【正文】 B． ）　　A． 　　 　　　　　　　 （2） 　　　　　　 （2）推導(dǎo)同角三角函數(shù)關(guān)系式　　觀(guān)察 及 ，當(dāng) 時(shí)，有何關(guān)系？　　當(dāng) 且 時(shí) 、 及 有沒(méi)有商數(shù)關(guān)系？　　通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn) 與 互為倒數(shù)：∵ ．　　由于 ，　　這些三角函數(shù)中還存在平方關(guān)系，請(qǐng)計(jì)算 的值．　　由三角函數(shù)定義我們可以看到： ．　　∴ ，現(xiàn)在我們將同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式總結(jié)如下：　?、倨椒疥P(guān)系： 　?、谏虜?shù)關(guān)系： 　?、鄣箶?shù)關(guān)系： 　　即同一個(gè)角 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角 的正切，同一個(gè)角的正切、余切之積等于1（即同一個(gè)角的正切、余切互為倒數(shù)）．上面這三個(gè)關(guān)系式，我們稱(chēng)之為恒等式，即當(dāng) 取使關(guān)系式兩邊都有意義的任意值時(shí)，關(guān)系式兩邊的值相等，在第二個(gè)式中， 在第三個(gè)式中， 的終邊不在坐標(biāo)軸上，這時(shí)式中兩邊都有意義，以后解題時(shí)，如果沒(méi)有特別說(shuō)明，一般都把關(guān)系式看成是意義的．其次，在利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式時(shí)，要注意其前提“同角”的條件．（3）同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用　　同角三角函數(shù)關(guān)系式十分重要，應(yīng)用廣泛，其中一個(gè)重要應(yīng)用是根據(jù)一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)，求出這個(gè)角的其他三角函數(shù)值．【例1】已知 ，且 是第二象限角，求 ， ， 的值．解：∵ ，且 ，∴ 是第二或第三象限角．　　如果 是第二象限角，那么　　 　　 　　如果 是第三象限角，那么 ， 說(shuō)明：本題沒(méi)有具體指出 是第幾象限的角，則必須由 的函數(shù)值決定 可能是哪幾象限的角，再分象限加以討論．　　【例2】已知 ，求 的值．　　解： ，且 ， 是第二或第三象限角．　　如果 是第二象限角，那么　　 　　 　　如果 是第三象限角，那么 ．　　說(shuō)明：本題沒(méi)有具體指出 是第幾象限角，則必須由 的函數(shù)值決定 可能是哪幾象限的角，再分象限加以討論．　　【例3】已知 為非零實(shí)數(shù)，用 表示 ， ．　　解：因?yàn)?，所以 　　又因?yàn)?，所以 　　于是 ； 10．0三、11． ， ， ， ， ， ．12．0．提示： ， ，再用三角函數(shù)定義．13． ， 或 ， ．14．－2或2．提示：分 ， 討論．15． ．提示：由 　　　得 ．16． ．提示：原式 　　　　　 ． 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式教學(xué)目標(biāo) 　?。?）掌握同角三角函數(shù)之間的三組常用關(guān)系，平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系、倒數(shù)關(guān)系；　　（2）會(huì)運(yùn)用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系求三角函數(shù)值或化簡(jiǎn)三角式；應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系，化簡(jiǎn)三角式（求值）；并能證明簡(jiǎn)單的三角恒等式；　?。?）牢固掌握同角三角函數(shù)的三個(gè)關(guān)系式并能靈活運(yùn)用于解題，提高學(xué)生分析、解決三角問(wèn)題的思維能力．　?。?）通過(guò)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系學(xué)習(xí)，提示事物之間的普通聯(lián)系規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義要觀(guān)．教學(xué)建議　　一、關(guān)于同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的知識(shí)結(jié)構(gòu)　　二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析　　重點(diǎn)是三個(gè)公式的推導(dǎo)和應(yīng)用．　　