【正文】 擴(kuò)展資料三角學(xué)的歷史　　早期三角學(xué)不是一門獨(dú)立的學(xué)科，而是依附于天文學(xué)，是天文觀測(cè)結(jié)果推算的一種方法，因而最先發(fā)展起來的是球面三角學(xué)．希臘、印度、阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)中都有三角學(xué)的內(nèi)容，可大都是天文觀測(cè)的副產(chǎn)品．例如，古希臘門納勞斯（Ｍｅｎｅｌａｕｓ ｏｆ Ａｌｅｘａｎｄｒｉａ，公元100年左右）著《球面學(xué)》，提出了三角學(xué)的基礎(chǔ)問題和基本概念，特別是提出了球面三角學(xué)的門納勞斯定理；50年后，另一個(gè)古希臘學(xué)者托勒密（Ｐｔｏｌｅｍｙ）著《天文學(xué)大成》，初步發(fā)展了三角學(xué)．而在公元499年，印度數(shù)學(xué)家阿耶波多（ ｒｙａｂｈａｔａ Ｉ）也表述出古代印度的三角學(xué)思想；其后的瓦拉哈米希拉（Ｖａｒａｈａｍｉｈｉｒａ，約505～587）最早引入正弦概念，并給出最早的正弦表；公元10世紀(jì)的一些阿拉伯學(xué)者進(jìn)一步探討了三角學(xué)．當(dāng)然，所有這些工作都是天文學(xué)研究的組成部分．直到納西爾?。ǎ危幔螅椋?ｅｄＤｉｎ ａｌ Ｔｕｓｉ，1201～1274）的《橫截線原理書》才開始使三角學(xué)脫離天文學(xué)，成為純粹數(shù)學(xué)的一個(gè)獨(dú)立分支．而在歐洲，最早將三角學(xué)從天文學(xué)獨(dú)立出來的數(shù)學(xué)家是德國人雷格蒙塔努斯（ＪＲｅｇｉｏｍｏｎｔａｎｕｓ，1436～1476）．　　雷格蒙塔努斯的主要著作是1464年完成的《論各種三角形》．這是歐洲第一部獨(dú)立于天文學(xué)的三角學(xué)著作．全書共5卷，前2卷論述平面三角學(xué)，后3卷討論球面三角學(xué)，是歐洲傳播三角學(xué)的源泉．雷格蒙塔努斯還較早地制成了一些三角函數(shù)表．　　雷格蒙塔努斯的工作為三角學(xué)在平面和球面幾何中的應(yīng)用建立了牢固的基礎(chǔ)．他去世以后，其著作手稿在學(xué)者中廣為傳閱，并最終出版，對(duì)16世紀(jì)的數(shù)學(xué)家產(chǎn)生了相當(dāng)大的影響，也對(duì)哥白尼等一批天文學(xué)家產(chǎn)生了直接或間接的影響．　　三角學(xué)一詞的英文是ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｙ，來自拉丁文ｔｕｉｇｏｎｏｍｅｔｕｉａ．最先使用該詞的是文藝復(fù)興時(shí)期的德國數(shù)學(xué)家皮蒂斯楚斯（Ｂ．Ｐｉｔｉｓｃｕｓ，1561～1613），他在1595年出版的《三角學(xué)：解三角形的簡明處理》中創(chuàng)造這個(gè)詞．其構(gòu)成法是由三角形（ｔｕｉａｎｇｕｌｕｍ）和測(cè)量（ｍｅｔｕｉｃｕｓ）兩字湊合而成．要測(cè)量計(jì)算離不開三角函數(shù)表和三角學(xué)公式，它們是作為三角學(xué)的主要內(nèi)容而發(fā)展的．　　16世紀(jì)三角函數(shù)表的制作首推奧地利數(shù)學(xué)家雷蒂庫斯（Ｇ．Ｊ．Ｒｈｅｔｕｃｕｓ，1514～1574）．他1536年畢業(yè)于滕貝格（Ｗｉｔｔｅｎｂｅｒｙ）大學(xué)，留校講授算術(shù)和幾何．1539年赴波蘭跟隨著名天文學(xué)家哥白尼學(xué)習(xí)天文學(xué)，1542年受聘為萊比錫大學(xué)數(shù)學(xué)教授．雷蒂庫斯首次編制出全部6種三角函數(shù)的數(shù)表，包括第一張?jiān)敱M的正切表和第一張印刷的正割表．　　17世紀(jì)初對(duì)數(shù)發(fā)明后大大簡化了三角函數(shù)的計(jì)算，制作三角函數(shù)表已不再是很難的事，人們的注意力轉(zhuǎn)向了三角學(xué)的理論研究．不過三角函數(shù)表的應(yīng)用卻一直占據(jù)重要地位，在科學(xué)研究與生產(chǎn)生活中發(fā)揮著不可替代的作用．　　三角公式是三角形的邊與角、邊與邊或角與角之間的關(guān)系式．三角函數(shù)的定義已體現(xiàn)了一定的關(guān)系，一些簡單的關(guān)系式在古希臘人以及后來的阿拉伯人中已有研究．　　文藝復(fù)興后期，法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)（Ｆ．Ｖｉｅｔａ）成為三角公式的集大成者．他的《應(yīng)用于三角形的數(shù)學(xué)定律》（1579）是較早系統(tǒng)論述平面和球面三角學(xué)的專著之一．其中第一部分列出6種三角函數(shù)表，有些以分和度為間隔．給出精確到5位和10位小數(shù)的三角函數(shù)值，還附有與三角值有關(guān)的乘法表、商表等．