為____________．3．3弧度的角的終邊在第_____________象限，7弧度的角的終邊在第_____________象限．4．扇形的圓心角為 ，半徑為 ，則弧長為____________．5．若 的圓心角所對的弧長為 ，則此圓的半徑為______________．三、解答題1．在半徑為 的圓中，扇形的周長等于半圓的長，那么扇形的圓心角是多少度？扇形的面積是多少？2．在直徑為 的滑輪上有一條弦，其長為 ，且 為弦的中點，滑輪以每秒5弧度的角速度旋轉(zhuǎn)，則經(jīng)過 后， 點轉(zhuǎn)過的弧長是多少？進階演練3．扇形 的面積為 ，它的周長為 ，求扇形圓心角的弧度數(shù)及弦長 ．4．一扇形周長是 ，扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大？最大面積是多少？參考答案：一、選擇題1．B 2．D 3．D 4．C二、填空題1．36， 　2． ， 　　3．二、一　　4． 　　5． 三、解答題1． ， 　　2． 3． ， 4．圓心角為2弧度時， 最大值為 ． 任意角的三角函數(shù)教學目標 　?。?）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解如何利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角α的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用正弦線、余弦線、正切線表示出來；　?。?）了解余切、正割、余割的定義；掌握正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域和這三種函數(shù)的值在各象限的符號；　　（3）掌握公式一，會運用它們把求任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別轉(zhuǎn)化為求0176。到360176。的這三種三角函數(shù)值；　?。?）通過樹立映射的觀點，建立正確理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)的能力；　　（5）體會同一角的三角函數(shù)值，不因在其終邊上取點的變化而變化，從而啟示在研究問題時，要能在千變?nèi)f化中，抓住事物的本質(zhì)屬性，不被表面現(xiàn)象所迷惑．教學建議一、知識結(jié)構(gòu)　　先通過平面直角坐標系定義了任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)，并利用與單位圓有關(guān)的線段，將這些函數(shù)值分別用它們的幾何形式表示出來；然后定義了任意角的正切、正割、余割函數(shù)．接著著重研究正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域和這三種函數(shù)的值在各個象限的符號；并根據(jù)三角函數(shù)的定義，得出“終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等”的結(jié)論及把此結(jié)論表示成第一組誘導(dǎo)公式（公式一）．二、重點、難點分析　　重點是任意角的正弦、余弦、正切的定義及在各象限內(nèi)的符號和定義域，誘導(dǎo)公式一；難點是用單位圓中的有向線段表示角的正弦、余弦、正切值．　　（1）定義中的六個比值 等，與點 在終邊上的位置無關(guān)，只與角的大小有關(guān)；它們都可以看作以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，分別稱為正弦函數(shù)，余弦函數(shù)等．　?。?）三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號，是根據(jù)三角函數(shù)的定義，終邊上的點坐標符號來確定的，十分重要，在今后的學習中經(jīng)常用到．　?。?）定義域也是根據(jù)三角函數(shù)的定義，要求其有意義，即分母不為0而得到角的取值范圍．　?。?）誘導(dǎo)公式（一）也是利用任意三角函數(shù)的定義，結(jié)合終邊相同的角定義得出，即終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等： ．　　（5）三角函數(shù)線是表示一個角三角函數(shù)值的幾何方法，它們的大小即長度等于 的三角函數(shù)值的符號．