【文章內容簡介】 解任意角的余切、正割、余割函數的定義.2．經歷從銳角三角函數定義過度到任意角三角函數定義的推廣過程，體驗三角函數概念的產生、豐富數形結合的經驗.3．培養(yǎng)學生通過現象看本質的唯物主義認識論觀點，滲透事物相互聯(lián)系、相互轉化的辯證唯物主義世界觀.4．培養(yǎng)學生求真務實、實事求是的科學態(tài)度.二、重點、難點、關鍵重點：任意角的正弦、余弦、正切函數的定義、定義域、（正負）符號判斷法.難點：把三角函數理解為以實數為自變量的函數.關鍵：如何想到建立直角坐標系；六個比值的確定性（α確定，比值也隨之確定）與依賴性（比值隨著α的變化而變化）.三、教學理念和方法教學中注意用新課程理念處理傳統(tǒng)教材，學生的數學學習活動不僅要接受、記憶、模仿和練習，而且要自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學，師生互動，教師發(fā)揮組織者、引導者、合作者的作用，引導學生主體參與、揭示本質、經歷過程.根據本節(jié)課內容、高一學生認知特點和我自己的教學風格，本節(jié)課采用“啟發(fā)探索、講練結合”的方法組織教學.四、教學過程[執(zhí)教線索：回想再認：函數的概念、銳角三角函數定義（銳角三角形邊角關系）問題情境：能推廣到任意角嗎？它山之石：建立直角坐標系（為何？）優(yōu)化認知：用直角坐標系研究銳角三角函數探索發(fā)展：對任意角研究六個比值（與角之間的關系：確定性、依賴性，滿足函數定義嗎？）自主定義：任意角三角函數定義登高望遠：三角函數的要素分析（對應法則、定義域、值域與正負符號判定）例題與練習回顧小結布置作業(yè)]（一）復習引入、回想再認開門見山，面對全體學生提問：在初中我們初步學習了銳角三角函數，前幾節(jié)課，我們把銳角推廣到了任意角，學習了角度制和弧度制，這節(jié)課該研究什么呢？探索任意角的三角函數（板書課題），請同學們回想，再明確一下：（情景1）什么叫函數？或者說函數是怎樣定義的？讓學生回想后再點名回答，投影顯示規(guī)范的定義，教師根據回答情況進行修正、強調：傳統(tǒng)定義：設在一個變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，y都有唯一確定的值和它對應，那么就說y是x的函數，x叫做自變量，自變量x的取值范圍叫做函數的定義域.現代定義：設A、B是非空的數集，如果按某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數，在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應，那么就稱映射?：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作：y=f（x），x∈A，其中x叫自變量,自變量x的取值范圍A叫做函數的定義域.設計意圖：函數和三角函數是一般和特殊的關系，是共性和個性的關系，學生已經學習了函數的概念，因此對三角函數的學習就是一個從一般到特殊的演繹的過程,：學生對函數兩種定義的記憶是有一定困難的，容易遺忘，此處讓學生對函數概念進行回想再認，目的在于明確函數概念的本質，為演繹學習任意角三角函數概念作好知識和認知準備.（情景2）我們在初中通過銳角三角形的邊角關系，學習了銳角的正弦、余弦、：這三個三角函數分別是怎樣規(guī)定的？學生口述后再投影展示，教師再根據投影進行強調：設計意圖：學生在初中學習了銳角的三角函數概念，現在學習任意角的三角函數，又是一種推廣和拓展的過程（類似于從有理數到實數的擴展）.溫故知新，要讓學生體會知識的產生、發(fā)展過程，就要從源頭上開始，從學生現有認知狀況開始，對銳角三角函數的復習就必不可少.（二）引伸鋪墊、創(chuàng)設情景（情景3）我們已經把銳角推廣到了任意角，銳角的三角函數概念也能推廣到任意角嗎？試試看，可以獨立思考和探索，也可以互相討論！留時間讓學生獨立思考或自由討論，教師參與討論或巡回對學困生作啟發(fā)引導.能推廣嗎？怎樣推廣？、臨邊、斜邊比值的說法顯然是受到阻礙了，學生一般會想到（否則教師進行提示）繼續(xù)用直角坐標系來研究任意角的三角函數.設計意圖：從學生現有知識水平和認知能力出發(fā)，創(chuàng)設問題情景，讓學生產生認知沖突，進行必要的啟發(fā)，將學生思維引上自主探索、合作交流的“再創(chuàng)造”征程.教師對學生回答情況進行點評后布置任務情景：請同學們用直角坐標系重新研究銳角三角函數定義！師生共做（學生口述，教師板書圖形和比值）：把銳角α安裝（如何安裝？角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸非負半軸重合）在直角坐標系中，在角α終邊上任取一點P，作Pm⊥x軸于m，構造一個RtΔomP，則∠moP=α（銳角），設P（x,y）（x＞0、y＞0），α的臨邊om=x、對邊mP=y，斜邊長|oP∣=r.