第二部分給出造表的方法，解釋了三角形中諸三角線量值關(guān)系的運(yùn)算公式．除匯總前人的成果外，還補(bǔ)充了自己發(fā)現(xiàn)的新公式．如正切定律、和差化積公式等等．他將這些公式列在一個(gè)總表中，使得任意給出某些已知量后，可以從表中得出未知量的值．該書以直角三角形為基礎(chǔ)．對(duì)斜三角形，韋達(dá)仿效古人的方法化為直角三角形來解決．對(duì)球面直角三角形，給出計(jì)算的完整公式及其記憶法則，如余弦定理，1591年韋達(dá)又得到多倍角關(guān)系式，1593年又用三角方法推導(dǎo)出余弦定理．　　1722年英國數(shù)學(xué)家棣莫弗（Ａ．Ｄｅ Ｍｅｉｖｅｒ）得到以他的名字命名的三角學(xué)定理　?。ǎ悖铮螃?77。ｉｓｉｎθ）ｎ＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ，　　并證明了ｎ是正有理數(shù)時(shí)公式成立；1748年歐拉（Ｌ．Ｅｕｌｅｒ）證明了ｎ是任意實(shí)數(shù)時(shí)公式也成立，他還給出另一個(gè)著名公式　　ｅｉθ＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ，　　對(duì)三角學(xué)的發(fā)展起到了重要的推動(dòng)作用．　　近代三角學(xué)是從歐拉的《無窮分析引論》開始的．他定義了單位圓，并以函數(shù)線與半徑的比值定義三角函數(shù)，他還創(chuàng)用小寫拉丁字母ａ、ｂ、ｃ表示三角形三條邊，大寫拉丁字母Ａ、Ｂ、Ｃ表示三角形三個(gè)角，從而簡化了三角公式．使三角學(xué)從研究三角形解法進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為研究三角函數(shù)及其應(yīng)用，成為一個(gè)比較完整的數(shù)學(xué)分支學(xué)科．而由于上述諸人及19世紀(jì)許多數(shù)學(xué)家的努力，形成了現(xiàn)代的三角函數(shù)符號(hào)和三角學(xué)的完整的理論．探究活動(dòng)三角函數(shù)值的規(guī)律　　在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)，一些特殊的三角函數(shù)值是常常要用到的，下表所列的值是要牢記的．α0sinα01010cosα10101tanα0不存在0不存在0cotα不存在0不存在0不存在secα1不存在－1不存在1cscα不存在1不存在－1不存在　　從中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng) 時(shí)， ．這給記憶帶來一些便利．你還能得出其它的規(guī)律嗎（至少兩條）？　　分析與解：分析表格，主要是從行、列及對(duì)角線上去考慮：　　（1） 時(shí)， ，不存在在．　?。?） 時(shí)， 不存在．　?。?）當(dāng) 不存在時(shí)， ，反之也成立；當(dāng) 時(shí)， 不存在，反之也成立．　?。?） ．　　說明：從某種意義上說，數(shù)學(xué)研究的目標(biāo)是揭示對(duì)象所具有的規(guī)律，三角函數(shù)關(guān)系式就是角之間的規(guī)律．這些規(guī)律從不同的角度去歸納分析，就會(huì)得到不同的結(jié)論．習(xí)題精選一、選擇題1．給出下列各函數(shù)值：　?、?；　　 ② ；　?、?；　　　?、?. 其中符號(hào)為負(fù)的有　　A．①　　B．②　　C．③　　D．④2．若 為第二象限角，那么 ， ， ， 中，其值必為正的有（ ）　　A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)3．若 ， ，則 的值是（ ）　　A．1　　B． 　　C．3　　D． 4．若角 的終邊上有一點(diǎn) ，則 的值是（ ）　　A． B． C． D． 5．設(shè) ，若 且 ，則 的范圍是（ ）二、填空題6．設(shè) 分別是第二、三、四象限角，則點(diǎn) 分別在第______、______、_____象限．7．已知角 的終邊與函數(shù) 決定的函數(shù)圖象重合， 的值為_____________．8．設(shè) 和 分別是角 的正弦線和余弦線，則給出的以下不等式：　?、?；　　　?、?；　　 ③ ；　　　?、?．其中正確的是_____________________________．9．函數(shù) 的值域?yàn)開_________．10．式子的值為_______．三、解答題11．已知角 的終邊經(jīng)過點(diǎn) ，其中 ，求角 的各三角函數(shù)值．12．角 的終邊上的點(diǎn) 與 關(guān)于 軸對(duì)稱 角 的終邊上的點(diǎn) 與 關(guān)于直線 對(duì)稱，求 之值．13．已知角 終邊上一點(diǎn) 且 ，求 和 之值．