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角的概念的推廣-文庫吧資料

2025-06-27 20:51本頁面
  

【正文】 ?。?)   (2)  ?。?)  ?。?) 3.化簡 ?。?)  ?。?)  ?。?)  ?。?) 參考答案:1.(1) , ,      , ,      ,  ?。?) , ,       , ,       , 2.(1)-2;(2)8;(3)-1;(4) 3.(1)0;(2) ;(3) ;(4) 教學(xué)設(shè)計示例(二)任意角的三角函數(shù) ).  A.    B.   C.     D. (3)若 , 都有意義,則 .(4)若角 的終邊過點 ,且 ,則 .參考答案:(1)D;(2)B;(3) 或8,說明點 在半徑為 的圓上;(4)-6.4.本課小結(jié)  利用定義求三角函數(shù)值,首先要建立直角坐標(biāo)系,角頂點和始邊要按既定的位置設(shè)置.角 的三角函數(shù)定義式,其實是比例的化身,它的背后是相似形在支稱著,不過這個定義具有一般性,如軸上角的三角函數(shù),如果沒有定義作為論據(jù),欲求其函數(shù)性就不是很容易.  分類討論(角位置)是三角函數(shù)求值過程中,使用頻率非常高的一個數(shù)學(xué)思想,而分類標(biāo)準(zhǔn)往往是四個象限及四個坐標(biāo)半軸.課時作業(yè):1.已知角 的終邊經(jīng)過下列各點,求角 的六個三角函數(shù)值. ?。?) ).  A.     B.     C.    D. (2)函數(shù) 的定義域是(  ?。?)若 ,不妨令 ,則 在第二角限   ∴    不存在【例3】作出下列各角的正弦線,余弦線,正切線.(1) ;(2) .  解: , 的正弦線,余弦線,正切線分別為 .【例4】求證:當(dāng) 為銳角時, .  證明:如右圖,作單位圓,當(dāng) 時作出正弦線 和正切線 ,連   ∵   ∴   ∴ 利用三角函數(shù)線還可以得出如下結(jié)論   的充要條件是 為第一象限角.   的充要條件是 為第三象限角.練習(xí)(學(xué)生板演,利用投影儀)  (1)角 的終邊在直線 上,求 的六個三角函數(shù)值.  (2)角 的終邊經(jīng)過點 ,求 , , , 的值. ?。?)說明 的理由. .解答:(1)先確定終邊位置 ?、偃?在第一象限,在其上任取一點 , ,則   ,    不存在  ?。?)當(dāng) 時, ,   ∴                  提問:若將 改為 ,如何求 的六個三角函數(shù)值呢?(分 , 兩種情形討論)【例2】求下列各角的六個三角函數(shù)值 ?。?) ;(2) ;(3) .解:(1)∵當(dāng) 時, ,   ∴ , ,    不存在, , 不存在  (2)∵當(dāng) 時, ,   ∴ ,    不存在   ∴    到360176?! ?.   5. 三、解答題1. , 3.D ).  A.     B.     C.16    D.32二、填空題1. 度; 弧度.2.半徑為2的圓中,長為2的弧所對的圓周角的弧度數(shù)為__________,度數(shù)為____________.3.3弧度的角的終邊在第_____________象限,7弧度的角的終邊在第_____________象限.4.扇形的圓心角為 ,半徑為 ,則弧長為____________.5.若 的圓心角所對的弧長為 ,則此圓的半徑為______________.三、解答題1.在半徑為 的圓中,扇形的周長等于半圓的長,那么扇形的圓心角是多少度?扇形的面積是多少?2.在直徑為 的滑輪上有一條弦,其長為 ,且 為弦的中點,滑輪以每秒5弧度的角速度旋轉(zhuǎn),則經(jīng)過 后, 點轉(zhuǎn)過的弧長是多少?