無窮小量及其應用(編輯修改稿)
2025-07-17 07:15 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 因為,所以由定理1可得：原式=. （2）因為，所以由性質(zhì)（3）可得.因此由定理1可得：原式=. 利用等價無窮小量作替換定理2：設函數(shù)在內(nèi)有定義，且. （1）如果，那么. （2）如果，那么. 證明：（1）因為，所以= = ==.（2）因為，所以===.例6：求下列極限：（1）；（2），其中，. 解：（1）因為當時，,. 所以由定理2可得：原式==. （2）因為當時，,. 所以由定理2可得：原式====.例7：求極限.解：因為，. 所以. 因此由定理2可得：原式===. 例8：求極限. 解：因為當時，，.所以由定理2得：原式= ==. 錯誤解法： 因為，. 所以原式=.定理3：設，當時，.其中，均為非零實數(shù)（上述等價無窮小量和極限是在同一極限趨向下的表達式）. 證明：因為= = = ==. 所以. 例9：求極限. 解：因為，. 由定理3知，當時，. 所以原式=.例10：求極限：.解：因為當時，，，且，. 所以由定理3可得：原式=. 定理4：設，則.（在同一極限趨向下） 證明：因為= = ==. 所以. 定理5：設且存在，則有.（在同一極限趨向下） 證明：因為,且存在.所以= = = = =. 即結(jié)論成立. 例11：求下列極限:（1）；（2）. 解：（1）法一：原式= = = ===. 法二：因為，所以由定理5可得：原式== =. （2）由定理5可得：原式===. 定理6：設是同一變化過程中的無窮小量，且 ，如果對其中的某一個，有，那么. 由定理6我們可以得到：在有限個無窮小量的和中，如果有些是關于某一項的高階無窮小量，那么這些項是可以忽略不計的. 例12：求極限. 解：因為， . 所以由定理6可得：原式=. 定理7：當時，與均是無窮小量，并且，在上與都是連續(xù)的，那么有.證明：因為==1. 所以.例13：求極限.解：因為當時，,且,. 所以定理7可得:原式===.
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