【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 （29）單位時(shí)間內(nèi)微元體內(nèi)熱源產(chǎn)生的熱量為 （210）式中，p—材料密度（kg/m2）； q—物體內(nèi)部體熱源強(qiáng)度（W/m2）。單位時(shí)間內(nèi)微元體熱力能（內(nèi)能）的增量為 （211）式中，c—材料比熱（J/（Kg℃））； T=T(x,y,z,t)—物體的溫度函數(shù)； t—時(shí)間（s）。將式（29）、（210）、（211）代入式（23），整理后得 （212a） 或 （212b）式中，▽2—拉普拉斯運(yùn)算子，即 若材質(zhì)不是均勻的，即各相異性，這時(shí)得到更為普遍的導(dǎo)熱微分方程 （213）式（212a）和（213）稱為導(dǎo)熱微分方程，是在能量守恒定律和傅里葉定律的基礎(chǔ)上建立起來(lái)的，實(shí)質(zhì)上是導(dǎo)熱的能量方程。導(dǎo)熱微分方程是一普適方程，它是對(duì)導(dǎo)熱物質(zhì)內(nèi)部溫度場(chǎng)內(nèi)在定律的描述，適用于所有導(dǎo)熱過(guò)程，因而如果要獲得特定情況下導(dǎo)熱問(wèn)題的解必須加限制條件。這些限制條件稱為定解條件。它包括時(shí)間條件和邊界條件。 時(shí)間條件時(shí)間條件是指某一時(shí)刻導(dǎo)熱物體內(nèi)的溫度分布。如以該時(shí)刻作為時(shí)間的起算點(diǎn)，則時(shí)間條件稱為初始條件。最簡(jiǎn)單的初始條件是初始溫度分布均勻，即 T（x，y，z，t）=T0 （常數(shù)） （214a）這便是穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，導(dǎo)熱物體內(nèi)的溫度分布不隨時(shí)間變化，初始條件沒(méi)有意義，所以非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的求解才有初始條件。 邊界條件邊界條件是指導(dǎo)熱物體邊界處的溫度或表面?zhèn)鳠崆闆r。由于物體邊界處傳熱的特點(diǎn)不同，邊界條件通常分為以下三類：（1）第一類邊界條件：給定物體邊界上任何時(shí)刻的溫度分布。對(duì)于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱給定以下的關(guān)系式： T=T(x，y，z，t)（在Γ1邊界上） （215a）當(dāng)邊界條件均勻時(shí)，式214a可簡(jiǎn)化為 T=T（t）（在Γ1邊界上） （215b）（2）第二類邊界條件：給定物體邊界上任何時(shí)刻的熱流密度q180。對(duì)于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，給定以下關(guān)系式：（在Γ2邊界上） （216a）同樣，邊界條件均勻時(shí)（在Γ2邊界上） （216b）（3）第三類邊界條件：給定物體邊界與周圍流體間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h及周圍流體的溫度TB 。由固體壁導(dǎo)熱量與表面?zhèn)鳠崃肯嗟?，得（在?邊界上） （217）式中，已知流體溫度TB 和邊界面的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h，而邊界面的溫度T和溫度變化率都是未知的，這正是第三類邊界條件和第一、第二類邊界條件不同的地方。以上邊界條件中，第一類邊界條件是強(qiáng)制條件，第二、三類邊界條件是自然邊界條件。設(shè)溫度場(chǎng)求解域?yàn)棣?，那么?+Γ2+Γ3=Γ，Γ是域Ω的全部邊界。求解瞬態(tài)溫度場(chǎng)問(wèn)題是求解在初始條件下，即在 T（x，y，z，0）=T（x，y，z） （218）條件下滿足瞬態(tài)熱傳導(dǎo)方程及邊界條件的場(chǎng)函數(shù)T（x，y，z，t）。