【正文】 與半徑的積，這個(gè)公式比采用角度制時(shí)相應(yīng)公式 要簡(jiǎn)單．（3）角度制與弧度制的換算　　用“弧度”與“度”去度量每一個(gè)角時(shí)，除了零角以外，所得到的量數(shù)都是不同的，但它們既然是度量同一個(gè)角的結(jié)果，二者就可以相互換算．我們已經(jīng)知識(shí)若弧是一個(gè)整圓，它的圓心角是周角，其弧度數(shù)是 ，而在角度制里它是 ，因此 ，兩邊除以2．　　得其次弧度制與角度制相比有一定的優(yōu)點(diǎn)，一是在進(jìn)位上角度制在度、分、秒上是60進(jìn)制，而弧度制卻是十進(jìn)制，其二在弧長(zhǎng)和扇形的面積的表示上弧度制也比角度制簡(jiǎn)單： 　?。?）兩種制度的轉(zhuǎn)換?！　。?）要弄清1弧度的意義。 8．C 5．②、④、⑤二．選擇題6．D D．五個(gè)三．解答題　　11．求所有與所給角終邊相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大負(fù)角：（1） ；（2） ．　　12．求 ，使 與 角的終邊相同，且 ．　　13．如圖所示，寫出圖中陰影部分（包括邊界）的角的集合，并指出 是否是該集合中的角．　　14．已知角 是第三象限的角，試判斷 、 所在的象限．　　15．若角 的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，試寫出角 的集合，并求出集合中絕對(duì)值最小的角．　　16．寫出終邊在函數(shù) 的圖象上的角的集合 ，并指出其中在 內(nèi)的角．參考答案：一．填空題1． ，三， ， C．四個(gè) B．三個(gè) ）．　　A． 　　B． 　　C． 　　D． 　　10．設(shè) ，且 的終邊與 軸非負(fù)半軸重合，則這樣的角最多有（ ）．　　A． 　B． 　C． 　D． 　　9．若兩角 、 的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么（　　B． 　　C． 　　D． 　　8．經(jīng)過(guò)3小時(shí)35分鐘，時(shí)針與分針轉(zhuǎn)過(guò)的度數(shù)之差是（．　　5小時(shí)25分鐘折合成 小時(shí)，1小時(shí)對(duì)應(yīng) ．所以 小時(shí)對(duì)應(yīng) ，所以順時(shí)針轉(zhuǎn)－176。 已知 是第二象限的角，試求　?。?） 角所在的象限；　　（2） 角所在的象限．　　分析：對(duì)于本題，如若不進(jìn)行較深入地推演，則很容易得到一個(gè)較明顯而又錯(cuò)誤的結(jié)論，即認(rèn)為 角在第一象限； 角在第四象限，而事實(shí)上是不盡然的．　　解：（1）因?yàn)?是第二象限的角，　　所以 ，　　從而有 ．　　由上知，當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)， 角是第一象限的角；當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)， 角是第三象限的角．　　綜上可知， 角是第一或第三象限的角．　　（2）由（1）可知， 角的范圍是 ．　　故 角是第三象限，或第四象限，或是 軸負(fù)半軸上的角．　　說(shuō)明：依照（1）中的方法，可得到以下規(guī)律：當(dāng) 分別是第一、二、三、四象限時(shí)， 則可能順次是第一或三、一或三、二或四、二或四象限的角．仿此，還可進(jìn)一步考慮 的情形，有興趣的讀者不妨一試；另外，應(yīng)注意，在（2）中，不可把 角答成是第三象限或第四象限的角，因?yàn)榻K邊在 軸負(fù)半軸上的角 （ ）也是它的一個(gè)解，而此角不屬于任何象限．探究活動(dòng)　　經(jīng)過(guò)5小時(shí)又25分鐘，時(shí)鐘的分針、時(shí)針各轉(zhuǎn)多少度？參考答案：　　5小時(shí)25分鐘折合成325分鐘．60分鐘對(duì)應(yīng)360176。 即為欲求的角，它在第三象限，從而 也是第三象限的角．　?。?）因?yàn)?，　　所以 即為所求的角，它是第三象限的角，故 也是第三象限的角．　　說(shuō)明：在 ～ 內(nèi)求終邊與給定的角的終邊相同的角時(shí)，若題中給定的角是負(fù)角，在應(yīng)用式子 表示時(shí)， 比正常除法所得整數(shù)應(yīng)小一個(gè)單位，才能使余數(shù)在 ～ 內(nèi)，故這里的 只能取－2，而不能－1，若?。?，則 ，這種形式對(duì)解本題并無(wú)作用，因?yàn)?