（1）已知 的三角函數(shù)值中的一個(gè)，表示它的其他三角函數(shù)值；　　（2）化簡(jiǎn)三角函數(shù)式；　?。?）證明簡(jiǎn)單的三角恒等式．　　難點(diǎn)是公式的應(yīng)用．　?。?）利用 的某一三角函數(shù)值求 的其他三角函數(shù)值；　　（2）三角恒等式的證明，證明恒等式可從左向右，也可從右向左，等價(jià)變形；　?。?）接受切化弦的思想，及恒等變形中等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想；　?。?）化簡(jiǎn)是最基本的解題思想，結(jié)果要求最簡(jiǎn)形式．三、教法建議　　（1）在應(yīng)用平方關(guān)系時(shí)，其結(jié)果不唯一，注意根據(jù)角所在的象限來(lái)取舍；　　（2）在學(xué)習(xí)中必須注意“同角”這一前提，只有在這一前提下都能使用公式；　?。?）注意公式的等價(jià)變形和常用數(shù)值：　　 ；　　 ；　　 ．　?。?）證明恒等式要注意等價(jià)變形，不能隨意擴(kuò)大和縮小范圍；　　（5）化簡(jiǎn)要盡使結(jié)果只存在一個(gè)角，盡是使根式下，分母上不含有三角函數(shù)，其結(jié)果還要依題意而定．教學(xué)設(shè)計(jì)方案（一）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式教學(xué)目標(biāo)：　　1．掌握同角三角函數(shù)之間的三組常用關(guān)系，平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系、倒數(shù)關(guān)系．　　2．會(huì)運(yùn)用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系求三角函數(shù)值或化簡(jiǎn)三角式．教學(xué)重點(diǎn)：　　理解并掌握同角三角函數(shù)關(guān)系式．教學(xué)難點(diǎn)：　　已知某角的一個(gè)三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值時(shí)正負(fù)號(hào)的選擇； 教學(xué)用具：　　直尺、投影儀．教學(xué)步驟： 1．設(shè)置情境　　與初中學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)一樣，本節(jié)課我們來(lái)研究同角三角函數(shù)之間關(guān)系，弄清同角各不同三角函數(shù)之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)不同函數(shù)值之間的互相轉(zhuǎn)化．2．探索研究（1）復(fù)習(xí)任意角三角函數(shù)定義　　上節(jié)課我們已學(xué)習(xí)了任意角三角函數(shù)定義，如圖1所示，任意角 的六個(gè)三角函數(shù)是如何定義的呢？　　在 的終邊上任取一點(diǎn) ，它與原點(diǎn)的距離是 ，則角 的六個(gè)三角函數(shù)的值是：　　 ； 8．④ 7． 2．B ）二、填空題6．設(shè) 分別是第二、三、四象限角，則點(diǎn) 分別在第______、______、_____象限．7．已知角 的終邊與函數(shù) 決定的函數(shù)圖象重合， 的值為_(kāi)____________．8．設(shè) 和 分別是角 的正弦線(xiàn)和余弦線(xiàn)，則給出的以下不等式：　?、?；　　　?、?；　　 ③ ；　　　　④ ．其中正確的是_____________________________．9．函數(shù) 的值域?yàn)開(kāi)_________．10．式子的值為_(kāi)______．三、解答題11．已知角 的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，其中 ，求角 的各三角函數(shù)值．12．角 的終邊上的點(diǎn) 與 關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng) 角 的終邊上的點(diǎn) 與 關(guān)于直線(xiàn) 對(duì)稱(chēng)，求 之值．13．已知角 終邊上一點(diǎn) 且 ，求 和 之值．14．若角 的終邊落在直線(xiàn) 上，求 ．15．求函數(shù) 的定義域．16．化簡(jiǎn) ．參考答案：一、1．C ）　　A．1　　B． 　　C．3　　D． 4．若角 的終邊上有一點(diǎn) ，則 的值是（ C．2個(gè) ）　　A．0個(gè)　　B．②Ｒｅｇｉｏｍｏｎｔａｎｕｓ，1436～1476）．　　雷格蒙塔努斯的主要著作是1464年完成的《論各種三角形》．這是歐洲第一部獨(dú)立于天文學(xué)的三角學(xué)著作．全書(shū)共5卷，前2卷論述平面三角學(xué)，后3卷討論球面三角學(xué)，是歐洲傳播三角學(xué)的源泉．