如果邊界上的T（t）、q’（t）和TB及內(nèi)部q不隨時(shí)間變化，則經(jīng)過(guò)一定時(shí)間的熱交換后，物體內(nèi)各點(diǎn)溫度也將不再隨時(shí)間而變化，即 （219）這時(shí)，瞬態(tài)熱傳導(dǎo)方程就退化為穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程了，即（在Ω內(nèi)） （220）求解穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)的問(wèn)題就是求滿足穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程及邊界條件的溫度場(chǎng)變量T，穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)的溫度分布與初始條件無(wú)關(guān)，它是只有邊界條件而沒(méi)有初始條件的導(dǎo)熱問(wèn)題，T只是坐標(biāo)的函數(shù)，與時(shí)間無(wú)關(guān)。 穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)的有限元法穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)溫度場(chǎng)問(wèn)題與時(shí)間無(wú)關(guān)，穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)的有限單元法求解和彈性靜力學(xué)問(wèn)題基本相同，對(duì)于熱傳導(dǎo)問(wèn)題，場(chǎng)變量是溫度，是標(biāo)量場(chǎng)，穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題存在變分泛函，由變分建立的有限元方程與用迦遼金法建立的有限元方程是一致的。本文研究三維熱傳導(dǎo)問(wèn)題，采用迦遼金法建立穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)有限單元法問(wèn)題的求解一般格式。先構(gòu)造一個(gè)近似函數(shù)，并設(shè)已滿足Γ1邊界上的強(qiáng)制邊界條件，將近似函數(shù)代入場(chǎng)函數(shù)（220）及Γ2和Γ3邊界條件中，因的近似性，將產(chǎn)生余量，即 （221）用加權(quán)余量法建立有限元格式的基本思想就是使余量的加權(quán)積分為零，即 （222）式中www3 是權(quán)函數(shù)。式（222）的意義是使方程（220）和自然邊界條件式在全域及邊界上得到加權(quán)意義上的滿足。將（221）代入（222）中，并進(jìn)行分部積分可得 （223）將求解域Ω離散為有限個(gè)單元體，在典型單元內(nèi)各點(diǎn)的溫度T可以近似地由單元的節(jié)點(diǎn)溫度Ti差值得到 （224） 其中ne是每個(gè)單元的結(jié)點(diǎn)數(shù)；Ni（x，y，z）是C0型插值函數(shù)，它亦具有下述性質(zhì)： （225）并且 由于近似函數(shù)是構(gòu)造在單元體中的，因此（223）式中的積分可改寫(xiě)為對(duì)單元積分的總和，用迦遼金法選擇函數(shù) 式中ne是Ω域全部離散得到的節(jié)點(diǎn)總數(shù)。在邊界上不失一般性的選擇 這時(shí)已滿足強(qiáng)制邊界條件（在解方程前引入強(qiáng)制邊界修正方程），因此在Γ1邊界上不再產(chǎn)生余量，可令w1在Γ1為零。將以上各式代入（214）式則可以得到 （226）（j=1,2，，n）寫(xiě)成矩陣形式，則有 （227）這是n個(gè)聯(lián)立的線性方程組，用以確定n個(gè)節(jié)點(diǎn)溫度Ti。按照一般有限元各式可表示為 KT=P （228）式中K稱為熱傳導(dǎo)矩陣，它是對(duì)稱矩陣；T=[T1,T2,…,Tn]T 是節(jié)點(diǎn)溫度列陣；P是溫度載荷列陣。