【正文】 ?。?） 　　（2） 　?。?） 　?。?） 3．化簡　?。?） 　?。?） 　?。?） 　?。?） 參考答案：1．（1） ， ，　　　　　 ， ，　　　　　 ， 　?。?） ， ，　　　　　　 ， ，　　　　　　 ， 2．（1）－2；（2）8；（3）－1；（4） 3．（1）0；（2） ；（3） ；（4） 教學(xué)設(shè)計示例（二）任意角的三角函數(shù) ）．　　A．　　　　B． 　　C． 　　　　D． （3）若 ， 都有意義，則 ．（4）若角 的終邊過點 ，且 ，則 ．參考答案：（1）D；（2）B；（3） 或8，說明點 在半徑為 的圓上；（4）－6．4．本課小結(jié)　　利用定義求三角函數(shù)值，首先要建立直角坐標(biāo)系，角頂點和始邊要按既定的位置設(shè)置．角 的三角函數(shù)定義式，其實是比例的化身，它的背后是相似形在支稱著，不過這個定義具有一般性，如軸上角的三角函數(shù)，如果沒有定義作為論據(jù)，欲求其函數(shù)性就不是很容易．　　分類討論（角位置）是三角函數(shù)求值過程中，使用頻率非常高的一個數(shù)學(xué)思想，而分類標(biāo)準(zhǔn)往往是四個象限及四個坐標(biāo)半軸．課時作業(yè)：1．已知角 的終邊經(jīng)過下列各點，求角 的六個三角函數(shù)值．　?。?） ）．　　A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　D． （2）函數(shù) 的定義域是（ 　?。?）若 ，不妨令 ，則 在第二角限 　　∴ 　　 不存在【例3】作出下列各角的正弦線，余弦線，正切線．（1） ；（2） ．　　解： ， 的正弦線，余弦線，正切線分別為 ．【例4】求證：當(dāng) 為銳角時， ．　　證明：如右圖，作單位圓，當(dāng) 時作出正弦線 和正切線 ，連 　　∵ 　　∴ 　　∴ 利用三角函數(shù)線還可以得出如下結(jié)論　　 的充要條件是 為第一象限角．　　 的充要條件是 為第三象限角．練習(xí)（學(xué)生板演，利用投影儀）　　（1）角 的終邊在直線 上，求 的六個三角函數(shù)值．　　（2）角 的終邊經(jīng)過點 ，求 ， ， ， 的值．　?。?）說明 的理由． ．解答：（1）先確定終邊位置　?、偃?在第一象限，在其上任取一點 ， ，則　　 ， 　　 不存在 　?。?）當(dāng) 時， ， 　　∴ 　　 　　 　　 　　 　　 　　提問：若將 改為 ，如何求 的六個三角函數(shù)值呢？（分 ， 兩種情形討論）【例2】求下列各角的六個三角函數(shù)值　?。?） ；（2） ；（3） ．解：（1）∵當(dāng) 時， ， 　　∴ ， ， 　　 不存在， ， 不存在　　（2）∵當(dāng) 時， ， 　　∴ ， 　　 不存在 　　∴ 　　 到360176?！　?． 　　5． 三、解答題1． ， 3．D ）．　　A． 　　　　B． 　　　　C．16　　　　D．32二、填空題1． 度； 弧度．2．半徑為2的圓中，長為2的弧所對的圓周角的弧度數(shù)為__________，度數(shù)為____________．3．3弧度的角的終邊在第_____________象限，7弧度的角的終邊在第_____________象限．4．扇形的圓心角為 ，半徑為 ，則弧長為____________．5．若 的圓心角所對的弧長為 ，則此圓的半徑為______________．三、解答題1．在半徑為 的圓中，扇形的周長等于半圓的長，那么扇形的圓心角是多少度？扇形的面積是多少？2．在直徑為 的滑輪上有一條弦，其長為 ，且 為弦的中點，滑輪以每秒5弧度的角速度旋轉(zhuǎn)，則經(jīng)過 后， 點轉(zhuǎn)過的弧長是多少？