進(jìn)階演練3.扇形 的面積為 ,它的周長為 ,求扇形圓心角的弧度數(shù)及弦長 .4.一扇形周長是 ,扇形的圓心角為多少弧度時,這個扇形的面積最大?最大面積是多少?參考答案:一、選擇題1.B ).  A.   B.   C.   D. 4.扇形的周期是16,圓心角是2弧度,則扇形面積是(    B.等于 弧度  C.等于 弧度    D.以上都不對3.把 化為 的形式是( 除了找市面上的紙扇去量度其張開的角度外,我們更可自制不同形狀的紙扇,去測試一下 接近 的設(shè)計是否最美.探究活動旋轉(zhuǎn)的風(fēng)車  一個大風(fēng)車的半徑為8m,12分鐘旋轉(zhuǎn)一周,它的最低點離地面2m(如圖所示),求風(fēng)車翼片的一個端點離地面距離 (米)與時間 (分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系(用弧度制求解).   解:首先考慮建立直角坐標(biāo)系,以最低點的切線作為 軸,最低點作為坐標(biāo)原點,如圖建立直角坐標(biāo)系.  那么,風(fēng)車上翼片端點所在位置 可由函數(shù) 、 來刻畫,而且 .  所以,只需要考慮 的表示達(dá).又設(shè) 的初始位置在最低點即 .  在 中, , .  而  ,所以 , , .習(xí)題精選一、選擇題1. 的值是( (精確至最接近的 ). 則  . 若 , 以弧度表示. 設(shè)兩角的弧度數(shù)分別是 、 ,因為 ,  則依題意,得 ,解之得   即所求兩角的弧度數(shù)分別為 , .?dāng)U展資料紙扇能否按照黃金比例設(shè)計?  在炎炎夏日,用紙扇驅(qū)走悶熱,無疑是最環(huán)好的方法.扇在美觀設(shè)計上,可考慮用料、圖案和形狀.若從數(shù)學(xué)角度看,我們能否利用黃金比例()去設(shè)計一把富美感的的白紙扇?  在設(shè)計紙扇張開角( )時,可考慮從一圓形(半徑為 )分割出來的扇形的面積( )與剩余面積( )的比值.若假設(shè)這比值等于黃金比例,便可以找出 .已知兩角的和為1弧度,且兩角的差為 ,求這兩個角各是多少弧度.  分析 對集合 中的整數(shù) 依次取0,1,2,3,得角 , , , , , , 角的終邊相同.故選 .例4  如圖,用弧度制表示下列終邊落在陰影部分的角的集合(不包括邊界).   解(1)按逆時針方向,在區(qū)間 上與角 終邊相同的角為 ,故所求集合為: .  (2)圖中第三象限部分可看成是由第一象限的陰影部分繞原點旋轉(zhuǎn) 弧度而成的,故所求集合可表示為: .  說明集合 , ,則有( 由扇形的面積公式 知,要求扇形的面積,只需求出扇形的半徑 即可.  解若弧度為2的圓心角所對的弦長為2,則這個圓心角所夾扇形的面積是( 先把 化成 的形式,再用弧度制表示.解(1)∵ ,  ∴ 與 角的終邊相同,又∵ 是第一象限角,  ∴ 是第一象限角.(2)∵ ,∴ 與 角的終邊相同.  又∵ 是第三象限角,∴ 是第三象限角.  說明 4.因為圓弧半徑為 , , 走過弧長為 ,由公式 ;5. ;  6. , 板書設(shè)計弧度制(二)1.正、負(fù)、零角的弧度制意義2.角度集合與實數(shù)集間一一對應(yīng)3.例1例2例3練習(xí)反饋小結(jié)典型例題例1 )  A.  B.  C.  D. 3.地球赤道的半徑是6370㎞,所以赤道上 的弧長是_________(㎞)4.一條鐵路在轉(zhuǎn)彎處成圓弧形,圓弧的半徑為2㎞,一列火車用每小時30㎞的速度通過,10秒間轉(zhuǎn)過幾度?5.半徑為 的扇形,其周長為 ,則扇形中所含弓形的面積是多少?6.