20xx年數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽a題論文(編輯修改稿)
2024-12-12 10:06 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 工具箱中的命令 regress 求解，并用 rcoplot命令進(jìn)行殘差分析 ，得到下面的結(jié)果（程序 及詳細(xì)結(jié)果見附錄）： ? ? ? 殘差圖如圖 11 所示，從途中可以看出除了第一個(gè)和第二個(gè)數(shù)據(jù)外，其余數(shù)據(jù)的殘差離零點(diǎn)均較近，且殘差的置信區(qū)間均包含零點(diǎn)，這說明得到的回歸模型 12 能較好的符合原始數(shù)據(jù)，而第一個(gè)和第二個(gè)數(shù)據(jù)可視為異常點(diǎn)。 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 4 0 3 0 2 0 1 001020304050殘差分析圖rintr圖 11：殘差分析圖 d、檢驗(yàn)：在上面參數(shù)求解中得到的相關(guān)系數(shù) R2 、 F 值由于 Matlab 的精度限制未能得到符合實(shí)際的解，所以這里采用 SPSS 軟件進(jìn)行進(jìn)一步求解，得到部分結(jié)果如下： R=， R2 =， F=，由此可看出模型是合理的。 回歸方程與散點(diǎn)圖的對(duì)比圖如圖 12 所示（使用 Matlab 繪制）： 1000 1500 2020 2500 3000 3500 40005001000150020202500300035004000理論流量實(shí)際流量 圖 12：回歸方程與散點(diǎn)圖的對(duì)比圖 13 通過上述一元線性回歸模型得到的實(shí)際油量與理論油量的關(guān)系，來修正理論公式，得到最后的油量公式如下： 73 .25 42 98 6VV? ? ? 理實(shí) 用修正后的油量公式算出的數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，差值減小了很多，如圖 13 所示： 05001000150020202500300035004000 高度（m m ）流量（L）實(shí)際流量與高度的關(guān)系修正后理論流量與高度的關(guān)系 圖 13：修正后理論油量和實(shí)際油量與高度的關(guān)系圖 ③ 考慮傾斜變位出油的情況時(shí)，與無變位進(jìn)油一樣沒有油量的初始值，由變位進(jìn)油的分析得到油位高度在 附近理論值與實(shí)際值最接近，由此算出出油時(shí)油位高度為 升的理論油量，以這個(gè)值作為實(shí)際值的初始值，通過累加進(jìn)油量得到每個(gè)油位高度對(duì)應(yīng)的實(shí)際油量。然后利用變位進(jìn)油得到的修正公式算出變位出油的理論油量，與實(shí)際油量進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比圖如圖 14 所示，圖形基本重合，在誤差允許范圍內(nèi)，進(jìn)油與出油均可利用進(jìn)油時(shí)得到的修正公式進(jìn)行罐容表的標(biāo)定，由 上面 得到標(biāo)定范圍為 （ 1471 ， 1171） mm，得到標(biāo)定值如下表1 所示。 05001000150020202500300035004000 高度（mm）油量（L）實(shí)際油量與高度的關(guān)系理論油量與高度的關(guān)系 圖 14：變位出油的理論油量和實(shí)際油量與高度的關(guān)系 14 表 1：標(biāo)定值 高度（ mm） 無變位標(biāo)定值（ L） 傾斜變位標(biāo)定值 （ L） 1080 1090 1100 1110 1120 1130 1140 1150 1160 1170 注：表 1 給出罐容表標(biāo)定 值最后的 10 個(gè)，全部 的 標(biāo)定值 在附錄中。 兩個(gè)標(biāo)定值的對(duì)比散點(diǎn)圖如圖 15 所示： 0500100015002020250030003500400045000 200 400 600 800 1000 1200 1400高度（m m ）油量（L）無變位罐容表傾斜變位罐容表 圖 15：無變位標(biāo)定值和傾斜變位標(biāo)定值分別與高度關(guān)系的散點(diǎn)圖 由圖 15 可知，在油位高度接近滿罐的時(shí)候，無變位標(biāo)定值與傾斜變位標(biāo)定值非常接近，油位高度越小，差值越大。 問題二 模型的建立 經(jīng)查閱資料 ， 考慮到 實(shí)際 油罐體在變位后 對(duì)油位高度有一定 的要求， 為 安全高度 。