進(jìn)階演練3．扇形 的面積為 ，它的周長為 ，求扇形圓心角的弧度數(shù)及弦長 ．4．一扇形周長是 ，扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大？最大面積是多少？參考答案：一、選擇題1．B ）．　　A． 　　B． 　　C． 　　D． 4．扇形的周期是16，圓心角是2弧度，則扇形面積是（　　　　B．等于 弧度　　C．等于 弧度　　　　D．以上都不對3．把 化為 的形式是（ 除了找市面上的紙扇去量度其張開的角度外，我們更可自制不同形狀的紙扇，去測試一下 接近 的設(shè)計是否最美．探究活動旋轉(zhuǎn)的風(fēng)車　　一個大風(fēng)車的半徑為8m，12分鐘旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點離地面2m（如圖所示），求風(fēng)車翼片的一個端點離地面距離 （米）與時間 （分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系（用弧度制求解）． 　　解：首先考慮建立直角坐標(biāo)系，以最低點的切線作為 軸，最低點作為坐標(biāo)原點，如圖建立直角坐標(biāo)系．　　那么，風(fēng)車上翼片端點所在位置 可由函數(shù) 、 來刻畫，而且 ．　　所以，只需要考慮 的表示達(dá)．又設(shè) 的初始位置在最低點即 ．　　在 中， ， ．　　而　 ，所以 ， ， ．習(xí)題精選一、選擇題1． 的值是（ （精確至最接近的 ）． 則　 ． 若 ， 以弧度表示． 設(shè)兩角的弧度數(shù)分別是 、 ，因為 ，　　則依題意，得 ，解之得 　　即所求兩角的弧度數(shù)分別為 ， ．?dāng)U展資料紙扇能否按照黃金比例設(shè)計？　　在炎炎夏日，用紙扇驅(qū)走悶熱，無疑是最環(huán)好的方法．扇在美觀設(shè)計上，可考慮用料、圖案和形狀．若從數(shù)學(xué)角度看，我們能否利用黃金比例（）去設(shè)計一把富美感的的白紙扇？　　在設(shè)計紙扇張開角（ ）時，可考慮從一圓形（半徑為 ）分割出來的扇形的面積（ ）與剩余面積（ ）的比值．若假設(shè)這比值等于黃金比例，便可以找出 ．已知兩角的和為1弧度，且兩角的差為 ，求這兩個角各是多少弧度．　　分析 對集合 中的整數(shù) 依次取0，1，2，3，得角 ， ， ， ， ， ， 角的終邊相同．故選 ．例4　　如圖，用弧度制表示下列終邊落在陰影部分的角的集合（不包括邊界）．　　 解（1）按逆時針方向，在區(qū)間 上與角 終邊相同的角為 ，故所求集合為： ．　　（2）圖中第三象限部分可看成是由第一象限的陰影部分繞原點旋轉(zhuǎn) 弧度而成的，故所求集合可表示為： ．　　說明集合 ， ，則有（ 由扇形的面積公式 知，要求扇形的面積，只需求出扇形的半徑 即可．　　解若弧度為2的圓心角所對的弦長為2，則這個圓心角所夾扇形的面積是（ 先把 化成 的形式，再用弧度制表示．解（1）∵ ，　　∴ 與 角的終邊相同，又∵ 是第一象限角，　　∴ 是第一象限角．（2）∵ ，∴ 與 角的終邊相同．　　又∵ 是第三象限角，∴ 是第三象限角．　　說明 4．因為圓弧半徑為 ， ， 走過弧長為 ，由公式 ；5． ；　　6． ， 板書設(shè)計弧度制（二）1．正、負(fù)、零角的弧度制意義2．角度集合與實數(shù)集間一一對應(yīng)3．例1例2例3練習(xí)反饋小結(jié)典型例題例1 ）　　A．　　B．　　C．　　D． 3．地球赤道的半徑是6370㎞，所以赤道上 的弧長是_________（㎞）4．一條鐵路在轉(zhuǎn)彎處成圓弧形，圓弧的半徑為2㎞，一列火車用每小時30㎞的速度通過，10秒間轉(zhuǎn)過幾度？