14．若角 的終邊落在直線 上，求 ．15．求函數(shù) 的定義域．16．化簡 ．參考答案：一、1．C 2．B 3．A 4．B 5．B二、6．四，三，二 7． 8．④ 9． 10．0三、11． ， ， ， ， ， ．12．0．提示： ， ，再用三角函數(shù)定義．13． ， 或 ， ．14．－2或2．提示：分 ， 討論．15． ．提示：由 　　　得 ．16． ．提示：原式 　　　　　 ． 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式教學(xué)目標(biāo) 　　（1）掌握同角三角函數(shù)之間的三組常用關(guān)系，平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系、倒數(shù)關(guān)系；　?。?）會(huì)運(yùn)用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系求三角函數(shù)值或化簡三角式；應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系，化簡三角式（求值）；并能證明簡單的三角恒等式；　?。?）牢固掌握同角三角函數(shù)的三個(gè)關(guān)系式并能靈活運(yùn)用于解題，提高學(xué)生分析、解決三角問題的思維能力．　?。?）通過同角三角函數(shù)的基本關(guān)系學(xué)習(xí)，提示事物之間的普通聯(lián)系規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義要觀．教學(xué)建議　　一、關(guān)于同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的知識(shí)結(jié)構(gòu)　　二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析　　重點(diǎn)是三個(gè)公式的推導(dǎo)和應(yīng)用．　?。?）已知 的三角函數(shù)值中的一個(gè)，表示它的其他三角函數(shù)值；　?。?）化簡三角函數(shù)式；　　（3）證明簡單的三角恒等式．　　難點(diǎn)是公式的應(yīng)用．　?。?）利用 的某一三角函數(shù)值求 的其他三角函數(shù)值；　　（2）三角恒等式的證明，證明恒等式可從左向右，也可從右向左，等價(jià)變形；　?。?）接受切化弦的思想，及恒等變形中等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想；　　（4）化簡是最基本的解題思想，結(jié)果要求最簡形式．三、教法建議　?。?）在應(yīng)用平方關(guān)系時(shí)，其結(jié)果不唯一，注意根據(jù)角所在的象限來取舍；　?。?）在學(xué)習(xí)中必須注意“同角”這一前提，只有在這一前提下都能使用公式；　?。?）注意公式的等價(jià)變形和常用數(shù)值：　　 ；　　 ；　　 ．　?。?）證明恒等式要注意等價(jià)變形，不能隨意擴(kuò)大和縮小范圍；　　（5）化簡要盡使結(jié)果只存在一個(gè)角，盡是使根式下，分母上不含有三角函數(shù)，其結(jié)果還要依題意而定．教學(xué)設(shè)計(jì)方案（一）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式教學(xué)目標(biāo)：　　1．掌握同角三角函數(shù)之間的三組常用關(guān)系，平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系、倒數(shù)關(guān)系．　　2．會(huì)運(yùn)用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系求三角函數(shù)值或化簡三角式．教學(xué)重點(diǎn)：　　理解并掌握同角三角函數(shù)關(guān)系式．教學(xué)難點(diǎn)：　　已知某角的一個(gè)三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值時(shí)正負(fù)號(hào)的選擇； 教學(xué)用具：　　直尺、投影儀．教學(xué)步驟： 1．設(shè)置情境　　與初中學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)一樣，本節(jié)課我們來研究同角三角函數(shù)之間關(guān)系，弄清同角各不同三角函數(shù)之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)不同函數(shù)值之間的互相轉(zhuǎn)化．2．