矩陣K和P分別表示如下： （229） （230）（229）式中的第1項(xiàng)是各種單元對(duì)熱傳導(dǎo)矩陣的貢獻(xiàn)，第2項(xiàng)是第三類熱交換邊界條件對(duì)熱傳導(dǎo)矩陣的修正。（230）式中的3項(xiàng)分別為給定熱流、熱交換以及熱源引起的溫度載荷。可以看出熱傳導(dǎo)矩陣和溫度載荷列陣都是單元相應(yīng)的矩陣集合而成，可將（229）及（230）式改寫(xiě)成單元集成的形式 （231） （232）其中，是各單元對(duì)熱傳導(dǎo)矩陣的貢獻(xiàn)； 是第三類熱交換邊界條件對(duì)熱傳導(dǎo)矩陣的修正； 是給定熱流所引起的溫度載荷； 是熱交換所引起的溫度載荷； 是體內(nèi)熱源引起的溫度載荷。以上就是三維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題的有限元方程。 熱變形的有限元法物體受熱熱膨脹與受拉、壓作用下的彈性伸縮具有相似之處。在彈性極限內(nèi)，當(dāng)作用力消失時(shí)物體能恢復(fù)原狀而無(wú)殘余變形以及物體的變形與受力大小成正比。這些現(xiàn)象在熱變形過(guò)程中也同樣存在。只要溫度變化不大，熱變形也具有線性關(guān)系，并且溫度變化消失時(shí)物體的熱變形消失，物體恢復(fù)原狀，這就是熱彈性力學(xué)問(wèn)題。[22][23]造成物體熱變形有以下三種情況：（1）當(dāng)均質(zhì)物體在均勻溫度變化下作熱膨脹受到約束時(shí)，會(huì)產(chǎn)生熱應(yīng)力；（2）如果由兩種以上材料組成的物體，那么即使是溫度均勻變化以及外界沒(méi)有約束，也會(huì)產(chǎn)生熱應(yīng)力。這是因?yàn)閮煞N材料的線膨脹系數(shù)不同，相互約束而造成的；（3）對(duì)于均質(zhì)的單一物體，雖然沒(méi)有外界約束，當(dāng)溫度變化不均勻時(shí)也會(huì)產(chǎn)生熱應(yīng)力。 熱變形有限元法方程的矩陣形式彈性體在載荷作用下，體內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可由6個(gè)應(yīng)力分量σx，σy，σz，τxy，τyz，τzx來(lái)表示，其中σx，σy，σz為正應(yīng)力；τxy，τyz，τzx為剪應(yīng)力。應(yīng)力分量及其正方向如圖22所示。圖22 應(yīng)力分量應(yīng)力分量的矩陣表示稱為應(yīng)力列陣或應(yīng)力向量[24][25]， （238）彈性體在載荷作用下，還將產(chǎn)生位移和變形，即彈性體位置的移動(dòng)和形狀的改變，彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的位移可由直角坐標(biāo)軸方向大的3個(gè)位移分量u，v，w來(lái)表示。它的矩陣形式是 （239）稱作位移列陣或位移向量。彈性體內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)變，可由6個(gè)應(yīng)變分量εx，εy，εz，γxy，γyz，γzx來(lái)表示，其中εx，εy，εz為正應(yīng)變；γxy，γyz，γzx為剪應(yīng)變，應(yīng)變矩陣形式是 （240）稱作應(yīng)變列陣或應(yīng)變向量（1）幾何方程 在微小位移和微小變形的情況下，略去位移導(dǎo)數(shù)的高次冪，則應(yīng)變向量和位移向量間的幾何關(guān)系為 （241）（2）力的平衡方程 彈性體V域內(nèi)任一點(diǎn)沿坐標(biāo)軸x，y，z方向的平衡方程為 （242）式中，Pxy ，Pyz ，Pzx分別為x，y，z方向上的體力。如果彈性體沒(méi)有到熱平衡時(shí)，其產(chǎn)生熱應(yīng)力隨時(shí)間而變化，V域內(nèi)任一點(diǎn)沿坐標(biāo)方向想x，y，z的運(yùn)動(dòng)微分方程為 （243）式中，p—密度， t—時(shí)間。