5．半徑為 的扇形，其周長為 ，則扇形中所含弓形的面積是多少？6．角 和角 的和是1弧度，差為 ，則 和 的弧度數(shù)分別是多少？參考答案：1．C； 2．C； ）　　A．所對弧長相等　　　　　　B．所對的弦長相等　　C．所對弧長等于各自半徑　　D．所對的弧長為 解：∵ 　　∴ 　　∴選D．（2）由弧度制定義，知半徑為 的圓上，1弧度的弧長應(yīng)等于半徑 ，故選 ．【例3】填空　?。?）在 內(nèi)找出與 終邊相同的角______________．　?。?）圓的弧長等于該圓內(nèi)接正三角形的邊長，則該弧所對的圓心角的弧度數(shù)是________________．　?。?）在扇形 中， ，弧長為1，則此扇形內(nèi)切圓的面積____________．解：（1）與 終邊相同角，設(shè)為 ．令 　　∴所求角為： ．　　（2）設(shè)圓半徑為 ，則內(nèi)接正三角形邊長為 ，當(dāng)弧長 時，其所對圓心角 ．　?。?）如圖2，設(shè)扇形半徑為 ，內(nèi)切圓半徑為 ，則由 　　∵ 　　∴ 3．練習(xí)反饋　　（1） ＝___________弧度； ＝____________弧度；－10弧度_________度　　（2）與 終邊相同的角是__________，它們是第__________象限角，其中最小正角為__________，最大負(fù)角為___________．參考答案：　?。?） ； ； 　　（2） ；它們是第三象限角；最小正角為 ，最大負(fù)角為 ．4．總結(jié)提煉　?。?） （度） ； 這里， 為任一角度制角， 為任一實數(shù)（弧度）　?。?）有了弧度制，實現(xiàn)了角度集與實數(shù)集合之間的一一對應(yīng)，對應(yīng)法則是正比例函數(shù) ．（ 為角度集合中元素， 為實數(shù)集中元素）．　?。?）弧度制的引入，使得有關(guān)公式表達(dá)式簡單，運(yùn)算為常規(guī)的十進(jìn)制．　?。?）任一角 的弧度的絕對值為 ，也就是說，對于任意角的度量，其弧度要把符號和絕對值分開求．課時作業(yè)1．若 ， ， ，則 的終邊位置關(guān)系是（ 3．6； 4． 或 ； 5． ； 6．中心角 時， ．教學(xué)設(shè)計示例（二）弧度制教學(xué)目標(biāo)　　1．理解角集與實數(shù)集 的一一對應(yīng)，熟練掌握角度制與弧度制間的互相轉(zhuǎn)化．　　2．能靈活應(yīng)用弧長公式、扇形面積公式解決問題．教學(xué)重點：能熟練地進(jìn)行角度制與弧度制的互化．教學(xué)難點：能靈活應(yīng)用弧長公式、扇形面積公式解決問題．教學(xué)用具：投影儀教學(xué)過程：1．設(shè)置情境．　　像角的概念推廣一樣，我們已經(jīng)把 ～ 中角，利用“乘以 ”這一法則映射到實數(shù)集 上，那么， ～ 以外的角能否化為弧度制？如果能，如何轉(zhuǎn)化呢？乘數(shù)因子是否仍為“ ”，本節(jié)課就來討論這個問題．2．探索研究　　（1）正、負(fù)角的弧度定義．　　 正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0，角 的弧度數(shù)的絕對值 ， 為以角 作為圓心角的所對的弧的長， 是圓的半徑，這種以弧度作為單位來度量角的單位制，叫做弧度制．　?。?）角集合與實數(shù)集 之間的一一對應(yīng)　　用弧度制來度量角，實際上是在角的集合與實數(shù)集 之間建立這樣的一一對應(yīng)關(guān)系（如圖1所示）．　　