不在 ～ 之間．　　例3 ）．　　A． 　　　　B． 　　C． （ ）　　D． 　　分析：解答本題時(shí)，先應(yīng)明確所給集合中角的具體含義，再逐一對(duì)照每一個(gè)選項(xiàng)，明辨真?zhèn)危　〗猓旱谝幌笙薜慕遣灰欢ㄐ∮?（如 ），故A錯(cuò)；小于 的角不一定在第一象限（如 ），故B錯(cuò)； 的角 ，但 的角 ，故C錯(cuò)；又 ，因此D對(duì)，應(yīng)選D．　　說(shuō)明：角的概念推廣后，遇到角的問(wèn)題，應(yīng)根據(jù)角的范圍及相關(guān)角的概念進(jìn)行具體分析．如本題中的“銳角”與“小于 的角”就是兩個(gè)含義不盡相同的概念．　　例2 設(shè) ， ， ， ，那么有（ 4．∵ ）　　A．終邊和始邊都相同的兩個(gè)角一定相等　　B． 是第二象限的角　　C．若 ，則 是第一象限角　　D．相等的兩個(gè)角終邊一定相同3．與 終邊相同的角可寫成（ ）　　A． 　　B． 　　C． 　　D． 參考答案：1． ， 　?、谌?， ，　　則 　　此時(shí)， 在單位圓中的區(qū)域Ⅱ中　　綜上知， 在對(duì)頂扇形Ⅰ、Ⅱ之中．　?。?）例題分析　　【例1】若 是第二象限角時(shí)，則 ， ， 分別是第幾象限的角？　　解：（1）∵ 是第二象限的角　　（2）若已知：角 滿足 ， 、 為常數(shù)， ，則 所在位置如何確定？　　事實(shí)上，此問(wèn)題可以仿照上述問(wèn)題一樣處理．　　∵ ， 　　∴ 　　為了確定 所在區(qū)間，需要確定“邊界” ， ， 的位置，為此又需要“看” 是否為 的整數(shù)倍，故討論如下．　　①若 ， ，則 ， 　　如圖，它表示單位圓中的扇形區(qū)域Ⅰ．　　 （4） 2． 3． ， 或 4． ， 5． ， 或 6． 教學(xué)設(shè)計(jì)示例（二）角的概念的推廣教學(xué)目標(biāo)　　1．討論等分角所在象限問(wèn)題．　　2．會(huì)表示給定區(qū)域內(nèi)的角的集合．重點(diǎn)難點(diǎn)　　1．討論等分角所在象限問(wèn)題．　　2．會(huì)表示給定區(qū)域內(nèi)的角的集合．教學(xué)用具　　投影儀教學(xué)過(guò)程1．教學(xué)情境　　我們都知道， 是銳角， 角的一半 也是銳角，那么第一象限角： ， 的一半 是否仍在第一象限呢？2．探索研究　?。?）在上述問(wèn)題中，令 ， ，則 　　為了確認(rèn) 的終邊所在位置，關(guān)鍵是“看”， 是否為 的整數(shù)倍。 （2） ）．　　A．第一象限角　　B．第二象限角　　C．第三象限角 　?。?） 　　滿足條件的元素是 　　 　　 　?。?） 　　 中適合元素是　　 　　 　　 　　說(shuō)明：與角 終邊相同的角，連同 在內(nèi)可記為 ， 這里　　（1） ；　　（2） 是任意角；　?。?） 與 之間是“＋”連接，如 應(yīng)看做 ；　?。?）終邊相同角不一定相等，但相等的角終邊必相同，終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，它們彼此相差 的整數(shù)倍；　　（5）檢查兩角 ， 終邊是否相同，只要看 是否為整數(shù)．練習(xí)：（學(xué)生口答：用投影給出題）（1）請(qǐng)用集合表示下列各角．　?、?～ 間的角　 ②第一象限角?、垆J角?、苄∮?角．（2）分別寫出：　?、俳K邊落在 軸負(fù)半軸上的角的集合；　?、诮K邊落在 軸上的角的集合；　?、劢K邊落在第一、三象限角平分線上的角的集合；　?、芙K邊落在四象限角平分線上的角的集合．解答（1）① ；　　　?、?；　　　?、?；④ 　?。?）① ；　　　?、?；　　　?、?；　　　?、?．　　說(shuō)明：第一象限角未必是銳角，小于 的角不一定是銳角， ～ 間的角，根據(jù)課本約定它包括 ，但不包含 ．　　【例3】用集合表示：　?。?）第三象限角的集合．　　（2）終邊落在 軸右側(cè)的角的集合．　　解：（1）在 ～ 中，第三象限角范圍為 ，而與每個(gè) 角終邊相同的角可記為 ， ，故該范圍中每個(gè)角適合 ， ，故第三象限角集合為 ．　?。?）在 ～ 中， 軸右側(cè)的角可記為 ，同樣把該范圍“旋轉(zhuǎn)” 后，得 ， ，故 軸右側(cè)角的集合為 ．　　說(shuō)明：一個(gè)角按順、逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) （ ）后與原來(lái)角終邊重合，同樣一個(gè)“區(qū)間”內(nèi)的角，按順逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) （ ）角后，所得“區(qū)間”仍與原區(qū)間重疊．