根據銳角三角函數定義用x、y、r列出銳角α的正弦、余弦、正切三個比值，并補充對應列出三個倒數比值：設計意圖：此處做法簡單，可以構建中間橋梁或公共載體，使之既與初中的定義一致，，現在要用坐標系來研究，探索的結論既要滿足任意角的情形，是理解任意角三角函數概念的關鍵之一，也是數學發(fā)現的重要思想和方法，屬于策略性知識,能夠形成遷移能力,為學生在以后學習中對某些知識進行推廣拓展奠定了基礎（譬如從平面向量到空間向量的擴展，從實數到復數的擴展等）.（情景4）各個比值與角之間有怎樣的關系？比值是角的函數嗎？追問：銳角α大小發(fā)生變化時，比值會改變嗎？先讓學生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，同時作好解釋說明：保持r不變，讓P繞原點o旋轉即α在銳角范圍內變化，六個比值隨之變化的直觀形象。結論是：比值隨α的變化而變化.引導學生觀察圖3，聯(lián)系相似三角形知識，探索發(fā)現：對于銳角α的每一個確定值，六個比值都是確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化.得出結論(強調)：當α為銳角時，六個比值隨α的變化而變化；但對于銳角α的每一個確定值，六個比值都是確定的，六個比值分別是以角α為自變量、以比值為函數值的函數.設計意圖：初中學生對函數理解較膚淺，這里在學生思維的最近發(fā)展區(qū)進一步研究初中學過的銳角三角函數，在思維上更上了一個層次，扣準函數概念的內涵，突出變量之間的依賴關系或對應關系，是從函數知識演繹到三角函數知識的主要依據，是準確理解三角函數概念的關鍵，.（三）分析歸納、自主定義（情境5）能將銳角的比值情形推廣到任意角α嗎?水到渠成，師生共同進行探索和推廣：對于一個任意角α，它的終邊所在位置包括下列兩類共八種情形（投影展示并作分析）：終邊分別在四個象限的情形：終邊分別在四個半軸上的情形：；（指出：不畫出角的方向，表明角具有任意性）怎樣刻畫任意角的三角函數呢？研究它的六個比值：（板書）設α是一個任意角，在α終邊上除原點外任意取一點P（x，y），P與原點o之間的距離記作r（r=＞0），列出六個比值：α=kππ/2時，x=0，比值y/x、r/x無意義；α=kπ時，y=0，比值x/y、r/y無意義.追問：α大小發(fā)生變化時，比值會改變嗎？先讓學生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，同時作好解釋說明：使r保持不變，P繞原點o逆時針、順時針旋轉即角α變化，六個比值隨之改變的直觀形象。結論是：各比值隨α的變化而變化.再引導學生利用相似三角形知識，探索發(fā)現：對于任意角α的每一個確定值，六個比值都是確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化.綜上得到（強調）：當角α變化時，六個比值隨之變化；對于確定的角α，六個比值（如果存在的話）都不會隨P在角α終邊上的改變而改變，六個比值是確定的(對應的多值性即誘導公式一留到下節(jié)課分析).因此，六個比值分別是以角α為自變量、以比值為函數值的函數.根據歷史上的規(guī)定，對比值進行命名，指出英文記法和讀法，記作（承前作復合板書）：=sinα（正弦）=cosα（余弦）=tanα（正切）=cscα（余割）=sec（正弦）=cotα（余切）教師強調：sinα表示sin與α的乘積嗎？不是，sinα是函數記號，是一個整體,相當于函數記號f（x）.其它幾個三角函數也如此投影顯示圖六，指導學生分析其對應關系，進一步體會其函數內涵：（圖六）指導學生識記六個比值及函數名稱.教師指出：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六個函數統(tǒng)稱為三角函數，三角函數有非常豐富的知識和思想方法，我們以后主要學習正弦、余弦、正切三個函數的相關知識和方法，對于余切、正割、余割，只要同學們了解它們的定義就夠了（遵循大綱要求）.引導學生進一步分析理解：已知角的集合與實數集之間可以建立一一對應關系，對于每一個確定的實數，把它看成一個弧度數，就對應著唯一的一個角，（板書）三角函數可以看成是以實數為自變量的函數，這將為以后的應用帶來很多方便.設計意圖：把角的終邊分別在四個象限、四條半軸上的情形全作出來，，，對弧度制的理解有待于在以后的學習應用中逐步感悟，因此部分學生對“三角函數可以看成是以實數為自變量的函數”的理解有半信半疑之感，有待通過后續(xù)的應用加深理解.（四）探索定義域（情景6）（1）函數概念的三要素是什么？函數三要素：對應法則、定義域、值域.正弦函數sinα的對應法則是什么？