此問題中 安全高度為 6 ta n 2 2 ta nhR??? ? ?，故只考慮這個(gè)高度段的情形即如圖 17 所示得情況。 首先計(jì)算罐體主體圓柱體 中油的 的體積 V身 ① ?的引入 15 當(dāng)只有橫向偏轉(zhuǎn)角度 ?時(shí)， 如圖 16所示，罐體 內(nèi)油位實(shí)際高度值 1h 和所讀出 油位高度值 h ，由圖上幾何關(guān)系可得： 1 ( ) c osh h R R?? ? ? 圖 16 ② ? 的引入 在圖 16 所建立的坐標(biāo)系中，可以得到圓的方程 ? ?2 2 2 y R R? ? ?,則圖示A 點(diǎn)坐標(biāo)為 ? ?22,R y y? ，積分可得到油面面積為： ? ? 1 221 2RhRS h R y d y?????? 通過 MATLAB 軟件進(jìn)行數(shù)值積分得： ? ? ? ? ? ?? ?111 si n 2 a r c o s 1 / 1 .52 .2 5 a r c o s 1 / 1 .5 2 hS h h ??? ??? ? ? ? ? ????? 當(dāng)縱向傾斜角為 ? 時(shí)， 距離 左端原點(diǎn) 水平距離 為 x 處的實(shí)際油位高度為： ? ?11 2 ta n ta nh x h x??? ? ? 將 ??1hx帶入到 ? ?1Sh 中 可以得到 ??Sx： 16 ? ? ? ? ? ?? ?? ?11 si n 2 a r c os 1 2 t a n t a n / 2 t a n t a a r c os 1 32 hxhxSx ???? ??? ? ? ? ???????? ? ? ? ? ??????? 所以罐體主體圓柱體的體積即可表示為： ? ?L0 SV x dx??身 再計(jì)算 出兩端 球冠體 中油 的體積 V頭 在求解球冠體的體積時(shí)，分析后可通過一個(gè)簡(jiǎn)單的近似來簡(jiǎn)化計(jì)算，即使球冠體中水平的油面近似處理為平行于罐體傾斜時(shí)的平面。 圖 17 先由 圖 17 中幾何關(guān)系求出球冠體的半徑 r ： ? ?2221Rrr? ? ? 解得 ： ? 按照與 中相同的方法 積分按圖示 17 可以得到： ? ? ? ? ? ?1 1 12 .6 4 0 6 a r c o s 1 / 1 .6 2 5 0 .5 sin ( 2 a r c o s 1 / 1 .5 )S h h h ?? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? 221 ( 1 )h y R R y r? ? ? ? ? 將 ??1hx帶入到 ? ?1Sh 中可以得到 ??Sy，所以得到球冠體中油量為： ? ?39。0hV S y dy??頭 其中： 39。 1 2 tanhh ??? 17 綜合 和 中的計(jì)算可得到在位變а和β下實(shí)際罐體內(nèi)的儲(chǔ)油量 V 為： ? ? ? ?39。L002 S 2 hV V V x d x S y d y? ? ? ???身 頭 ， 其中 ： 39。 1 2 tanhh ??? ， 1 ( ) c osh h R R?? ? ?， 8L? ， R= ， ? ， ? ? ? ? ? ?? ?? ?11 si n 2 a r c os 2 t a n t a n / 12 2 t a n t a a r c os 132 hxhxSx ???? ??? ? ? ???????? ? ? ? ???????， ? ? ? ?? ?? ?22222 .6 4 0 6 a r c o s 1 ( 1 ) / 1 .6 2 51 .3 2 0 3 sin ( 2 a r c o s 1 ( 1 ) / 1 .5 ) 2 .6 4 0 6S y R R y rR R y r ?? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ????????? 模 型的求解 用最小二乘法求 ?? ???? 、值的估計(jì)值和 ： 上面 計(jì)算得到的罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù)的關(guān)系，油位高度與儲(chǔ)油量的關(guān)系不是線性關(guān)系，這里采用最小二乘法求解變位參數(shù)的估計(jì)值，一般非線性模型的形式為： ?? ?? ),(xfy 其中， f 是一般的非線性函數(shù)， ? 是參數(shù)向量（ ?? [? ]? ）， ? 是隨 機(jī)誤差變量，期望為零。 編程實(shí)現(xiàn)： Step1： 采用高斯 牛頓公式，直接求出 ??和 . Step2： 取
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