（3）物理方程 應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系彈性力學(xué)中應(yīng)力—應(yīng)變之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系也稱彈性關(guān)系，對(duì)于各向同性的線彈性材料，應(yīng)力通過(guò)應(yīng)變的表達(dá)式可用矩陣形式表示為 （244）其中 （245）[D]稱為彈性剛度矩陣，它完全取決于彈性材料的彈性模量E和泊松比μ。 熱變形基本方程物體內(nèi)溫度發(fā)生變化時(shí)，它的體積將隨溫度升高或降低而改變。假設(shè)有一個(gè)各向同性的立方體，因均勻受熱而膨脹，它在長(zhǎng)、寬、高各方向?qū)a(chǎn)生熱變形，各邊的伸長(zhǎng)量和溫度之間的關(guān)系為 （246）式中，—變形量 —物體原尺寸 —物體溫升 —材料線膨脹系數(shù) 熱彈性有限元法假設(shè)空間域被M個(gè)具有Nd個(gè)節(jié)點(diǎn)的單元離散，V內(nèi)共有N個(gè)節(jié)點(diǎn)，在每個(gè)單元各點(diǎn)的位移用節(jié)點(diǎn)位移表示為 （247）式中，—形函數(shù)； —節(jié)點(diǎn)位移向量。根據(jù)虛位移原理可知： （248）故有： （249）式中。—微分算子矩陣；—邊界法相形函數(shù)矩陣；—加速度矩陣；—單元節(jié)點(diǎn)力載荷。對(duì)式（249）進(jìn)行整理，可得出有限元的總體合成，即 （250）式中，單元?jiǎng)偠染仃嚕? 單元熱載荷； 單元質(zhì)量矩陣； 單元面力載荷。 滾珠絲杠有限元模型的建立利用有限元分析軟件ANSYS建立滾珠絲杠的有限元數(shù)字模型，ANSYS分析過(guò)程分為前處理、求解和后處理三個(gè)步驟。前處理是指建立有限元模型，它的操作步驟分為創(chuàng)建或?qū)雽?shí)體模型，定義單元屬性、劃分網(wǎng)格，模型修正等幾項(xiàng)內(nèi)容。求解過(guò)程分為施加載荷、設(shè)置邊界條件和約束條件、選擇求解器等。求解進(jìn)行之前，應(yīng)進(jìn)行分析數(shù)據(jù)檢查以免計(jì)算中發(fā)生不必要的錯(cuò)誤，主要包括統(tǒng)一單位；單元類型和選項(xiàng)；材料性能參數(shù)（考慮慣性時(shí)應(yīng)輸入材料密度）；實(shí)常數(shù)；單元實(shí)常數(shù)和材料類型的設(shè)置；實(shí)體模型的質(zhì)量特性；模型中不存在的縫隙等。通過(guò)計(jì)算求解后，后處理器能觀看整個(gè)模型在某一時(shí)刻的結(jié)果，也可觀看模型在不同時(shí)間段的結(jié)果，常用于處理瞬態(tài)或動(dòng)力分析結(jié)果；也可觀看穩(wěn)態(tài)溫度分布結(jié)果；還可觀看熱變形位移結(jié)果等。建模時(shí)盡量保持整個(gè)模型幾何尺寸與實(shí)際尺寸相一致，以便分析計(jì)算時(shí)能夠正確反映滾珠絲杠的熱態(tài)性能。依據(jù)滾珠絲杠的模型特點(diǎn)，建模時(shí)采用實(shí)體單元。在建模過(guò)程中，把軸承內(nèi)徑及寬度簡(jiǎn)化為與實(shí)際軸承內(nèi)徑尺寸相同的套圈套在滾珠絲杠兩端，將其視為整體進(jìn)行分析。 滾珠絲杠三維CAD模型建立ANSYS雖然有比較強(qiáng)的建模功能，可以進(jìn)行各種布爾操作，但對(duì)于復(fù)雜的模型，由于其建模功能不夠強(qiáng)大，效率比較低，所以一般是通過(guò)其它CAD軟件進(jìn)行建模。如Pro/E、UG等中進(jìn)行實(shí)體建模，再導(dǎo)入ANSYS軟件中。本文是通過(guò)Pro/E軟件進(jìn)行滾珠絲杠CAD建模，為了便于ANSYS分析，在建模時(shí)，對(duì)滾珠絲杠進(jìn)行簡(jiǎn)化。除了上面提到的對(duì)絲杠兩端軸承簡(jiǎn)化外，還對(duì)滾珠絲杠螺旋槽做了簡(jiǎn)化，用