每一個角都有惟一的一個實數(shù)（即這個角的弧度數(shù)）與它對應(yīng)；反過來，每一個實數(shù)也都有惟一的一個角（角的弧度數(shù)等于這個實數(shù)）與它對應(yīng)．　　于是，就可以把三角函數(shù)看成是以實數(shù)為自變量的函數(shù)，它的自變量的意義可以有多種解釋，從而使三角函數(shù)的應(yīng)用更加廣泛，在數(shù)學(xué)與科學(xué)研究中所以普遍采用弧度制，這是原因之一．　?。?）有關(guān)公式　?、倩￠L 　　② 　?。?）例題分析　　【例1】下列站個角中哪幾個是第二象限角？　?。?） 　?。?） 　　（3） 　?。?）9　?。?）－4　?。?） 解：（1） 　　（2） 　?。?） 　?。?） 　　（5） 　?。?） 從而可知（2）（4）（5）所給的角在Ⅱ象限．點評：①用弧度制表示終邊相同的角的方法 　?、诎岩唤腔癁?形式，其中 從而可判斷角所在象限．　?、墼谕粏栴}求解過程中，兩種單位不能混用，如 寫法不妥．【例2】（1）把 化為 ， ， 的形式是（ 2．D）　　A．　　B． 　　C． 　　D．不確定2．若角 和 的終邊互為反向延長線，則有（ ∴ 　　（2）∵ 　　　　 練習(xí)（用投影儀）1．把下列各角化成 的形式：　?。?） ；（2） ；　?。?） ．2．求右圖3中公路彎道處弧 的長 （精確到 ，圖中長度單位： ）． 按從左至右順序其答案是：0、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ．今后我們用弧度制表示角的時候，“弧度”二字或“ ”通常省略不寫，而只寫相應(yīng)的弧度數(shù)．例如：角 就表示 是 的角， 就表示 的角的余弦，即 ．（4）角度制與弧度制的比較　　引進(jìn)弧度制后，我們應(yīng)將它與角度制進(jìn)行比較，同學(xué)們應(yīng)明確：①弧度制是以“弧度”為單位度量角的制度，角度制是以“度”為單位度量角的制度；②1弧度是等于半徑長的圓弧所對的圓心角（或該?。┑拇笮。?是圓的 所對的圓心角（或該?。┑拇笮?；③不論是以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小都是一個與半徑大小無關(guān)的定值．【例3】計算：（1） ；（2） ．解：（1）∵ 弧度 　　同理，把弧度換成角度．等式兩邊同除180　　得 的弧度數(shù) 　　提問：若弧是一個半圓，則其圓心角的弧度數(shù)是多少？若弧是一個整圓呢？　　因為半圓的弧長 ，其圓心角的弧度數(shù)是 ，同理，若弧是一個整圓，其圓心角的弧度數(shù)是 ．　　在 到 的角的弧度數(shù) 必然適合不等式 ，角的概念推廣后，弧的概念也隨之推廣，任一正角的弧度數(shù)都是一個正數(shù)．如果圓心角表示一個負(fù)角，且它以所對的弧長 ，則這個圓心角的弧度數(shù)是 ，由此我們給出弧度制的定義：一般地，可以得到：正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0；角 的弧度數(shù)的絕對值 ，其中 是以角 作為圓心角時所對的弧長， 是圓的半徑，這種以弧度作為單位來度量角的單位制，叫做弧度制．　　提問：為什么可以用弧長與其半徑的比值來度量角的大小呢？即這個比值是否與所取的圓的半徑大小無關(guān)呢？ 　　如圖2，設(shè) 為 的角，圓弧 和 的長分別為 和 ，點 和 到點 的距離（即圓半徑）分別為 和 ，由初中學(xué)過的弧長公式可得： ， ，于是 ．上式表明，以角 為圓心角所對的弧長與其半徑的比值，由 的大小來確定，與所取的半徑大小無關(guān)，僅與角的大小有關(guān)．　　因 ，可以得到 ，那弧長等于圓弧所對圓心角的弧度數(shù)的絕對值