正弦函數sinα的對應法則，實質上就是sinα的定義：對α的每一個確定的值，有唯一確定的比值y/r與之對應，即α→y/r=sinα.(2)布置任務情景：什么是三角函數的定義域？請求出六個三角函數的定義域，填寫下表：三角函數sinαcosαtanαcotαcscαsecα定義域引導學生自主探索：如果沒有特別說明，那么使解析式有意義的自變量的取值范圍叫做函數的定義域，三角函數的定義域自然是指：使比值有意義的角α的取值范圍.關于sinα=y/r、cosα=x/r，對于任意角α（弧度數），r＞0，y/r、x/r恒有意義，定義域都是實數集R.對于tanα=y/x，α=kππ/2時x=0，y/x無意義，tanα的定義域是：{α|α∈R，且α≠kππ/2}..........教師指出:sinα、cosα、tanα的定義域必須緊扣三角函數定義在理解的基礎上記熟，cotα、cscα、secα的定義域不要求記憶.（關于值域，到后面再學習）.設計意圖：定義域是函數三要素之一，有利于在理解的基礎上記住它、應用它，也增進對三角函數概念的掌握.（五）符號判斷、形象識記（情景7）能判斷三角函數值的正、負嗎？試試看！引導學生緊緊抓住三角函數定義來分析，r＞0,三角函數值的符號決定于x、y值的正負，根據終邊所在位置總結出形象的識記口訣：（同好得正、異號得負）sinα=y/r：上正下負橫為0cosα=x/r：左負右正縱為0tanα=y/x：交叉正負設計意圖：判斷三角函數值的正負符號，是本章教材的一項重要的知識、數形結合判斷和記憶三角函數值的正負符號，并總結出形象的識記口訣，這也是理解和記憶的關鍵.（六）練習鞏固、理解記憶自學例1：已知角α的終邊經過點P（2，3），求α的六個三角函數值.要求：讀完題目，思考：計算什么?需要準備什么?閉目心算，對照解答，模仿書面表達格式，鞏固定義.課堂練習：p19題1：已知角α的終邊經過點P（3，1），求α的六個三角函數值.要求心算，并提問中下學生檢驗，點評：角α終邊上有無窮多個點，根據三角函數的定義，只要知道α終邊上任意一個點的坐標，就可以計算這個角的三角函數值（或判斷其無意義）.補充例題：已知角α的終邊經過點P（x，3），cosα=4/5，求α的其它五個三角函數值.師生探索：已知y=3，要求其它五個三角函數值，須知r=？，x=？.根據定義得=（方程思想），x＞0，解得x=4，.自學例2：求下列各角的六個三角函數值：(1)0；(2)π/2；(3)3π/2.提問，據反饋信息作點評、修正.師生探索：緊扣三角函數定義求解，首先要在終邊上取定一點。終邊在哪兒呢？取定哪一點呢？任意點、還是特殊點？要靈活，只要能夠算出三角函數值，都可以。取特殊點能使計算更簡明。課堂練習：p19題2.（改編）填表：角α（角度）0176。90176。180176。270176。360176。角α（弧度）sinαcosαtanα處理：要求取點用定義求解，針對計算過程提問、點評，理解鞏固定義.強調：終邊在坐標軸上的角叫軸線角，如0、π/π、3π/2等，今后經常用到軸線角的三角函數值，要結合三角函數定義記熟這些值.設計意圖：及時安排自學例題、自做教材練習題，一般性與特殊性相結合，進行適量的變式練習，以鞏固和加深對三角函數概念的理解，通過課堂積極主動的練習活動進行思維訓練，把“培養(yǎng)學生分析解決問題的能力”貫穿在每一節(jié)課的課堂教學始終.（七）回顧小結、建構網絡要求全體學生根據教師所提問題進行總結識記，提問檢查并強調：1．你是怎樣把銳角三角函數定義推廣到任意角的？或者說任意角三角函數具體是怎樣定義的？（建立直角坐標系，使角的頂點與坐標原點重合，，在終邊上任意取定一點P，）2．你如何判斷和記憶正弦、余弦、正切函數的定義域？（根據定義，）3．你如何記憶正弦、余弦、正切函數值的符號？（根據定義，想象坐標位置，）設計意圖：遺忘的規(guī)律是先快后慢，回顧再現是記憶的重要途徑，抓住要害，人人參與，及時建構知識網絡，優(yōu)化知識結構，培養(yǎng)認知能力.（八）布置課外作業(yè)1．書面作業(yè)：、5題.2．認真閱讀p22“閱讀材料：三角函數與歐拉”，了解歐拉的生平和貢獻，特別學習他對科學的摯著精神和堅忍不拔的頑強毅力！有興趣的同學可以上網查閱歐拉的相關情況.教學設計說明一、對本節(jié)教材的理解三角函數是描述周期運動現象的重要的數學模型，有非常廣泛的應用.星星之火，可以燎原.直角三角形簡單樸素的邊角關系，以直角坐標系為工具進行自然地推廣而得到簡明的任意角的三角函數定義，緊緊扣住三角函數定義這個寶貴的源泉，自然地導出三角函數線、定義域、符號判斷、值域、同角三角函數關系、多組誘導公式、多組變換公式、輔助角公式、圖象和性質，（如直線斜率公式、極坐標、部分曲線的參數方程等），定義還是直接解決某些問題的工具，三角函數知識是物理學、高等數學、測量學、天文學的重要基礎.三角函數定義必然是學好全章內容的關鍵，如果學