雷格蒙塔努斯還較早地制成了一些三角函數(shù)表．　　雷格蒙塔努斯的工作為三角學(xué)在平面和球面幾何中的應(yīng)用建立了牢固的基礎(chǔ)．他去世以后，其著作手稿在學(xué)者中廣為傳閱，并最終出版，對(duì)16世紀(jì)的數(shù)學(xué)家產(chǎn)生了相當(dāng)大的影響，也對(duì)哥白尼等一批天文學(xué)家產(chǎn)生了直接或間接的影響．　　三角學(xué)一詞的英文是ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｙ，來(lái)自拉丁文ｔｕｉｇｏｎｏｍｅｔｕｉａ．最先使用該詞的是文藝復(fù)興時(shí)期的德國(guó)數(shù)學(xué)家皮蒂斯楚斯（Ｂ．Ｐｉｔｉｓｃｕｓ，1561～1613），他在1595年出版的《三角學(xué)：解三角形的簡(jiǎn)明處理》中創(chuàng)造這個(gè)詞．其構(gòu)成法是由三角形（ｔｕｉａｎｇｕｌｕｍ）和測(cè)量（ｍｅｔｕｉｃｕｓ）兩字湊合而成．要測(cè)量計(jì)算離不開(kāi)三角函數(shù)表和三角學(xué)公式，它們是作為三角學(xué)的主要內(nèi)容而發(fā)展的．　　16世紀(jì)三角函數(shù)表的制作首推奧地利數(shù)學(xué)家雷蒂庫(kù)斯（Ｇ．Ｊ．Ｒｈｅｔｕｃｕｓ，1514～1574）．他1536年畢業(yè)于滕貝格（Ｗｉｔｔｅｎｂｅｒｙ）大學(xué)，留校講授算術(shù)和幾何．1539年赴波蘭跟隨著名天文學(xué)家哥白尼學(xué)習(xí)天文學(xué)，1542年受聘為萊比錫大學(xué)數(shù)學(xué)教授．雷蒂庫(kù)斯首次編制出全部6種三角函數(shù)的數(shù)表，包括第一張?jiān)敱M的正切表和第一張印刷的正割表．　　17世紀(jì)初對(duì)數(shù)發(fā)明后大大簡(jiǎn)化了三角函數(shù)的計(jì)算，制作三角函數(shù)表已不再是很難的事，人們的注意力轉(zhuǎn)向了三角學(xué)的理論研究．不過(guò)三角函數(shù)表的應(yīng)用卻一直占據(jù)重要地位，在科學(xué)研究與生產(chǎn)生活中發(fā)揮著不可替代的作用．　　三角公式是三角形的邊與角、邊與邊或角與角之間的關(guān)系式．三角函數(shù)的定義已體現(xiàn)了一定的關(guān)系，一些簡(jiǎn)單的關(guān)系式在古希臘人以及后來(lái)的阿拉伯人中已有研究．　　文藝復(fù)興后期，法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)（Ｆ．Ｖｉｅｔａ）成為三角公式的集大成者．他的《應(yīng)用于三角形的數(shù)學(xué)定律》（1579）是較早系統(tǒng)論述平面和球面三角學(xué)的專(zhuān)著之一．其中第一部分列出6種三角函數(shù)表，有些以分和度為間隔．給出精確到5位和10位小數(shù)的三角函數(shù)值，還附有與三角值有關(guān)的乘法表、商表等．第二部分給出造表的方法，解釋了三角形中諸三角線(xiàn)量值關(guān)系的運(yùn)算公式．除匯總前人的成果外，還補(bǔ)充了自己發(fā)現(xiàn)的新公式．如正切定律、和差化積公式等等．他將這些公式列在一個(gè)總表中，使得任意給出某些已知量后，可以從表中得出未知量的值．該書(shū)以直角三角形為基礎(chǔ)．對(duì)斜三角形，韋達(dá)仿效古人的方法化為直角三角形來(lái)解決．對(duì)球面直角三角形，給出計(jì)算的完整公式及其記憶法則，如余弦定理，1591年韋達(dá)又得到多倍角關(guān)系式，1593年又用三角方法推導(dǎo)出余弦定理．　　1722年英國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（Ａ．Ｄｅ Ｍｅｉｖｅｒ）得到以他的名字命名的三角學(xué)定理　　（ｃｏｓθ177。 　　到歐拉時(shí)，才令圓的半徑為1，即置角于單位圓之中，從而使三角函數(shù)定義為相應(yīng)的線(xiàn)段與圓半徑之比。因此，當(dāng)時(shí)的三角函數(shù)實(shí)際上是定圓內(nèi)的一些線(xiàn)段（如弦）的長(zhǎng)。在歐拉之前 ，研究三角函數(shù)大都在一個(gè)確定半徑的圓內(nèi)進(jìn)行的。 ．說(shuō)明：（1）本例中，運(yùn)用三角函數(shù)的定義，將三角函數(shù)表示為比例，從而將三角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題而獲解，這是一種十分重要的解題方法，應(yīng)引起重視．　?。?）本例中，應(yīng)用了 ， ．這種基本的不等關(guān)系應(yīng)熟悉．?dāng)U展資料三角函數(shù)　　正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、 正割函數(shù)、余割函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為三角函數(shù)（Trigonometric function）。 