角 和角 的和是1弧度,差為 ,則 和 的弧度數(shù)分別是多少?參考答案:1.C; 2.C; )  A.所對弧長相等      B.所對的弦長相等  C.所對弧長等于各自半徑  D.所對的弧長為 解:∵   ∴   ∴選D.(2)由弧度制定義,知半徑為 的圓上,1弧度的弧長應(yīng)等于半徑 ,故選 .【例3】填空 ?。?)在 內(nèi)找出與 終邊相同的角______________. ?。?)圓的弧長等于該圓內(nèi)接正三角形的邊長,則該弧所對的圓心角的弧度數(shù)是________________. ?。?)在扇形 中, ,弧長為1,則此扇形內(nèi)切圓的面積____________.解:(1)與 終邊相同角,設(shè)為 .令   ∴所求角為: .  (2)設(shè)圓半徑為 ,則內(nèi)接正三角形邊長為 ,當(dāng)弧長 時,其所對圓心角 . ?。?)如圖2,設(shè)扇形半徑為 ,內(nèi)切圓半徑為 ,則由   ∵   ∴ 3.練習(xí)反饋  (1) =___________弧度; =____________弧度;-10弧度_________度  (2)與 終邊相同的角是__________,它們是第__________象限角,其中最小正角為__________,最大負(fù)角為___________.參考答案: ?。?) ; ;   (2) ;它們是第三象限角;最小正角為 ,最大負(fù)角為 .4.總結(jié)提煉 ?。?) (度) ; 這里, 為任一角度制角, 為任一實數(shù)(弧度) ?。?)有了弧度制,實現(xiàn)了角度集與實數(shù)集合之間的一一對應(yīng),對應(yīng)法則是正比例函數(shù) .( 為角度集合中元素, 為實數(shù)集中元素). ?。?)弧度制的引入,使得有關(guān)公式表達(dá)式簡單,運(yùn)算為常規(guī)的十進(jìn)制. ?。?)任一角 的弧度的絕對值為 ,也就是說,對于任意角的度量,其弧度要把符號和絕對值分開求.課時作業(yè)1.若 , , ,則 的終邊位置關(guān)系是( 3.6; 4. 或 ; 5. ; 6.中心角 時, .教學(xué)設(shè)計示例(二)弧度制教學(xué)目標(biāo)  1.理解角集與實數(shù)集 的一一對應(yīng),熟練掌握角度制與弧度制間的互相轉(zhuǎn)化.  2.能靈活應(yīng)用弧長公式、扇形面積公式解決問題.教學(xué)重點:能熟練地進(jìn)行角度制與弧度制的互化.教學(xué)難點:能靈活應(yīng)用弧長公式、扇形面積公式解決問題.教學(xué)用具:投影儀教學(xué)過程:1.設(shè)置情境.  像角的概念推廣一樣,我們已經(jīng)把 ~ 中角,利用“乘以 ”這一法則映射到實數(shù)集 上,那么, ~ 以外的角能否化為弧度制?如果能,如何轉(zhuǎn)化呢?乘數(shù)因子是否仍為“ ”,本節(jié)課就來討論這個問題.2.探索研究  (1)正、負(fù)角的弧度定義.   正角的弧度數(shù)是一個正數(shù),負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù),零角的弧度數(shù)是0,角 的弧度數(shù)的絕對值 , 為以角 作為圓心角的所對的弧的長, 是圓的半徑,這種以弧度作為單位來度量角的單位制,叫做弧度制. ?。?)角集合與實數(shù)集 之間的一一對應(yīng)  用弧度制來度量角,實際上是在角的集合與實數(shù)集 之間建立這樣的一一對應(yīng)關(guān)系(如圖1所示).  每一個角都有惟一的一個實數(shù)(即這個角的弧度數(shù))與它對應(yīng);反過來,每一個實數(shù)也都有惟一的一個角(角的弧度數(shù)等于這個實數(shù))與它對應(yīng).  