3．練習(xí)反饋　　（1）與 的終邊相同且絕對(duì)值最小的角是______________．　?。?）若角 與角 的終邊重合，則 與 的關(guān)系是___________，若角 與角 的終邊在一條直線上，則 與 的關(guān)系是____________．　?。?）若 是第四象限角，則 是（ ）　　A． 軸正半軸上，　　B． 軸正半軸上，　　C． 軸或 軸上，　　D． 軸正半軸或 軸正半軸上　　解答：（1） 　　（2）C　　【例2】寫出與下列各角終邊相同的角的集合 ，并把 中適合不等式 的元素 寫出來(lái)：　?。?） ；（2） ；（3） ．　　解：（1） 　　 中適合 的元素是 　　 本節(jié)課將在已掌握 ～ 角的范圍基礎(chǔ)上，重新給出角的定義，并研究這些角的分類及記法．2．探索研究（1）正角、負(fù)角、零角概念　?、僖粭l射線由原來(lái)位置 ，繞著它的端點(diǎn) ，按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)轉(zhuǎn)到 形成的角規(guī)定為正角，如圖中角 ；把按順時(shí)方向旋轉(zhuǎn)所形成的角規(guī)定為負(fù)角，如圖中的 ；射線沒(méi)作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們認(rèn)為它這時(shí)也形成了一個(gè)角，并把這個(gè)角規(guī)定為零角，與初中所學(xué)角概念一樣， 、 ，點(diǎn) 分別叫該角的始邊、終邊、角頂點(diǎn)．　　②如果把角頂點(diǎn)與直角坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，角的始邊在 軸的正半軸上，這時(shí)，角的終邊落在第幾象限，就稱這個(gè)角是第幾象限角，特別地，如果角的終邊落在坐標(biāo)軸上，就說(shuō)該角不屬于任何象限，習(xí)慣上稱其為軸上角．　?、畚覀冏鞒?， 及 三個(gè)角，易知，它們的終邊相同。再由特殊到一般進(jìn)行歸納總結(jié). 　　2．關(guān)于角的概念的推廣的重點(diǎn)、難點(diǎn)分析　　本節(jié)的重點(diǎn)是任意角的概念和象限角的概念；難點(diǎn)是把終邊相同的角用集合和符號(hào)語(yǔ)言正確地表示出來(lái)．　　可以通過(guò)實(shí)例幫助建立任意角的概念，如用扳手?jǐn)Q螺母；車輪轉(zhuǎn)動(dòng)輻條形成的角，特別是鐘表的指針轉(zhuǎn)動(dòng)，因?yàn)檎?、?fù)角是依據(jù)逆時(shí)針和順時(shí)針來(lái)定義的．　　建立直角平面坐標(biāo)系的前提是：角的頂點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與 軸的正半軸重合．在這個(gè)前提下角的終邊落在第幾象限就稱為第幾象限的角，若終邊落在坐標(biāo)軸上，稱為坐標(biāo)軸上的角．　　為了加深對(duì)任意角概念的理解，應(yīng)正確區(qū)分銳角、 的角、小于 的角．凡與角 終邊相同的角均可以寫作 ． 這一條件不可少，它表明了與 終邊相同的角都相差 的整數(shù)倍，或者在形成角的過(guò)程中，每當(dāng)射線繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)一圈時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)與 終邊相同的角，經(jīng)常使 在 之間，求終邊相同的角，可用此角去除以 ，使余數(shù)在 之間．　　3．關(guān)于角的概念的推廣的教法建議　?。?）建議通過(guò)實(shí)例幫助建立任意角的概念，如用扳手?jǐn)Q螺母；車輪轉(zhuǎn)動(dòng)輻條形成的角，特別是鐘表的指針轉(zhuǎn)動(dòng)，因?yàn)檎?、?fù)角是依據(jù)逆時(shí)針和順時(shí)針來(lái)定義的．也就是用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)講述角的概念的推廣實(shí)際意義．　　（2）正角與負(fù)角的規(guī)定是出于習(xí)慣，就和正數(shù)、負(fù)數(shù)規(guī)定一樣。