探索研究（1）復(fù)習(xí)任意角三角函數(shù)定義　　上節(jié)課我們已學(xué)習(xí)了任意角三角函數(shù)定義，如圖1所示，任意角 的六個(gè)三角函數(shù)是如何定義的呢？　　在 的終邊上任取一點(diǎn) ，它與原點(diǎn)的距離是 ，則角 的六個(gè)三角函數(shù)的值是：　　 ； ； 　　 ； ； （2）推導(dǎo)同角三角函數(shù)關(guān)系式　　觀察 及 ，當(dāng) 時(shí)，有何關(guān)系？　　當(dāng) 且 時(shí) 、 及 有沒有商數(shù)關(guān)系？　　通過計(jì)算發(fā)現(xiàn) 與 互為倒數(shù)：∵ ．　　由于 ，　　這些三角函數(shù)中還存在平方關(guān)系，請(qǐng)計(jì)算 的值．　　由三角函數(shù)定義我們可以看到： ．　　∴ ，現(xiàn)在我們將同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式總結(jié)如下：　　①平方關(guān)系： 　?、谏虜?shù)關(guān)系： 　?、鄣箶?shù)關(guān)系： 　　即同一個(gè)角 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角 的正切，同一個(gè)角的正切、余切之積等于1（即同一個(gè)角的正切、余切互為倒數(shù)）．上面這三個(gè)關(guān)系式，我們稱之為恒等式，即當(dāng) 取使關(guān)系式兩邊都有意義的任意值時(shí)，關(guān)系式兩邊的值相等，在第二個(gè)式中， 在第三個(gè)式中， 的終邊不在坐標(biāo)軸上，這時(shí)式中兩邊都有意義，以后解題時(shí)，如果沒有特別說明，一般都把關(guān)系式看成是意義的．其次，在利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式時(shí)，要注意其前提“同角”的條件．（3）同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用　　同角三角函數(shù)關(guān)系式十分重要，應(yīng)用廣泛，其中一個(gè)重要應(yīng)用是根據(jù)一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)，求出這個(gè)角的其他三角函數(shù)值．【例1】已知 ，且 是第二象限角，求 ， ， 的值．解：∵ ，且 ，∴ 是第二或第三象限角．　　如果 是第二象限角，那么　　 　　 　　如果 是第三象限角，那么 ， 說明：本題沒有具體指出 是第幾象限的角，則必須由 的函數(shù)值決定 可能是哪幾象限的角，再分象限加以討論．　　【例2】已知 ，求 的值．　　解： ，且 ， 是第二或第三象限角．　　如果 是第二象限角，那么　　 　　 　　如果 是第三象限角，那么 ．　　說明：本題沒有具體指出 是第幾象限角，則必須由 的函數(shù)值決定 可能是哪幾象限的角，再分象限加以討論．　　【例3】已知 為非零實(shí)數(shù)，用 表示 ， ．　　解：因?yàn)?，所以 　　又因?yàn)?，所以 　　于是 ∴ 　　由 為非零實(shí)數(shù)，可知角 的終邊不在坐標(biāo)軸上，考慮 的符號(hào)分第一、第四象限及第二、三象限，從而：　　 　　 　　在三角求值過程中應(yīng)盡量避免開方運(yùn)算，在不可避免時(shí)，先計(jì)算與已知函數(shù)有平方關(guān)系的三角函數(shù)，這樣可只進(jìn)行一次開方運(yùn)算，并可只進(jìn)行一次符號(hào)說明．　　同角三角函數(shù)關(guān)系式還經(jīng)常用于化簡三角函數(shù)式，請(qǐng)看例4　　【例4】化簡下列各式：　?。?） ；（2） ．　　解：（1） （2） 　　　　　　 　　　　　　　 3．演練反饋（投影）（1）已知： ，求 的其他各三角函數(shù)值．（2）已知 ，求 ， ．（3）化簡： 解答：（1）解：∵ ，所以 是第二、第三象限的角．　　如果 是第二象限的角，則：　　 　　 　　 　　又 　　如果 是第三象限的角，那么　　 　　 （2）解：∵ ∴ 是第二或第四象限的角由【例3】的求法可知當(dāng) 是第二象限時(shí)　　 　　 　　當(dāng) 是第四象限時(shí)　　 　　 （3）解：原式 　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 4．本課小結(jié)　?。?）同角三角函數(shù)的三組關(guān)系式的前提是“同角”，因此 ， ……．　　（2）諸如 ， ，……它們都是條件等式，即它們成立的前提是表達(dá)式有意義．　?。?）利用平方關(guān)系時(shí)，往往要開方，因此要先根據(jù)角所在象限確定符號(hào)，即要就角所在象限進(jìn)行分類討論．課時(shí)作業(yè)：1．已知 ， ，則 等于（ ）　　A． B． 1