泛函分析知識點(diǎn)(編輯修改稿)
2025-07-17 12:27 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 素的乘法運(yùn)算，滿足下列條件：（1）關(guān)于加法成為交換群，即對任意x,yX，存在uX與之相對應(yīng)，記為u=x+y,稱為x和y的和，滿足1）；2）；3）在X中存在唯一元素，使對任何,成立，稱為X中零元素；4）對X中每個元素x，存在唯一元素，使，稱為的負(fù)元素，記為；（2）對于X中每個元素，及任意實數(shù)（或復(fù)數(shù)）a，存在元素u與之對應(yīng)，記為，稱為a與x的數(shù)積，滿足1）；2）對任意實數(shù)（或復(fù)數(shù)）a和b成立；3），則稱X按上述加法和數(shù)乘運(yùn)算成為線性空間或向量空間，其中的元素稱為向量。如果數(shù)積運(yùn)算只對實數(shù)（復(fù)數(shù)）有意義，則稱X是實（復(fù)）線性空間。例1 Rn,對Rn中任意兩點(diǎn)x=(ξ1,ξ2,…,ξn ),y=(η1,η2,…,ηn)和任何實(復(fù))數(shù)a,定義x+y=(ξ1 +η1,ξ2 +η2,…,ξn +ηn),ax=(aξ1 ,aξ2,…,aξn).容易驗證Rn按上述加法和數(shù)乘運(yùn)算成實(復(fù))線性空間. 設(shè)x1 ,x2,…,xn 是線性空間X中的向量,如果存在n個不全為零的數(shù)α1,α2,…,αn,使α1 x1 +α2 x2 +…+αnxn =0, (1)則稱x1,x2 ,…,xn 線性相關(guān),否則稱為線性無關(guān).不難看出,x1,x2,…,xn 線性無關(guān)的充要條件為,若,必有α1 =α2 =…=αn =0. 設(shè)M是線性空間X的一個子集,如果M 中任意有限個向量都線性無關(guān),則稱M 和L為X中兩個子集,若M 中任何向量與L中任何向量都線性無關(guān),則稱M和L線性無關(guān). 設(shè)X是線性空間, M 是X中線性無關(guān)子集,如果spanM= X,則稱M 的基數(shù)為X的維數(shù),記為dim X, M 的基數(shù)為有限數(shù),則稱X是有限維線性空間,稱X為零維線性空間.第八節(jié) 賦范線性空間和巴拿赫（Banach）空間 設(shè)X是實(或復(fù))的線性空間,如果對每個向量x∈X,有一個確定的實數(shù),記為‖x‖與之對應(yīng),并且滿足:
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