范圍內(nèi)，找出與此范圍外每一個(gè)已知角終邊相同的角，并判斷其為第幾象限角；能寫出與任一已知角終邊相同的角的集合；　　，深刻理解推廣后的角的概念；　　“射線繞著其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成角”的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)審視事物，用對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律提示生活中的空間形式和數(shù)量關(guān)系．教學(xué)建議　　1．關(guān)于角的概念的推廣的知識(shí)結(jié)構(gòu)　　本小節(jié)內(nèi)容從角不大于周角的非負(fù)角開始擴(kuò)充到任意角，使角有正角、負(fù)角、零角之分。 角的概念的推廣教學(xué)目標(biāo)　　、負(fù)角、零角的定義；理解任意角的概念，學(xué)會(huì)在平面內(nèi)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系來(lái)討論角；　　176。和360176。在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系后，根據(jù)角的終邊在哪一象限，把角劃分為四個(gè)象限和特殊角等若干類，于是引入了第幾象限角和終邊相同的角的集合這樣兩個(gè)概念。建議講正角和負(fù)角的教學(xué)時(shí)對(duì)比正數(shù)、負(fù)數(shù)進(jìn)行教學(xué)．　?。?）角的概念推廣后，建議引導(dǎo)學(xué)生辨別“銳角”、“ 的角”、“小于 的角”、“第一象限角”這些容易混淆的概念．　　（4）建立平面直角坐標(biāo)系后，建議在教學(xué)過(guò)程中要注意正確區(qū)分 軸正半軸上的角與 軸上的角， 軸正半軸與 軸上的角，防止學(xué)生發(fā)生混淆．　?。?）建議在教學(xué)過(guò)程中要認(rèn)真對(duì)待本節(jié)的符號(hào)、詞語(yǔ)，注意它們的正確使用，給學(xué)生樹立一個(gè)榜樣．教學(xué)設(shè)計(jì)示例（一）角的概念的推廣教學(xué)目標(biāo)　　1．理解引入大于 角和負(fù)角的意義．　　2．理解并掌握正、負(fù)、零角的定義．　　3．掌握終邊相同角的表示法．　　4．理解象限角的概念、意義及其表示方法．重點(diǎn)難點(diǎn)　　1．理解并掌握正、負(fù)、零角的定義．　　2．掌握終邊相同角的表示法．教學(xué)用具　　直尺、投影儀教學(xué)過(guò)程1．設(shè)置情境　　設(shè)置實(shí)例（1）用扳手?jǐn)Q螺母（課件）；（2）跳水運(yùn)動(dòng)員身體旋轉(zhuǎn)（視頻）．說(shuō)明旋轉(zhuǎn)第二周、第三周……，則形成了更大范圍內(nèi)的角，這些角顯然超出了我們已有的認(rèn)識(shí)范圍。還可以看出， ， 的終邊也是與 角終邊重合的，而且可以理解，與 角終邊相同的角，連同 在內(nèi)，可以構(gòu)成一個(gè)集合，記作 ．一般地，我們把所有與角 終邊相同的角，連同角 在內(nèi)的一切角，記成 ， 或?qū)懗杉?形式．（2）例題分析　　【例1】在 ～ 間，找出與列列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角（1） ；（2） ；（3） ．解：（1）∵ 　　　　∴與 角終邊相同的角是 角，它是第三象限的角；　?。?）∵ 　　　　∴與 終邊相同的角是 ，它是第四象限的角；　?。?） 　　所以與 角終邊相同的角是 ，它是第二象限角．　　 　　總結(jié)：草式寫在草稿紙上，正的角度除以 ，按通常除去進(jìn)行；負(fù)的角度除以 ，商是負(fù)數(shù)，它的絕對(duì)值應(yīng)比被除數(shù)為其相反數(shù)時(shí)相應(yīng)的商大1，以使余數(shù)為正值．練習(xí)：（學(xué)生板演，可用投影給題）（1）一角為 ，其終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)三周后的角度數(shù)為_______．（2）集合 中，各角的終邊都在（　　D．第四象限角答案：（1） ；　　?。?） ， ， ；　　　（3）C4．總結(jié)提煉　　判斷一個(gè)角 是第幾象限角，只要把 改寫成 ， ，那么 在第幾象限， 就是第幾象限角，若角 與角 適合關(guān)系： ， ，則 、 終邊相同；若角 與 適合關(guān)系： ， ，則 、 終邊互為