計(jì)算：　?。?） ；　?。?） ．　　分析：應(yīng)利用課本中給出的公式以及由此推得的下列公式化簡(jiǎn)求值．　　 ；　　 ；　　 ．解：（1）原式．（2）原式 　　　　　　 　　　　　　 ．說(shuō)明：應(yīng)對(duì)特殊角的三角函數(shù)值熟練掌握，以便準(zhǔn)確應(yīng)用．　　例6 ．　　故 ．　　當(dāng) ，有　　 ．　　當(dāng) ，有 若 ，且 ，試確定 所在的象限．　　分析：用不等式表示出 ，進(jìn)而求解．　　解：∵ ，∴ 在第一或第二象限，即　　 ．　　則 當(dāng) 為第二象限角，試求 的值．　　分析：應(yīng)先由 為第二象限角這一條件求出絕對(duì)值再求值．　　解：當(dāng) 為第二象限角時(shí)， ， ，　　故 ， ．又∵ ，　　∴ ．　　 ．　　故 中絕對(duì)值最小的角是 ．說(shuō)明：此例是典型的考查定義的題．　　例2 ， ，　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 （2）原式 　　　　　 　　　　　 　　　　　 典型例題　　例1 （6） 2．求值　　（1） 　?。?） 參考答案：1．（1）＜0 ）　　A．第一象限角　　　　　B．第四象限角 　　C．第一或第四象限角　　D．第一或第四或 軸正半軸（4）已知 的終邊過(guò)點(diǎn) ，且 ， ，則 的取值范圍是_____．（5）函數(shù) 的值域是_____________．參考答案：（1）B；（2）C；（3）C；（4） ；（5） 4．本課小結(jié)　　（1）確定三角函數(shù)定義域時(shí)，主要應(yīng)抓住三角函數(shù)定義中，比值的分母不得為零這一制約條件，當(dāng)終邊落在坐標(biāo)軸上時(shí)，終邊上任一點(diǎn) 的坐標(biāo)中，必有一分量為0，故相應(yīng)有一比值無(wú)意義．　?。?） 時(shí)， ， 無(wú)意義，這兩個(gè)函數(shù)定義域?yàn)?課時(shí)作業(yè)：1．確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)　?。?） ）　　A．　　B． 　　C． 　　D． （2）下列各式為正號(hào)的是（ 　　∴ ， 角的三角函數(shù)值問(wèn)題．（3）例題分析【例1】確定下列三角函數(shù)值符號(hào)：　?。?） ；（2） ；（3） 解：（1） 　?。?） 　　（3）∵ 是第四象限角，∴ 【例2】求證角 為第三象限角的充分必要條件是 ， ．證明：必要性：當(dāng) 為第三象限角時(shí)， ， ；充分性：∵ 成立，∴ 角的終邊可能位于第三或第四象限，也可以位于 軸的非正半軸上；又∵ 成立，∴ 角的終邊可能位于第一或第三象限，因?yàn)橐瑫r(shí)成立，所以 角的終邊只可能位于第三象限，于是角 為第三象限角．【例3】求下列三角函數(shù)值：（1） ；（2） ；（3） ．解：（1） 　?。?） 　　（3） 【例4】如果 在第二象限，則 的值是什么符號(hào)？解：∵ 在第二象限，∴ 　　 　　∴由三角函數(shù)定義可知它們的三角函數(shù)值相同，即　　 那么，當(dāng) 分別為一、三、四象限時(shí)，上述性質(zhì)是否仍然成立呢？下面就可討論這一問(wèn)題．2．探索研究（1）三角函數(shù)值的符號(hào)　　今后我們還要經(jīng)常用到三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)，由于從原點(diǎn)到角的終邊上任意一點(diǎn)的距離 總是正值，根據(jù)三角函數(shù)定義可知，三角函數(shù)值符號(hào)取決于各象限內(nèi)的坐標(biāo)符號(hào)，請(qǐng)同學(xué)們分象限思考四個(gè)象限中三角函數(shù)值的符號(hào)．　　觀(guān)察六個(gè)三角函數(shù)，可發(fā)現(xiàn) 與 ， 與 ， 與 互為倒數(shù)，因此它們的符號(hào)規(guī)律相同．　　 當(dāng) 在第一、二象限時(shí)， ， ，所以 為正，而當(dāng) 在第三、四象限時(shí)， ， ， 為負(fù)的．　　同理 對(duì)于第一、四象限角是正的，而對(duì)于第二、三象限的角是負(fù)的．　　 與 ，當(dāng) 在第一、三象限時(shí)， 與 同號(hào)，所以 ， ，而當(dāng) 在第二、四象限時(shí)， 與 異號(hào)， ， ．現(xiàn)在我們將以上討論結(jié)果整理成圖1．圖1　　可以表達(dá)為正弦和余割上正下負(fù)，余弦與正割左負(fù)右正，正切與余切一、三象限為正，二、四象限為負(fù)．同學(xué)們還可以自己用口訣“全正， 正， 正， 正”來(lái)記憶．（2）誘導(dǎo)公式一　　上節(jié)課我們已學(xué)過(guò)同終邊的角，例如 和 都與 終邊位置相同．　　∵ （2） 2．計(jì)算