實(shí)變函數(shù)與泛函分析論(編輯修改稿)
2025-02-11 02:56 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ： 設(shè)f (x) 是E ∈ L q(mE ∞) 上的有界函數(shù)，則稱(chēng)f (x) ∈ L(E) ，如果 對(duì)任意ε 0，必然存在E 的分劃D，使 S(D,f) s(D,f) = ΣωimEi； 這里S(D,f) 及s(D,f）分別是f (x) 關(guān)于分劃D 的大和及小和，ωimEi是Ei上的振幅。 var cpro_psid =u2572954。 var cpro_pswidth =966。 var cpro_psheight =120。 由上述定義可以看出，勒貝格積分與黎曼積分的主要區(qū)別在于前者是對(duì)函數(shù)的函數(shù)值區(qū)域進(jìn)行劃分；后者是對(duì)函數(shù)定義域進(jìn)行劃分。 對(duì)此Lebesgue自己曾經(jīng)作過(guò)一個(gè)比喻，他說(shuō)：“假如我欠人家一筆錢(qián)，要還，此時(shí)按鈔票的面值的大小分類(lèi)，然后計(jì)算每一類(lèi)的面額總值，再相加，這就是Lebesgue積分思想；如不按面額大小分類(lèi)，而是按從錢(qián)袋取出的先后次序來(lái)計(jì)算總數(shù)，那就是Riemann積分思想。” 從理論實(shí)際上來(lái)說(shuō)，黎曼積分定義下的函數(shù)類(lèi)太小，而勒貝格積分就完美的解決了這一問(wèn)題。 二、勒貝格積分與黎曼積分的聯(lián)系： 而根據(jù)上述的定義可以看出，對(duì)于定義在某以特定區(qū)間[a,b]內(nèi)的函數(shù)f（x），如果它是黎曼可積的，則它必然也是勒貝格可積的，而且在這種情況下，它有相同的積分值。所以我們?cè)谄綍r(shí)的解題中，為方便起見(jiàn)，先考慮函數(shù)是否黎曼可積，因?yàn)槲覀冊(cè)跀?shù)學(xué)分析中所學(xué)的都為黎曼積分，對(duì)黎曼積分較為熟悉。如下： 例1 設(shè)f(x)是區(qū)間[a,b]上的有界單調(diào)函數(shù)，f的不連續(xù)點(diǎn)至多是可列集，因此f在[a,b]上幾乎為處處連續(xù)的，又因?yàn)閒在[a,b]上是有界的，故f在[a,b]上是黎曼可積的，所以也是勒貝格可積的。
公司管理相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1