于是,就可以把三角函數(shù)看成是以實數(shù)為自變量的函數(shù),它的自變量的意義可以有多種解釋,從而使三角函數(shù)的應(yīng)用更加廣泛,在數(shù)學(xué)與科學(xué)研究中所以普遍采用弧度制,這是原因之一. ?。?)有關(guān)公式 ?、倩¢L   ②  ?。?)例題分析  【例1】下列站個角中哪幾個是第二象限角? ?。?)  ?。?)   (3)  ?。?)9 ?。?)-4 ?。?) 解:(1)   (2)  ?。?)  ?。?)   (5)  ?。?) 從而可知(2)(4)(5)所給的角在Ⅱ象限.點評:①用弧度制表示終邊相同的角的方法  ?、诎岩唤腔癁?形式,其中 從而可判斷角所在象限. ?、墼谕粏栴}求解過程中,兩種單位不能混用,如 寫法不妥.【例2】(1)把 化為 , , 的形式是( 2.D)  A.  B.   C.   D.不確定2.若角 和 的終邊互為反向延長線,則有( ∴   (2)∵      練習(xí)(用投影儀)1.把下列各角化成 的形式: ?。?) ;(2) ; ?。?) .2.求右圖3中公路彎道處弧 的長 (精確到 ,圖中長度單位: ). 按從左至右順序其答案是:0、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 .今后我們用弧度制表示角的時候,“弧度”二字或“ ”通常省略不寫,而只寫相應(yīng)的弧度數(shù).例如:角 就表示 是 的角, 就表示 的角的余弦,即 .(4)角度制與弧度制的比較  引進(jìn)弧度制后,我們應(yīng)將它與角度制進(jìn)行比較,同學(xué)們應(yīng)明確:①弧度制是以“弧度”為單位度量角的制度,角度制是以“度”為單位度量角的制度;②1弧度是等于半徑長的圓弧所對的圓心角(或該?。┑拇笮。?是圓的 所對的圓心角(或該?。┑拇笮?;③不論是以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小都是一個與半徑大小無關(guān)的定值.【例3】計算:(1) ;(2) .解:(1)∵ 弧度   同理,把弧度換成角度.等式兩邊同除180  得 的弧度數(shù)   提問:若弧是一個半圓,則其圓心角的弧度數(shù)是多少?若弧是一個整圓呢?  因為半圓的弧長 ,其圓心角的弧度數(shù)是 ,同理,若弧是一個整圓,其圓心角的弧度數(shù)是 .  在 到 的角的弧度數(shù) 必然適合不等式 ,角的概念推廣后,弧的概念也隨之推廣,任一正角的弧度數(shù)都是一個正數(shù).如果圓心角表示一個負(fù)角,且它以所對的弧長 ,則這個圓心角的弧度數(shù)是 ,由此我們給出弧度制的定義:一般地,可以得到:正角的弧度數(shù)是一個正數(shù),負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù),零角的弧度數(shù)是0;角 的弧度數(shù)的絕對值 ,其中 是以角 作為圓心角時所對的弧長, 是圓的半徑,這種以弧度作為單位來度量角的單位制,叫做弧度制.  提問:為什么可以用弧長與其半徑的比值來度量角的大小呢?即這個比值是否與所取的圓的半徑大小無關(guān)呢?   如圖2,設(shè) 為 的角,圓弧 和 的長分別為 和 ,點 和 到點 的距離(即圓半徑)分別為 和 ,由初中學(xué)過的弧長公式可得: , ,于是 .上式表明,以角 為圓心角所對的弧長與其半徑的比值,由 的大小來確定,與所取的半徑大小無關(guān),僅與角的大小有關(guān).  因 ,可以得到 ,那弧長等于圓弧所對圓心角的弧度數(shù)的絕對值
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