特別注意的是它們均有方向，即起點和終點，記法：當兩個端點都在 軸上時，以原點為起點（余弦線），當兩個端點有一個在軸上時，以軸上的點為起點（正弦線、余弦線），特別是正弦線和正切線在后面三角函數(shù)的圖象中，用來作出正弦曲線和正切曲線，所必須清楚其意義．三、關(guān)于任意角的三角函數(shù)的教法建議　?。?）由三角函數(shù)的定義可知，若已知角 終邊上一點，便可求出其各三角函數(shù)值，或通過三角函數(shù)定義，可知其二求其一．　　三角函數(shù)的符號與角所在象限有關(guān)，采用上圖來記憶． （2）必須講清并強調(diào) 這六個比值的大小都與點 在角的終邊上的位置無關(guān)，只與角的大小有關(guān)，即它們都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)．　?。?）教學中應(yīng)注意，語言要準確嚴密．首先“六種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)”這句話，說明不是這六種函數(shù)的函數(shù)，都不能說是三角函數(shù)．　?。?）教學中，應(yīng)當引導(dǎo)學生深刻認識三角函數(shù)符號的含義．如， 這個符號，它表示 ，即角 的正弦，不能把 看成 與 的乘積，猶如 不能看成 與 的乘積一樣，離開了自變量 ，符號 就沒有意義了．同時也應(yīng)注意，每個函數(shù)記號的第一個字母“ ”或“ ”或“ ”都不能大寫，不能讓學生養(yǎng)成寫“ ”、“ ”等習慣．教學設(shè)計示例（一）任意角的三角函數(shù)教學目標：　　1．通過對初中銳角三角函數(shù)定義的回憶，掌握任意角三角函數(shù)的定義法，并掌握用單位圓中的有向線段表示三角函數(shù)值．　　2．掌握已知角 終邊上一點坐標，求四個三角函數(shù)值．（即給角求值問題）教學重點：　　任意角的三角函數(shù)的定義．教學難點：　　任意角的三角函數(shù)的定義，正弦、余弦、正切這三種三角函數(shù)的幾何表示．教學用具：　　直尺、圓規(guī)、投影儀．教學步驟： 1．設(shè)置情境　　角的范圍已經(jīng)推廣，那么對任一角 是否也能像銳角一樣定義其四種三角函數(shù)呢？本節(jié)課就來討論這一問題．2．探索研究（1）復(fù)習回憶銳角三角函數(shù)　　我們已經(jīng)學習過銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角 為自變量，以比值為函數(shù)值，定義了角 的正弦、余弦、正切、余切的三角函數(shù)，本節(jié)課我們研究當角 是一個任意角時，其三角函數(shù)的定義及其幾何表示．（2）任意角的三角函數(shù)定義　　如圖1，設(shè) 是任意角， 的終邊上任意一點 的坐標是 ，當角 在第一、二、三、四象限時的情形，它與原點的距離為 ，則 ．定義：①比值 叫做 的正弦，記作 ，即 ．　?、诒戎?叫做 的余弦，記作 ，即 ．圖1　?、郾戎?叫做 的正切，記作 ，即 ．　　同時提供顯示任意角的三角函數(shù)所在象限的課件提問：對于確定的角 ，這三個比值的大小和 點在角 的終邊上的位置是否有關(guān)呢？　　利用三角形相似的知識，可以得出對于角 ，這三個比值的大小與 點在角 的終邊上的位置無關(guān)，只與角 的大小有關(guān)．　　請同學們觀察當 時， 的終邊在 軸上，此時終邊上任一點 的橫坐標 都等于0，所以 無意義，除此之外，對于確定的角 ，上面三個比值都是惟一確定的．把上面定義中三個比的前項、后項交換，那么得到另外三個定義．　?、鼙戎?叫做 的余切，記作 ，則 ．　?、荼戎?叫做 的正割，記作 ，則 ．　?、薇戎?叫做 的余割，記作 ，則 ．可以看出：當 時， 的終邊在 軸上，這時 的縱坐標 都等于0，所以 與 的值不存在，當 時， 的值不存在，除此之外，對于確定的角 ，比值 ， ， 分別是一個確定的實數(shù)，所以我們把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看成是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，以上六種函數(shù)統(tǒng)稱三角函數(shù)．（3）三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)　　對于確定的角 ，如圖2所示， ， ， 分別對應(yīng)的比值各是一個確定的實數(shù)，因此，正弦，余弦，正切分別可看成從一個